2.1 命题、定理、定义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册教用word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“常用逻辑用语”核心内容，系统梳理命题（可判断真假的陈述句）、定理（真命题直接使用）、定义的概念，构建“概念辨析-结构拆解（若p则q形式）-真假判断（推理/反例法）-参数应用”的完整学习支架，助力学生形成逻辑认知链条。 该资料以《道德经》“名可名”导入，用文化视角引发数学抽象，体现“数学眼光观察现实世界”。通过“思考-即时练-例题-分层训练”螺旋设计，如用“2是质数非奇数”反例教学，培养推理思维，落实“数学思维思考现实世界”。规范命题改写，强化数学表达，课中助教师突破重难点，课后分A、B、C层检测，适配学生巩固与提升需求。

第2章 常用逻辑用语 2.1 命题、定理、定义 新课导入 《道德经》有云：“道可道，非常道；名可名，非常名.无名，天地之始；有名，万物之母.……” 由概念（名）判断命题，由命题构成推理，由推理完成证明. 学习目标 1.理解命题、定理、定义的概念，并会判断一个语句是否为命题及命题的真假. 2.了解命题的构成形式,能将命题改写为“若,则”的形式. 新知学习 探究 一 命题、定理、定义的概念 “红豆生南国，春来发几枝? 愿君多采撷，此物最相思!”这是唐代诗人王维的《相思》一诗. 思考1．在这4句诗中，哪几句是疑问句？哪几句是陈述句？ 思考2．疑问句、祈使句、感叹句能否作为命题？ 【答案】思考1 提示 第2句是疑问句,第1句是陈述句. 思考2 提示 疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题. ［知识梳理］ 1．在数学中，我们将可①_ _ _ _ _ _ _ _ 的②_ _ _ _ _ _ 叫作命题. 【答案】判断真假； 陈述句 2．在数学中，有些已经被证明为③_ _ _ _ 的命题可以作为推理的依据而④_ _ _ _ _ _ _ _ ，一般称之为定理. 【答案】真； 直接使用 3.定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. ［即时练］ 1．下列语句为命题的是（ ） A. 0是自然数吗？ B. 请你过来！ C. 这道数学题真难啊！ D. 只有一组解 【答案】D 【解析】选.可以判断真假的陈述句叫作命题.根据定义可知，只有 选项符合题意. 2．下列语句中是命题的有_ _ _ _ ,是真命题的有_ _ _ _ .（填序号） ①这幅画真漂亮！ ②求证是无理数. ③两个数的和是偶数吗？ ④所有的人都喜欢苹果. ⑤若，则. 【答案】④⑤； ⑤ 【解析】①是感叹句，不是命题.②是祈使句，不是命题.③是疑问句，不是命题.④是命题，有的人喜欢苹果，也有人不喜欢苹果，所以可判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是假命题.⑤是命题，当 时，，可以判断该陈述句的真假，故它是命题，并且是真命题. 判断语句是否为命题的策略 （1）命题是可以判断真假的陈述句，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题； （2）对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题. 二 命题的结构形式和真假判断 ［知识梳理］ 数学中，许多命题可表示为“如果，那么”或“若，则”的形式，其中叫作命题的①_ _ _ _ ，叫作命题的②_ _ _ _ . 【答案】条件； 结论 ［例1］ （对接教材例2、例3）将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假. （1） 同位角相等的两条直线平行； （2） 当或时，； （3） 空集是任何非空集合的真子集； （4） 已知，为非零自然数，当时，，. 【答案】（1） 【解】若两条直线的同位角相等，则这两条直线平行，真命题. （2） 若 或，则,真命题. （3） 若一个集合是空集,则这个集合是任何非空集合的真子集，真命题. （4） 已知，为非零自然数，若，则，，假命题. （1）将命题改写为“若，则”形式的方法及原则 （2）命题真假的判定方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据；要判断一个命题是假命题,可以通过构造一个反例否定命题的正确性. ［跟踪训练1］． （1） 下面给出的四个命题中，是真命题的为（ ） A. 等角的余角相等 B. 一个角的补角-定大于这个角 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 0是最小的正整数 （2） 把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断命题的真假. ① 奇数不能被2整除； ② 当时，； ③ 两个相似三角形是全等三角形; ④ 当时，. 【答案】（1） A （2） ① 解：若一个数是奇数，则它不能被2整除，真命题. ② 若，则，真命题. ③ 若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，假命题. ④ 若，则,真命题. 【解析】 （1） 选.由等式的性质可知，等角的余角相等，故 正确；当这个角为直角时，显然直角的补角与直角相等，故 不正确；只有当矩形的邻边相等时，对角线才互相垂直，故 不正确；最小的正整数是1，故 不正确. 三 由命题的真假求参数 ［例2］ （1） 若集合，，，则成立是真命题，则实数的取值集合为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . （2） 已知集合,，若 是假命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） 因为集合，，，成立是真命题，所以 或 或，所以 或 或. （2） 方法一：若 是真命题，则,所以当 是假命题时，. 方法二：若 是假命题，则 是真命题，即集合，有公共元素，在数轴上表示出两个集合，由图易知. 由命题的真假求参数的基本步骤 第一步，明确命题的条件和结论； 第二步，根据所学知识写出命题为真时参数所满足的条件； 第三步，化简相应的条件，求出参数的取值范围. 注意 若求命题为假时参数的取值范围，可求命题为真时参数取值范围对应的补集. ［跟踪训练2］． （1） 已知不等式的解集是，若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （2） 若“方程有两个不相等的实数根”是真命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】（1） A （2） 【解析】 （1） 选.因为，所以，又因为 是假命题，即，所以. （2） 由题意得，且，解得 且. 课堂巩固 自测 1．下列语句中不是命题的是（ ） A. B. 二次函数的图象不一定关于轴对称 C. D. 对任意,总有 【答案】C 【解析】选.选项,,中均为陈述句,且能够判断真假,故均为命题,选项虽然是陈述句，但无法判断真假,故不是命题.故选. 2．下列说法正确的是 （ ） A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等” B. 语句“当时，方程有实根”不是命题 C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题 D. “时，”是真命题 【答案】D 【解析】选.命题“直角相等”写成“若，则”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项 错误；语句“当 时，方程 有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项 错误；对角线互相垂直的四边形有可能是梯形，所以选项 错误；代入验证可知选项 正确. 3．（多选）下列命题是真命题的是（ ） A. 所有质数都是奇数 B. 若，则 C. 对任意的，都有成立 D. 方程有实根 【答案】BC 【解析】选.选项 错误，因为2是偶数也是质数；选项 正确；选项 正确，不论 取 内的任何数，恒成立；选项 错误，因为，所以方程 无实根. 4．如果“若，则”为假命题，那么实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】由，解得，又“若，则”为假命题，则，得，故实数 的取值范围是. 1.已学习：（1）命题的概念、结构、真假. （2）定理.（3）定义. 2.须贯通：（1）判断命题的真假的两种方法. ①判断真命题的推理法. ②判断假命题的反例法. （2）利用命题真假求参数的取值范围. 3.应注意：含变量的语句是不是命题的判断. 课后达标 检测 A 基础达标 1．下列语句中是命题的是（ ） A. B. C. 求证是无理数 D. 今天天气真好啊！ 【答案】B 【解析】选 不能判断真假，是祈使句，是感叹句，都不是命题. 2．命题“质数都是奇数”写成“若，则”的形式为（ ） A. 若一个数是质数，则它一定是奇数 B. 任何一个质数都是奇数 C. 若一个实数是奇数，则它一定是质数 D. 所有的奇数都是质数 【答案】A 【解析】选.命题“质数都是奇数”写成“若,则”的形式为若一个数是质数，则它一定是奇数. 3．下列命题中，是假命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】选.对于，若，可能不属于，故 错误；对于，若，则 是集合 和 的公共元素，那么，故 正确；对于，若，则，故 正确；对于，若，则，故 正确. 4．给出命题：方程没有实数根，则使该命题为真命题的的一个值可以是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】C 【解析】选.方程无实数根，则，故 时符合条件. 5．（多选）下列说法正确的是（ ） A. 命题“相等的两角为对顶角”是真命题 B. 命题“对角线互相垂直平分的四边形是正方形”是真命题 C. 命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”是真命题 D. “三条边都相等的三角形是等边三角形”是真命题 【答案】CD 【解析】选.两个角相等，这两个角不一定是对顶角，所以选项 错误；对角线互相垂直平分的四边形还可能是菱形，不是真命题，所以选项 错误；选项，正确. 6．（多选）下列四个命题中，是真命题的有（ ） A. 空集没有子集 B. 空集是任何集合的一个真子集 C. 空集的元素个数为0 D. 任何非空集合至少有两个不同的子集 【答案】CD 【解析】选.空集的子集是它本身，故 是假命题；空集是任何非空集合的一个真子集，故 是假命题；空集的元素个数为0，故 是真命题；是真命题. 7．下列命题： ①； ②若，都是无理数，则是无理数； ③若集合，则； ④. 其中是真命题的序号是_ _ _ _ . 【答案】③④ 【解析】①中，，是假命题;②中，设，，则,都是无理数，而 不是无理数，是假命题；③中，若，即 是 的子集，故，是真命题；④是真命题. 8．能说明“若,则”为假命题的一组,的值依次为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】1,（答案不唯一） 【解析】当 时,不成立.故取,,满足题意. 9．“不是矩形的四边形的对角线不相等”这一命题的条件是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，结论是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】一个四边形不是矩形； 这个四边形的对角线不相等 10．（13分）把下列命题改写成“若，则”的形式，并判断真假. （1） 偶数能被2整除；（4分） （2） 当时，无实根；（4分） （3） 当时，且且.（5分） 【答案】（1） 解：若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题. （2） 若，则 无实根，真命题. （3） 若，则 且 且，假命题. B 能力提升 11．（多选）如果命题“非空集合中的元素都是集合中的元素”是假命题，那么下列命题为真命题的是（ ） A. 中的元素都不是的元素 B. 中有不属于的元素 C. 中有属于的元素 D. 中的元素不都是的元素 【答案】BD 【解析】选.根据命题“非空集合 中的元素都是集合 中的元素”是假命题，可得 不是 的子集.则有以下两种情况：与 有公共元素，且 中至少有一个元素不在 中；与 没有公共元素.由①知，错误；由②知，错误；由①②知，，正确. 12．命题“集合是集合的子集，所以是集合的子集”.写成“若，则”形式为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，是_ _ _ _ 命题（填“真”或“假”）. 【答案】若集合是集合的子集，则是集合的子集； 假 【解析】若，2，，，3，，则，2，3，，，，不妨取，，则 不是 的子集，故是假命题. 13．已知命题“若,则”为真命题，则实数的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 【答案】 【解析】设,,由题知，,则 解得,故实数 的取值范围是. 14．（13分）已知，，，，五名学生参加某次数学单元检测，在未公布成绩前他们对自己的数学成绩进行了猜测. A说：“如果我得优，那么也得优”； B说：“如果我得优，那么也得优”； C说：“如果我得优，那么也得优”； D说：“如果我得优，那么也得优”. 成绩揭晓后，发现他们都没说错，但只有三个人得优.请问：得优的是哪三位同学? 解：如果 得优，可依次推出，，，均得优，这与“只有三个人得优”相矛盾，故 不可能得优；如果 得优，可依次推出，，也得优，这与“只有三个人得优”相矛盾，故 也不可能得优.所以可以判定，，三位同学得优. C 素养拓展 15．（15分）是否存在整数，使得对任意，是真命题？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 解：假设存在整数，使得对任意，是真命题. 因为对任意， ， 所以， 所以. 又因为 为整数， 所以. 所以存在整数,满足题意，. 学科网（北京）股份有限公司 $