第1章 集合（复习讲义）数学苏教版2019必修第一册

第1章 集合（复习讲义） 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能用图表达集合间的基本关系，从而提升学生的数学抽象与直观想象素养. 2.能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法与描述法）刻画不同的数学对象，初步感受集合语言的准确与简洁. 3.理解两个集合的并集与交集的含义，理解在给定集合中的一个子集的补集含义，能求两个集合的并集、交集与求给定子集的补集，从而提升学生的数学运算素养. 1、有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 2、集合的运算性质（注意包含关系优先考虑空集） （1）,,,,. （2）,,,,. （3） , , . 3、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 题型一 判断元素（集合）与集合的关系 【例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 【变式1-1】已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定集合中的元素，进而逐项判断即可； 【详解】 A，C选项使用符号错误，，B错，，D对； 故选：D 【变式1-2】（多选）由不超过5的实数组成集合，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用元素与集合的关系，结合选项，逐项计算、判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，由，所以，所以B错误； 对于C中，由， 所以，所以C正确； 对于D中，由，所以，所以D正确. 故选：ACD. 【变式1-3】（多选）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知集合逐个分析判断 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D正确， 故选：ACD 题型二 根据元素与集合关系求参数 【例2】已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义求出集合后可得结论． 【详解】，， ①当时，， 时，，； 时，，满足条件； ②当时，，，满足条件； ③当时，，，满足条件； ④当时，，，满足条件． 从而得到， 所以集合中所有元素之和为． 故选：D． 【变式2-1】已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，且， 解得， 故选：B 【变式2-2】（多选）已知集合，若，则实数a的可能取值为（    ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【答案】AB 【分析】根据元素与集合的关系，列方程求解，代入检验即可. 【详解】当，即时，，符合题意； 当，即时，不符合题意； 当，即或时．若，不符合题意；若，，符合题意． 故选:AB． 【变式2-3】（多选）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性. 【详解】∵，则有： 若，则，此时，不符合题意，故舍去； 若，则或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述：或. 故选：BC. 题型三 根据集合中元素个数求参数 【例3】已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 【变式3-1】已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据集合有且仅有两个子集可知方程只有一个实根，可分为：当时，方程为一次方程，只有一个根；当时，只有一个根，即可得. 【详解】由题意可知集合中只有一个元素，故方程有且只有一个实数根， 当时，方程可化为得，符合题意， 当，方程只有一个实数根时，， 得， 故或. 故答案为：或 【变式3-2】已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （2）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 【变式3-3】已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分两种情况进行分类讨论，列出不等式即可求得结果. （2）将问题转化为方程至少有一个根，分两种情况进行分类讨论，求得结果. 【详解】（1）当时，，即，符合题意； 当时，，解得：. 综上所述，实数k的取值范围为. （2）集合A最少有一个真子集，则集合中至少有一个元素， 当时，，即，符合题意； 当时，，解得：且. 综上所述，实数k的取值范围为. 题型四 两个集合相等 【例4】若集合，则实数 ；实数 . 【答案】 1 -1 【分析】根据两集合相等采用元素一一对应的关系可先从进行讨论，即可求解 【详解】观察可知，，若，可得，不符合集合的互异性，故，可得，即，根据对应关系得，或解得①或②，①与矛盾，舍去，所以 故答案为1；-1 【点睛】本题考查由集合相等求解参数，当集合中元素不能确定时，需采用分类讨论法，进一步确定元素，属于中档题 【变式4-1】已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可 【详解】由题意，集合，即 （1）若，则，此时，成立； 故 （2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立； （3）若，即或 当时，，此时两个集合不可能相等，不成立； 当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立 综上：，， 故选：A 【变式4-2】若，则 ． 【答案】 【分析】由为分母可得，再利用集合相等的性质计算即可得解． 【详解】由题意可得，则，即， 则，解得或， 若，则违背集合元素的互异性，舍去； 若，则有，符合要求； 综上所述，，则． 故答案为：． 【变式4-3】已知集合，则 . 【答案】或2 【分析】由题意，方程有唯一根，分两种情况讨论，列出等量关系求解即可 【详解】∵集合，即方程有唯一根 ∴或， 解得或， ∴或 故答案为：或2 题型五 列举法与描述法 【例5】已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 【答案】6 【分析】根据描述法表示的集合元素特征，可知，即可求得结果. 【详解】由可知是15的约数，又，因此可以是； 此时，即可得， 所以集合A的非空真子集的个数为个. 故答案为：6 【变式5-1】集合，用列举法可以表示为 【答案】 【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可. 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 【变式5-2】设集合，试用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，可得可取，分布求出对应的，即可得解. 【详解】解：因为，所以可取， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【变式5-3】已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 题型六 子集（真子集）个数问题 【例6】已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合有3个真子集可得中有两个不同的元素，故求出的范围后可得正确的选项. 【详解】因为有3个真子集，所以中有2个元素，故中有两个元素， 故且，则， 解得且. 故选：C. 【变式6-1】已知集合，则的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据集合交集运算及集合子集的个数公式计算. 【详解】因为集合， 所以，所以的子集个数为. 故选：B. 【变式6-2】已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求解补集，再根据元素个数计算真子集个数. 【详解】，，， 则集合的真子集个数为7个. 故选：C. 【变式6-3】已知非空集合，且若，则必有，那么所有满足上述条件的集合共有（    ）个 A．3 B．7 C．8 D．15 【答案】B 【分析】根据必有，及即可列举出所有满足条件的，进而得解． 【详解】解：根据题意得： ，共7个 故选：B． 题型七 根据集合的包含关系求参数 【例7】已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解分式不等式，再根据交集运算求解即得； （2）将集合的不等式按照参数分类讨论其解集，利用集合间的包含关系得到不等式，分别求解后综合考虑即可. 【详解】（1）由可得或，即或， 当时，，故； （2）由或可得， 当时，，由可得，解得； 当时，满足，故符合题意； 当时，，由可得，解得. 综上，可知实数的取值范围是. 【变式7-1】设，关于的不等式的解集为． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解二次不等式，由取值范围得到两根的大小关系，然后得到不等式解集； （2）由先求，再利用，建立不等式，即可求实数的取值范围． 【详解】（1）不等式，即. 因为，所以， 所以由，可得， 即. （2）， 由（1）得或， 要使，则需， 又， 解得， 所以的取值范围为. 【变式7-2】已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解一元二次不等式求解集合A，将代入化简集合B，然后利用交集和补集运算求解即可. （2）根据集合关系列不等式直接求解即可. 【详解】（1）由题意知， ， 当时，，所以， 所以． （2），， 若，显然， 则或， 解得或， 即a的取值范围是. 【变式7-3】已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据补集、交集的知识来求得正确答案. （2）先求得，然后根据是否为空集进行分类讨论，列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）因为，， 所以或， 因为， 所以或； （2）因为，， 所以或， 当时，成立，此时，解得， 当时，因为， 所以或 解得， 综上，a的取值范围为. 题型八 集合的综合运算 【例8】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合集合中元素的性质利用集合交集运算直接求解即可. 【详解】因为集合表示奇数组成的集合， 又，所以. 故选：B 【变式8-1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故， 故选：B. 【变式8-2】已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程先确定集合的元素，由，，逐一验证所有可能符合情况即可. 【详解】方程的两根为或 ，. 可能为 (1)    时，，符合 (2)    时，，符合 (3)    时，，符合 综上，实数m组成的集合为 故选：D 【变式8-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用集合交集和补集的概念与运算，即可求解. 【详解】由集合， 则，所以. 故选：D. 题型九 根据集合运算结果求参数 【例9】已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用交集的定义可得出集合，利用补集和并集的定义可求得集合； （2）由题意可知，分、两种情况讨论，在第一种情况下，可得出关于实数的不等式；在第二种情况下，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则， 所以，则. （2）因为，则， 当时，，解得，合乎题意； 当时，即时，有，解得，即. 综上，，即实数的取值范围是. 【变式9-1】已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出，再由交集的定义即可得出答案； （2）由可得，由子集的定义列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】（1），当时，， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以， 所以，解得：， 所以实数m的取值范围为. 【变式9-2】设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)条件选择见解析， 【分析】（1）当时，求出集合及，结合图形分析出阴影部分表示的集合，再根据交集的定义求解即可； （2）先分析出选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到，然后分和两种情况讨论，列出不等式，求解即可. 【详解】（1）因为全集，集合或， 当时，， 所以或. 所以图中阴影部分表示的集合或． （2）①；②；③， 选择①②③中任选一个作为已知条件，均得到， 当时，，解得； 当时，或， 解得或，所以. 综上可知，实数的取值范围是． 【变式9-3】已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分别求解集合中的不等式，然后求它们的并集. （2）首先判断集合的关系，然后分为空集和非空集两种情况讨论的范围. 【详解】（1）由， 若， 则， ， 故； （2）， 即， ①当时，，即， 此时成立， 符合题意； ②当时，需满足：，解得． 综上，． 基础巩固通关测 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式得到集合，由集合的交集运算得到答案. 【详解】由得，所以， 又因为，所以， 故选：B. 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由区间及并集定义可得答案. 【详解】由题， 则. 故选：C 3．已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中所示的阴影部分的集合为，结合集合的运算即可得解. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，即， 而，，则，， 故阴影部分表示的集合为. 故选：C. 4．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集与补集的概念，可得答案. 【详解】由，则，由，且，则，所以． 故选：D. 5．已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】先分析集合中元素的特点，得出，逐个选项判断即可求解. 【详解】由可得： 则， 所以， 则，，，. 故选：D. 6．设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 7．设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的子集关系求解． 【详解】因为，且， 所以. 故选：D. 8．设集合，，为整数集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集， 又， 且， 且， 所以, 故选：A. 9．（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】AC 【分析】分和两种情况进行讨论. 【详解】集合只有一个元素， 所以方程只有一个实数解. 若，方程只有一解； 若，方程只有一个实数解，所以. 故选：AC 10．（多选）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 【答案】BCD 【分析】根据题意，分或或，三种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】因为⫋，则或或， 当时，可得且，解得，则； 当时，可得且，解得，则； 当时，可得，解得，则， 综上可得，的值可以是或或. 故选：BCD. 11．有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 【答案】2 【分析】若同时去过的有人，根据已知及容斥原理列方程求解即可. 【详解】若同时去过的有人，则，可得. 故答案为：2 12．设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 【答案】7 【分析】根据子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由题意可知，集合中一定包含元素, 且是的真子集， 所以或或或或或或， 即满足条件的集合有7个. 故答案为：7. 13．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）应用集合的交补运算求集合； （2）根据题设有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，或， 则，； （2）由，且，则， 当时，，即； 当时，，即； 所以. 14．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要分为空集和非空集两种情况，根据子集的定义来确定实数的取值范围； （2）先求解集合，再根据来确定实数的取值范围. 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 能力提升进阶练 1．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 2．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合关系，求出，由此可求. 【详解】因为， 又，，所以， 又， 所以， 故选：D. 3．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【分析】根据“孤立元”的含义写出所有可能集合即可. 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 4．对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由新定义，列举计算即可； 【详解】当都是偶数或都是奇数时， 则或或或或或或或或； 当是偶数，是奇数时，，或； 当是奇数，是偶数时，，或； 集合中含有个元素，它的子集个数为， 故选：B 5．在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】方法一：根据可分比集合，再通过时成立，时不成立得到正整数的最大值为7；方法二：分析出，再证明满意题意. 【详解】解法一：一方面，取满足题意，则； 另一方面，若，不妨设，则，则，此时，且，矛盾！ 综上所述，正整数的最大值为7. 解法二：，则，又，即若，内的数均不属于， 若，则，则，又，矛盾， 所以，当时，符合，所以． 故选：B. 6．设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（   ） （1）    （2）    （3）    （4） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 【答案】C 【分析】对选项逐个进行判断，出现矛盾的可排除，正确的证明即可. 【详解】对于（1），易知，所以应有，矛盾，即（1）错误； 对于（2），易知，且， 则可取满足题意，即（2）正确； 对于（3），易知，所以应有，矛盾，即（3）错误； 对于（4），易知，且 ， 则可取满足题意，即（4）正确； 故选：C. 7．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 【答案】 【分析】根据题中定义和元素的性质，结合集合真子集个数公式进行求解即可． 【详解】由集合中元素的互异性可得且． 当时，，所以， 此时集合的真子集个数为． 因为集合A中有个元素，则集合A有个子集，有个真子集， 当且时，，此时集合的真子集个数为． 故答案为： 8．若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 9．若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 【答案】30 【分析】首先要确定“有序好数对”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有30组． 【详解】由三个非零且互不相等的实数，，满足满足且满足， 可得 消去，并整理得， 所以（舍去），，于是有． 在集合中，三个元素组成的所有数对必为整数对， 所以必为2的倍数，且，， 故这样的数对共30组． 故答案为：． 10．在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 【答案】180 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】依题意，， 而，， 所以 . 故答案为：180 11．已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 【答案】(1)，集合是的恰当子集 (2)，或，；理由见解析 【分析】（1）利用给定定义求出集合并进行判断即可. （2）利用给定定义求出，进而建立关于的方程，求解参数值即可. 【详解】（1）若，有， 由，则， 满足，集合是的恰当子集. （2）若（）是的恰当子集，则 得到，由，则或 当时，，此时，，满足题意， 当时，，此时，，满足题意， 综上可得，或，. 12．已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 【答案】(1)证明见解析 (2)不一定，举例见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据闭集合定义及集合交集运算即可证明； （2）根据闭集合定义及集合并集运算即可判断； （3）根据闭集合定义、真子集及集合并集运算即可证明. 【详解】（1）且为闭集知：，成立， 故而，从而命题成立. （2）取， 知不一定是闭集合. （3）若或，且均是的真子集，命题显然成立， 故不妨设存在满足，且存在满足, 取知，否则 或者而得出矛盾，故命题成立. 13．由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合为“满集”，求的值. 【答案】(1)是“满集”，不是“满集”；理由见解析 (2) 【分析】（1）由集合，，根据集合“满集”的定义，逐个判定，即可求解（2）设，由题意得到存在集合的两个子集，使得成立，得出或，分和，两种情况讨论，进而求得的值. 【详解】（1）解：由集合，可得，且的子集为，，，， 当时，；当时，； 当时，，所以集合是“满集”； 又由，可得，且的子集为，，，， 当时，不存在集合的两个子集，使得成立， 所以不是“满集”. （2）解：设，因为集合为“满集”对任意的正整数， 都存在集合的两个子集，使得成立， 所以，且，所以或. 当时，，此时； 当时，， 因为，所以为最大，此时， 综上可得：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合（复习讲义） 1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能用图表达集合间的基本关系，从而提升学生的数学抽象与直观想象素养. 2.能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法与描述法）刻画不同的数学对象，初步感受集合语言的准确与简洁. 3.理解两个集合的并集与交集的含义，理解在给定集合中的一个子集的补集含义，能求两个集合的并集、交集与求给定子集的补集，从而提升学生的数学运算素养. 1、有限集的子集个数确定 如果集合中含有个元素，则有 （1）的子集的个数有个． （2）的非空子集的个数有个． （3）的真子集的个数有个． （4）的非空真子集的个数有个． 2、集合的运算性质（注意包含关系优先考虑空集） （1）,,,,. （2）,,,,. （3） , , . 3、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论： （1） （2） 题型一 判断元素（集合）与集合的关系 【例1】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-1】已知集合.则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（多选）由不超过5的实数组成集合，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）已知集合，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据元素与集合关系求参数 【例2】已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式2-1】已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）已知集合，若，则实数a的可能取值为（    ） A．－2 B．0 C．2 D．4 【变式2-3】（多选）设集合，且，则x的值可以为（    ） A．3 B． C．5 D． 题型三 根据集合中元素个数求参数 【例3】已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【变式3-1】已知集合有且仅有两个子集，则实数a的值为 ． 【变式3-2】已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (2)若中至多有一个元素，求满足的条件． 【变式3-3】已知集合 (1)若集合A中至多有一个元素，求实数k的取值范围； (2)若集合A最少有一个真子集，求实数k的取值范围. 题型四 两个集合相等 【例4】若集合，则实数 ；实数 . 【变式4-1】已知集合，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】若，则 ． 【变式4-3】已知集合，则 . 题型五 列举法与描述法 【例5】已知，则集合A的非空真子集的个数为 ． 【变式5-1】集合，用列举法可以表示为 【变式5-2】设集合，试用列举法表示集合 . 【变式5-3】已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 题型六 子集（真子集）个数问题 【例6】已知集合，，，若集合C有3个真子集，则实数m的值可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知集合，则的子集个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【变式6-2】已知全集，，，则集合的真子集个数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知非空集合，且若，则必有，那么所有满足上述条件的集合共有（    ）个 A．3 B．7 C．8 D．15 题型七 根据集合的包含关系求参数 【例7】已知集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【变式7-1】设，关于的不等式的解集为． (1)求； (2)设集合，若，求实数的取值范围． 【变式7-2】已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【变式7-3】已知全集，，. (1)求； (2)若且，求a的取值范围. 题型八 集合的综合运算 【例8】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知集合，，若，则所有满足条件的实数m组成的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】已知，则（   ） A． B． C． D． 题型九 根据集合运算结果求参数 【例9】已知，. (1)若时，求、； (2)若，求的取值范围. 【变式9-1】已知，． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式9-2】设全集，集合或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【变式9-3】已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值范围. 基础巩固通关测 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（ ） A． B． C． D． 4．已知全集，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则下列各选项中属于的元素是（    ） A． B． C．0 D．1 6．设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 7．设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．设集合，，为整数集，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 10．（多选）已知集合，且⫋，则的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D．0 11．有A、B、C三个城市，至少去过其中一个城市的有18人，去过A、B、C三个城市的分别有9人，8人，11人，同时去过A、B的有5人，同时去过B、C的有3人，同时去过A、C的有4人，则同时去过A、B、C三个城市的有 人． 12．设集合满足Ü，则满足条件的有 个． 13．已知集合，. (1)当时，求和； (2)若，求实数a的取值范围. 14．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 能力提升进阶练 1．已知全集，集合，，则正确的关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知全集，集合A，B是U的子集，若，，，则集合（ ） A． B． C． D． 3．设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 4．对于任意两个数，定义某种运算“”如下：①当同为奇数或同为偶数时，；②当一奇一偶时，，则集合的子集个数是个（    ） A． B． C． D． 5．在山东省实验中学科技节中，高一李明同学定义了可分比集合：若对于集合满足对任意，，都有，则称是可分比集合.例如：集合是可分比集合.若集合A，B均为可分比集合，且，则正整数的最大值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．设集合，，，中至少有两个元素，且满足：①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则；则集合可以是（   ） （1）    （2）    （3）    （4） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（3）（4） 7．定义集合的运算：已知集合，则．若集合，，则集合的真子集个数的取值集合是 ． 8．若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 9．若三个非零且互不相等的实数满足和，则称构成一组“有序好数对”；已知集合，则由中的三个元素组成的所有“有序好数对”的个数为 . 10．在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 11．已知，是的子集，定义集合且，若，则称集合是的恰当子集. (1)若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2)已知是的恰当子集，求的值并说明理由. 12．已知集合是实数集的非空子集，若，则称集合为闭集合. (1)若集合均是闭集合.求证：是闭集合； (2)若集合均是闭集合.集合一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反例； (3)若均是闭集合，且都是的真子集.求证：存在常数，但. 13．由个正整数构成的有限集（其中），记，特别规定，若集合满足：对任意的正整数，都存在集合的两个子集，使得成立，则称集合为“满集”. (1)分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合为“满集”，求的值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$