专题01 集合的概念12种常见考法归类（52题）-2026年新高一暑假数学人教A版必修第一册考点通关提升讲义

2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题01 集合的概念12种常见考法归类（52题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 列举法判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 利用集合中元素的性质求集合元素个数 考点八 由集合相等求参数 考点九 用列举法表示集合 考点十 用描述法表示集合 考点十一 集合表示法的综合应用 考点十二 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 策略方法 核心原理 集合元素三大特性里，确定性是唯一判断依据；只有能客观、无歧义判定任意对象是否属于该整体，才能构成集合。“好看、著名、接近、较高”等模糊描述无统一标准，不满足确定性，无法构成集合。集合同时具备描述性、整体性、广泛性，对象可以是数、点、人、图形等任意事物。 完整解题步骤 1. 阅读题干，圈出描述对象的形容词/限定词； 2. 判断限定词是否存在统一客观判定标准： 有明确标准（如“2026全体高一学生、小于6的正奇数、被3除余2的整数”）→满足确定性，可构成集合； 模糊主观词汇（难题、知名、个子偏高、非常接近）→无统一标准，不满足确定性，不能构成集合； 3. 得出结论，简单写明判断依据。 避坑要点 只需判断确定性，互异性、无序性仅用于后续解题，不用于判断能否组成集合。 题型训练 1．（2026高一·全国·阶段检测）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 2．【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 3．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 4．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 （2） 判断是否为同一集合 策略方法 核心原理 集合相等定义：两个集合所有元素完全相同即为同一集合，依托元素三特性解题： 1. 无序性：元素排列顺序不影响集合相等； 2. 互异性：集合不存在重复元素，含参数题目算出数值后必须检验； 3. 元素类型一致原则：数集（实数）和点集（有序数对(x,y)）元素类型不同，一定不是同一集合。 完整解题步骤 1. 分别化简两个集合，写出全部元素； 2. 区分集合元素类型：判断是实数、有序数对、代数式还是其他对象； 3. 对比两个集合全部元素，元素完全一致则为同一集合；元素种类、数量、数值有一处不同则不是； 4. 含参数题型：求出参数后代回集合，剔除重复元素再对比。 避坑要点 不要只看元素形式相似，忽略元素类型；不可遗漏互异性检验，重根、重复数值会改变集合。 题型训练 5．（2026高一·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 6．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 7．【多选】（2026高一·四川成都·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 考点二 判断元素与集合的关系 策略方法 基础规则 1.关系只有两种：属于、不属于，符号具有方向性，左边只能写元素，右边只能写集合，位置颠倒无意义； 2.常用数集区分：自然数集（包含0），正整数集（不含0），整数集，有理数集，实数集。 两种解题方法 1.直接法（适用于列举法集合） ① 写出集合全部元素； ② 对照目标元素，集合内存在则填，不存在则填。 2.特征法（适用于描述法集合） ① 提取集合竖线后的约束条件（方程、不等式、整除规则等）； ② 将目标元素代入约束条件，等式/不等式成立则元素属于集合，不成立则不属于。 避坑要点 无理数不属于有理数集，小数、分数不属于整数集，严格区分各类数集范围。 题型训练 9．（2026高一·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 12．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 考点三 已知元素与集合的关系求参数 策略方法 完整解题四步策略 1.列式代入：根据，把元素代入集合内的方程、等式、不等式，得到关于参数的关系式；若存在多种对应情况，分多类列式； 2.求解候选值：解方程/不等式，算出参数所有可能取值，不遗漏任何解； 3.互异性检验：将每一个候选参数代回原集合，检查集合内是否出现重复元素；若出现重复，直接舍去该参数； 4.综合作答：整理所有满足条件的参数，写出最终结果。 示例逻辑 若，分、两种情况求解，算出，再分别代入检验：时集合元素重复，舍去；符合要求，最终取。 避坑要点 只求解不检验互异性是高频丢分点，所有解必须逐一回代验证。 题型训练 13．（2026高二·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 14．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 15．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 16．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 考点四 集合元素互异性的应用 策略方法 固定标准解题流程（三步法） 1.求解取值：利用元素确定性，根据题干条件列出等式，解出参数全部可能取值； 2.逐项检验：把每一个参数代入原集合，观察集合内是否存在两个完全相同的元素，出现重复则该参数无效； 3.筛选作答：保留所有使集合元素互不重复的参数，舍弃造成元素重复的解；多参数题目需分类讨论全部组合情况。 核心适用场景 集合含字母参数、集合相等、已知元素属于集合、限定集合元素个数四类题型，均必须使用互异性检验。 避坑要点 多个参数组合时，不能只单独检验单个字母，要整体代入集合查看全部元素。 题型训练 17．【多选】已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（2026高三·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 19．（2026高一·上海松江·阶段检测）若，则__________. 20．（2026高一·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 考点五 列举法判断集合中元素的个数 策略方法 分步详细解题策略 1.化简集合条件：整理集合中的分式、根式、方程、不等式，消除分母、根号、复杂不等式，明确集合代表的元素是什么、元素需要满足哪些限制； 2.按集合类型分类处理： ① 有限集合：写出所有满足条件的候选元素，依据互异性删除重复出现的数值，剩余元素全部列出； ② 含参数集合/无限集合：对参数进行分类讨论，划分参数取值区间，分别分析每一类参数下元素的取值范围，判断元素有限/无限； 3.统计计数：有限情况直接清点去重后的元素数量；无限集合直接说明元素个数无限；全程反复核对互异性，避免重复元素重复计数。 避坑要点 文字、字母类集合（如单词字母），相同字母只算1个；运算组合类集合，相同运算结果只保留一次。 题型训练 21．（2026高二·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 22．（2026高二·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 24．（2026高一·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点六 根据集合元素个数求参数 策略方法 完整解题策略 1.条件转化：根据题干给出的元素个数（单元素、2个元素、指定整数个数等），列出对应方程、不等式；若集合由一元二次方程解构成，优先讨论二次项系数； 2.分类讨论： ① 方程含参数二次项：分二次项系数=0（一次方程，仅有1个解）、二次项系数≠0（二次方程，利用判别式判断根的个数）两类； ② 区间类集合限定整数个数：列出区间内所有符合要求的整数，反向列出不等式锁定参数范围； 3.双重约束检验：结合元素确定性、互异性，剔除使元素重复、元素个数不符合题意的参数； 4.整合取值：写出参数取值或取值区间。 避坑要点 含参数二次方程极易遗漏“二次项系数为0”的一次方程情况，分类讨论必须完整。 题型训练 25．（2026高二·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 26．（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 27．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 28．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七 利用集合中元素的性质求集合元素个数 策略方法 核心解题逻辑 以确定性、无序性为基础，互异性为核心检验标准，完整四步流程： 1. 梳理题干全部约束条件，明确集合元素的取值范围、等式、不等式限制； 2. 解方程/枚举所有符合条件的候选元素、参数取值； 3. 代入原集合检验互异性，删除重复元素、舍去造成元素重复的参数； 4. 整理筛选后无重复的有效元素，统计元素总个数；存在多类参数情况时，分开写出每一类对应的元素数量。 适用题型 数集运算组合、带参数集合、新定义数集、不等式整数解集求元素个数。 题型训练 29．（2026·河南·模拟预测）集合，集合，对任意，有，则集合M中元素个数的最大值是_____. 30．（2026高一·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 31．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 32．（2026高三·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点八 由集合相等求参数 策略方法 详细解题步骤 1.分类列等式组：两集合相等代表元素完全相同，分多组元素对应关系列出方程组（若集合有2个元素，存在两种对应匹配方式）； 2.求解全部候选参数：解每一组方程组，得到参数所有可能取值； 3.双重检验（重中之重）： ① 互异性检验：参数代回两个集合，保证各自内部无重复元素； ② 集合匹配检验：代入后两个集合的元素必须完全一致； 4.舍去不符合条件的解，写出最终符合题意的参数。 避坑要点 只解方程不检验，会出现集合元素重复、两集合元素不匹配的错误答案。 题型训练 33．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 34．（2026高一·上海奉贤·期中），则______． 35．（2026高一·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 36．（2026高一·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 考点九 用列举法表示集合 策略方法 三步标准书写策略 1.求出集合全部满足条件的元素：解方程、枚举整数、提取文字对象、求函数交点等； 2.去重整理：依据互异性，重复元素只保留一个； 3.规范书写：所有元素用逗号隔开，外侧加大括号； 分场景使用细则 1.元素少、数量有限：全部完整列举，如； 2.有限但数量多：列举前几项+末尾省略号，如； 3.无限但有规律：列举前几项+中间省略号，如正偶数； 4.方程组解集、函数图像交点（点集）：元素必须写成有序数对，例。 避坑要点 点集不能直接写数字，必须用括号表示坐标；同一元素不可重复写出。 题型训练 37．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 38．已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 39．用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 40．用列举法表示集合. 考点十 用描述法表示集合 策略方法 完整解题策略 1.区分集合代表元素类型： 数集（方程解、函数值、整数）：竖线左侧写单个字母； 点集（图像上的点、平面坐标）：竖线左侧写有序数对； 2.规范书写格式： ① 竖线左侧标注元素符号+取值范围（实数可省略，整数、自然数必须标注）； ② 竖线右侧完整写出所有约束条件，多个条件用“且”连接，分类情况用“或”； ③ 描述中出现额外字母（如），必须在大括号内标注，不能写在括号外； 3.选择使用原则：元素共性清晰、数量无限用描述法；元素数量少、直观可数用列举法。 示例规范写法 被9除余2的整数：； 第一、三象限所有点： 避坑要点 不要遗漏变量取值范围；数集和点集格式不可混用。 题型训练 41．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 42．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 43．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 44．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 考点十一 集合表示法的综合应用 策略方法 三层解题策略 1.识别代表元素，转化题型： 集合元素是（方程根）→转化解方程，判断根的个数； 集合元素是（函数值）→转化求函数值域； 集合元素是（点）→转化函数图像、平面坐标问题； 2.含参数分类讨论： 集合对应含参数方程时，区分一次、二次方程，讨论参数取值对解集、元素个数的影响；求出参数后，必须回代检验集合互异性； 3.题干附带新规则/新定义：将陌生定义拆解、翻译为基础集合知识点（元素判断、集合相等、子集、运算），分步代入数值演算推导。 避坑要点 看错代表元素是最常见错误，区分（数集）和（点集）。 题型训练 45．【多选】（2026高一·广西·期中）已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 46．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 47．【多选】（2026高一·福建宁德·阶段检测）下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 48．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 考点十二 集合的新定义题 策略方法 分步详细解题策略 1.精读定义，拆解规则：逐句提取题干给出的新概念、新运算、特殊判定条件（如孤立元素、集合新运算、新型子集），圈出关键限制； 2.转化基础集合知识：把陌生定义翻译成已学知识点，对应元素判断、列举集合、集合相等、子集个数、元素求和等常规题型； 3.代入实例演算验证：选取简单数字代入定义，验证自己对规则的理解无误，避免理解偏差； 4.完整计算求解：根据规则枚举所有集合元素，利用互异性去重，再计算元素个数、子集数量、元素总和、满足条件的参数等最终问题。 典型应用场景 集合自定义运算、孤立元素、新型子集、差集、和集等创新题型。 避坑要点 不要凭固有集合知识主观臆断，一切计算严格遵循题干给出的全新规则。 题型训练 49．（2026高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 50．（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 51．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 52．定义且，若集合，，的子集的个数是______. $2026-2027年新高一暑假人教A版2019必修第一册考点通关提升讲义 专题01 集合的概念12种常见考法归类（52题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 （2） 判断是否为同一集合 考点二 判断元素与集合的关系 考点三 已知元素与集合的关系求参数 考点四 集合元素互异性的应用 考点五 列举法判断集合中元素的个数 考点六 根据集合元素个数求参数 考点七 利用集合中元素的性质求集合元素个数 考点八 由集合相等求参数 考点九 用列举法表示集合 考点十 用描述法表示集合 考点十一 集合表示法的综合应用 考点十二 集合的新定义题 知识点1：集合的含义 一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母,,,…表示. 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母,,,…表示集合.  知识点2：元素与集合 1.元素与集合的关系 (1)属于：如果是集合的元素，就说属于，记作 . (2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于，记作. 特别说明：表示一个元素，表示一个集合.它们间的关系为：. 2.集合元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性. （2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性. （3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性. 知识点3：集合的表示方法与分类 1.常用数集及其符号 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 数学符号 或 2.集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法． 注用列举法表示集合时注意： ①元素与元素之间必须用“，”隔开． ②集合中的元素必须是明确的． ③集合中的元素不能重复． ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法定义：一般地，设表示一个集合，把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． （4）（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 3.集合的分类 根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集. （1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在图中来表示. （2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。 知识点4：集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作：,例如： ， 考点一 集合概念的理解 （1） 判断元素能否构成集合 策略方法 核心原理 集合元素三大特性里，确定性是唯一判断依据；只有能客观、无歧义判定任意对象是否属于该整体，才能构成集合。“好看、著名、接近、较高”等模糊描述无统一标准，不满足确定性，无法构成集合。集合同时具备描述性、整体性、广泛性，对象可以是数、点、人、图形等任意事物。 完整解题步骤 1. 阅读题干，圈出描述对象的形容词/限定词； 2. 判断限定词是否存在统一客观判定标准： 有明确标准（如“2026全体高一学生、小于6的正奇数、被3除余2的整数”）→满足确定性，可构成集合； 模糊主观词汇（难题、知名、个子偏高、非常接近）→无统一标准，不满足确定性，不能构成集合； 3. 得出结论，简单写明判断依据。 避坑要点 只需判断确定性，互异性、无序性仅用于后续解题，不用于判断能否组成集合。 题型训练 1．（2026高一·全国·阶段检测）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 2．【多选】（2026高一·全国·专题练习）下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 3．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3）（4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 4．下列各组对象中，能构成集合的是（    ） A．2026年高考数学全国I卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2026年高考数学全国I卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合． （2） 判断是否为同一集合 策略方法 核心原理 集合相等定义：两个集合所有元素完全相同即为同一集合，依托元素三特性解题： 1. 无序性：元素排列顺序不影响集合相等； 2. 互异性：集合不存在重复元素，含参数题目算出数值后必须检验； 3. 元素类型一致原则：数集（实数）和点集（有序数对(x,y)）元素类型不同，一定不是同一集合。 完整解题步骤 1. 分别化简两个集合，写出全部元素； 2. 区分集合元素类型：判断是实数、有序数对、代数式还是其他对象； 3. 对比两个集合全部元素，元素完全一致则为同一集合；元素种类、数量、数值有一处不同则不是； 4. 含参数题型：求出参数后代回集合，剔除重复元素再对比。 避坑要点 不要只看元素形式相似，忽略元素类型；不可遗漏互异性检验，重根、重复数值会改变集合。 题型训练 5．（2026高一·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 6．下列与集合表示同一集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】据集合的定义及表示方法求解即可. 【详解】选项A： 是表示平面直角坐标系中的一个点，不是集合，故A错误； 选项B： 是点集，与数集的元素类型不同，不是同一集合，故B错误； 选C：解方程 ，因式分解得 ，解得 或 ， 因此集合 ，与原集合是同一集合，故C正确； 选项D： 是两个等式构成的集合，不是同一集合，故D错误. 故选：C 7．【多选】（2026高一·四川成都·阶段检测）下列集合中表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】对A，两个集合的元素不相同，不是同一集合； 对B，两个集合都是2和3两个元素，是同一集合， 对C，集合的元素是点（或有序实数对），集合的元素是实数，不是同一集合， 对D，两个集合都是由大于2的实数构成，是同一集合， 故选：BD． 8．（2026高一·陕西安康·阶段检测）下列各组中的、表示同一集合的是（    ） ①； ②； ③； ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据集合定义逐一判断即可. 【详解】对①，集合的元素为实数，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对②，集合的元素为有序数对，集合的元素为有序数对，表示不同集合； 对③，，两集合相等； 对④，集合为数集，集合为点集，表示不同集合. 故表示同一集合的只有③. 故选：C 考点二 判断元素与集合的关系 策略方法 基础规则 1.关系只有两种：属于、不属于，符号具有方向性，左边只能写元素，右边只能写集合，位置颠倒无意义； 2.常用数集区分：自然数集（包含0），正整数集（不含0），整数集，有理数集，实数集。 两种解题方法 1.直接法（适用于列举法集合） ① 写出集合全部元素； ② 对照目标元素，集合内存在则填，不存在则填。 2.特征法（适用于描述法集合） ① 提取集合竖线后的约束条件（方程、不等式、整除规则等）； ② 将目标元素代入约束条件，等式/不等式成立则元素属于集合，不成立则不属于。 避坑要点 无理数不属于有理数集，小数、分数不属于整数集，严格区分各类数集范围。 题型训练 9．（2026高一·青海海东·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，依次判断各选项. 【详解】因为，所以. 对于A：不成立，A错误； 对于B：成立，B正确； 对于C：成立，C错误； 对于D：成立，D错误. 10．（2026高二·宁夏吴忠·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不是整数；0属于自然数；是有理数；是实数，综上只有C正确. 11．（第01讲集合的概念与表示（暑假预习讲义）新高一年级数学苏教版）给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 12．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 考点三 已知元素与集合的关系求参数 策略方法 完整解题四步策略 1.列式代入：根据，把元素代入集合内的方程、等式、不等式，得到关于参数的关系式；若存在多种对应情况，分多类列式； 2.求解候选值：解方程/不等式，算出参数所有可能取值，不遗漏任何解； 3.互异性检验：将每一个候选参数代回原集合，检查集合内是否出现重复元素；若出现重复，直接舍去该参数； 4.综合作答：整理所有满足条件的参数，写出最终结果。 示例逻辑 若，分、两种情况求解，算出，再分别代入检验：时集合元素重复，舍去；符合要求，最终取。 避坑要点 只求解不检验互异性是高频丢分点，所有解必须逐一回代验证。 题型训练 13．（2026高二·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 14．已知，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性，分情况讨论实数的值，排除不符合条件的取值. 【详解】因为元素，所以有或两种情况， 当时，集合中元素，不满足集合元素的互异性； 当时，即，当时，不符合题意； 当时，集合为，满足，符合条件. 15．若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 16．（2026高一·全国·专题练习）设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 考点四 集合元素互异性的应用 策略方法 固定标准解题流程（三步法） 1.求解取值：利用元素确定性，根据题干条件列出等式，解出参数全部可能取值； 2.逐项检验：把每一个参数代入原集合，观察集合内是否存在两个完全相同的元素，出现重复则该参数无效； 3.筛选作答：保留所有使集合元素互不重复的参数，舍弃造成元素重复的解；多参数题目需分类讨论全部组合情况。 核心适用场景 集合含字母参数、集合相等、已知元素属于集合、限定集合元素个数四类题型，均必须使用互异性检验。 避坑要点 多个参数组合时，不能只单独检验单个字母，要整体代入集合查看全部元素。 题型训练 17．【多选】已知集合则实数的值可以为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据集合元素的互异性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】根据元素互异性且，即且， 根据选项知符合条件. 18．（2026高三·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 19．（2026高一·上海松江·阶段检测）若，则__________. 【答案】0 【分析】利用元素与集合的关系及集合元素的互异性求解. 【详解】由集合，得，即， 由，得，所以. 故答案为：0 20．（2026高一·贵州·阶段检测）集合中的x的所有不可能的取值之和为（   ） A．9 B．10 C．1 D．11 【答案】D 【分析】利用集合元素的互异性讨论即可. 【详解】当时，解得或3； 当； 当； 所有不可能的取值之和. 故选：D. 考点五 列举法判断集合中元素的个数 策略方法 分步详细解题策略 1.化简集合条件：整理集合中的分式、根式、方程、不等式，消除分母、根号、复杂不等式，明确集合代表的元素是什么、元素需要满足哪些限制； 2.按集合类型分类处理： ① 有限集合：写出所有满足条件的候选元素，依据互异性删除重复出现的数值，剩余元素全部列出； ② 含参数集合/无限集合：对参数进行分类讨论，划分参数取值区间，分别分析每一类参数下元素的取值范围，判断元素有限/无限； 3.统计计数：有限情况直接清点去重后的元素数量；无限集合直接说明元素个数无限；全程反复核对互异性，避免重复元素重复计数。 避坑要点 文字、字母类集合（如单词字母），相同字母只算1个；运算组合类集合，相同运算结果只保留一次。 题型训练 21．（2026高二·安徽合肥·期末）集合且的元素的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】因为且，所以有5个元素. 22．（2026高二·广西玉林·期末）由单词“school”中的字母作为集合中的元素，则集合中的元素共有__________个． 【答案】5 【详解】由已知， 所以集合中的元素共有个. 23．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分析可知，结合，，分析求解即可. 【详解】因为，则，且，，可得， 当时，； 当时，； 当时，； 即，所以中元素的个数为6. 24．（2026高一·广东江门·阶段检测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】已知，， 当时： ， ； 当时： ， ； 当时： ， ； 由集合的互异性得，元素个数为. 考点六 根据集合元素个数求参数 策略方法 完整解题策略 1.条件转化：根据题干给出的元素个数（单元素、2个元素、指定整数个数等），列出对应方程、不等式；若集合由一元二次方程解构成，优先讨论二次项系数； 2.分类讨论： ① 方程含参数二次项：分二次项系数=0（一次方程，仅有1个解）、二次项系数≠0（二次方程，利用判别式判断根的个数）两类； ② 区间类集合限定整数个数：列出区间内所有符合要求的整数，反向列出不等式锁定参数范围； 3.双重约束检验：结合元素确定性、互异性，剔除使元素重复、元素个数不符合题意的参数； 4.整合取值：写出参数取值或取值区间。 避坑要点 含参数二次方程极易遗漏“二次项系数为0”的一次方程情况，分类讨论必须完整。 题型训练 25．（2026高二·江西南昌·期末）若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 26．（2026高三·全国·专题练习）已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 27．若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 28．（2026高一·全国·专题练习）已知，集合中的元素恰有个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】集合对应的区间长度在之间，可得出关于的取值范围，然后对的取值进行分类讨论，确定集合中的整数元素，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为集合中恰有两个整数， 所以，解得， 当时，集合中的两个整数分别为、， 则，解得； 当时，，此时，集合中元素为整数的只有、，合乎题意， 综上所述，实数的取值范围是. 考点七 利用集合中元素的性质求集合元素个数 策略方法 核心解题逻辑 以确定性、无序性为基础，互异性为核心检验标准，完整四步流程： 1. 梳理题干全部约束条件，明确集合元素的取值范围、等式、不等式限制； 2. 解方程/枚举所有符合条件的候选元素、参数取值； 3. 代入原集合检验互异性，删除重复元素、舍去造成元素重复的参数； 4. 整理筛选后无重复的有效元素，统计元素总个数；存在多类参数情况时，分开写出每一类对应的元素数量。 适用题型 数集运算组合、带参数集合、新定义数集、不等式整数解集求元素个数。 题型训练 29．（2026·河南·模拟预测）集合，集合，对任意，有，则集合M中元素个数的最大值是_____. 【答案】51 【分析】由题意，要使中元素的个数最大，则，再应用抽屉原理及集合的性质分析其它元素与集合的关系，确定的元素个数及集合的可能情况，即可得. 【详解】要使中元素的个数最大，且，有，必有， 此时其余元素分组为、、、，共有50组， 注意每组的两个元素必不能同时出现在集合（因为它们的和为）， 所以，要使中元素的个数最大，每组至多能取一个元素，即50组中共取50个元素， 由抽屉原理知，不可能从50组中取51个元素，否则必有两个元素的和为，不满足， 综上，中元素的个数最大为51个， 如、均符合，元素个数为. 故答案为：51 30．（2026高一·四川广安·阶段检测）设数集满足：，又若实数是数集中的一个元素，则一定也是数集中的一个元素，求证： (1)若，则集合中还有其他两个元素； (2)集合不可能是单元素集合． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意“若，则有”，取，依次代入计算即可求得其他两个元素； （2）假设集合中只有1个元素，结合题意，得到方程，利用一元二次方程的根的判别式为负数否定假设，即可得证. 【详解】（1）依题意，若，则，若，则， 若，则， 所以当时，集合中还有其他两个元素和； （2）假设集合中只有1个元素（），由题意可知， 因为集合为单元素集合，所以， 即，又由，则此方程无实数解， 所以假设不成立，故集合不可能是单元素集合. 31．（2026高一·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 【答案】3 【分析】根据集合的描述法计算求解即可. 【详解】因为集合，集合， 且， 则 则集合含有的元素个数为3. 故答案为：3. 32．（2026高三·河北·期中）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合新定义计算即可求解. 【详解】若，， 则可能为，所以的元素个数为3. 故选：C. 考点八 由集合相等求参数 策略方法 详细解题步骤 1.分类列等式组：两集合相等代表元素完全相同，分多组元素对应关系列出方程组（若集合有2个元素，存在两种对应匹配方式）； 2.求解全部候选参数：解每一组方程组，得到参数所有可能取值； 3.双重检验（重中之重）： ① 互异性检验：参数代回两个集合，保证各自内部无重复元素； ② 集合匹配检验：代入后两个集合的元素必须完全一致； 4.舍去不符合条件的解，写出最终符合题意的参数。 避坑要点 只解方程不检验，会出现集合元素重复、两集合元素不匹配的错误答案。 题型训练 33．（2026高一·全国·专题练习）已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合集合的特性即可求解. 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 34．（2026高一·上海奉贤·期中），则______． 【答案】0 【分析】根据题意结合集合相等即可得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：0. 35．（2026高一·湖南永州·阶段检测）若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 36．（2026高一·海南儋州·期中）已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 考点九 用列举法表示集合 策略方法 三步标准书写策略 1.求出集合全部满足条件的元素：解方程、枚举整数、提取文字对象、求函数交点等； 2.去重整理：依据互异性，重复元素只保留一个； 3.规范书写：所有元素用逗号隔开，外侧加大括号； 分场景使用细则 1.元素少、数量有限：全部完整列举，如； 2.有限但数量多：列举前几项+末尾省略号，如； 3.无限但有规律：列举前几项+中间省略号，如正偶数； 4.方程组解集、函数图像交点（点集）：元素必须写成有序数对，例。 避坑要点 点集不能直接写数字，必须用括号表示坐标；同一元素不可重复写出。 题型训练 37．（2026高一·全国·专题练习）用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据语言描述，用列举法表示集合； （2）解方程求出，再利用列举法表示结合； （3）根据语言描述和偶数性质，用列举法表示集合； （4）根据质数的性质，用列举法表示集合． 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 38．已知集合 (1)用列举法表示该集合； (2)验证该集合所有元素和为. 【答案】(1) (2)由集合知元素之和为：， 所以集合元素和为. 【分析】（1）解方程即可得出集合； （2）计算元素之和即可验证. 【详解】（1）因为，解得：， 所以. （2）略 39．用列举法表示下列集合： (1)方程的解组成的集合； (2)函数的图象与坐标轴的交点组成的集合 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由方程，得或， 所以方程的解为1或2，因此可以用列举法表示为. （2）函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为，因此可以用列举法表示为． 40．用列举法表示集合. 【答案】 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有， 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是． 所以． 考点十 用描述法表示集合 策略方法 完整解题策略 1.区分集合代表元素类型： 数集（方程解、函数值、整数）：竖线左侧写单个字母； 点集（图像上的点、平面坐标）：竖线左侧写有序数对； 2.规范书写格式： ① 竖线左侧标注元素符号+取值范围（实数可省略，整数、自然数必须标注）； ② 竖线右侧完整写出所有约束条件，多个条件用“且”连接，分类情况用“或”； ③ 描述中出现额外字母（如），必须在大括号内标注，不能写在括号外； 3.选择使用原则：元素共性清晰、数量无限用描述法；元素数量少、直观可数用列举法。 示例规范写法 被9除余2的整数：； 第一、三象限所有点： 避坑要点 不要遗漏变量取值范围；数集和点集格式不可混用。 题型训练 41．（2026高一·全国·专题练习）用描述法表示下列集合： (1)； (2)36的所有整因数组成的集合； (3)二次函数的函数值组成的集合； (4)反比例函数的自变量组成的集合； (5)不等式的解集； (6)被9除余2的所有整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）根据题意可知，； （2）根据题意可知，36的所有整因数组成的集合为； （3）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为； （4）反比例函数的自变量为x， ∴反比例函数的自变量组成的集合为； （5）由，得，∴不等式的解集为； （6）由题意被9除余2的所有整数组成的集合可用描述法表示为. 42．用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合； (2)被除余的正整数组成的集合； (3)二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合． (4)使函数有意义的实数组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】根据题意逐项代入分析即可求解. 【详解】（1）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为． （2）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为． （3）由于， 所以用描述法表示二次函数的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 ． （4）由，则 ，故集合为． 43．用描述法表示下列集合： (1)比1大又比10小的所有有理数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）比1大又比10小的所有有理数组成的集合可表示为； （2）正偶数组成的集合是． （3）函数的图象上所有的点组成的集合是． 44．用适当的方法表示下列集合： （1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）所组成的自然数的集合______； （2）______； （3）方程的解集______； （4）平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合______． 【答案】 【详解】（1）由三个数字中的两个数字（没有重复数字）组成的自然数有，用列举法可表示为． （2）因为，所以，又因为，所以， 又因为，所以，所以原集合用列举法可表示为． （3）由，得所以， 所以方程的所有解组成的集合用描述法可表示为． （4）设平面直角坐标系中第一、三象限的点为，则， 所以平面直角坐标系中第一、三象限的全体点的坐标构成的集合可表示为． 考点十一 集合表示法的综合应用 策略方法 三层解题策略 1.识别代表元素，转化题型： 集合元素是（方程根）→转化解方程，判断根的个数； 集合元素是（函数值）→转化求函数值域； 集合元素是（点）→转化函数图像、平面坐标问题； 2.含参数分类讨论： 集合对应含参数方程时，区分一次、二次方程，讨论参数取值对解集、元素个数的影响；求出参数后，必须回代检验集合互异性； 3.题干附带新规则/新定义：将陌生定义拆解、翻译为基础集合知识点（元素判断、集合相等、子集、运算），分步代入数值演算推导。 避坑要点 看错代表元素是最常见错误，区分（数集）和（点集）。 题型训练 45．【多选】（2026高一·广西·期中）已知集合，下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据集合的定义，分别分析集合与集合的元素特征，再据此对各选项进行判断. 【详解】集合集合． 集合表示抛物线的点的坐标组成的集合， 故，A错误； 由知时，，当时，，故CD正确； 由知，故B正确． 故选：BCD. 46．【多选】（2026高一·重庆·阶段检测）下列四个命题中正确的是（   ） A．由所确定的实数集合为 B．同时满足的整数解的集合为 C．与集合相等的是 D．中含有四个元素 【答案】ABD 【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可. 【详解】对于A，讨论的符号并列出以下表格： 由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A正确. 对于B，选项:由，， 所以解不等式组得，其整数解所组成的集合为，故B正确. 对于C，若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格： 0 1 2 3 4 5 8 由表可知集合可以化简为，故C不正确. 对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格： 1 2 3 6 2 1 0 因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D正确. 故选：ABD. 47．【多选】（2026高一·福建宁德·阶段检测）下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据常见数集符号概念以及集合的描述法逐项判断即可. 【详解】A选项，由于，，故A选项错误；B选项，符合有理数的定义，B选项正确； C选项，其中的范围为，C选项正确； D选项，不等式即，无解，故D选项正确； 故选：BCD. 48．（2026高一·全国·专题练习）已知集合． (1)若，求集合； (2)若集合中各元素之和等于，求实数的值，并用列举法表示集合． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，直接解出集合即可； （2）解方程，对实数的取值进行分类讨论，求出集合，根据集合的元素之和为进行检验或求出的值，即可得解. 【详解】（1）当时，， 解得或或，故． （2）因为， 解该方程可得或或． 根据集合中元素的互异性知当方程有重根时， 重根只能算作集合的一个元素， 当时，可得，不符合题意； 当，即时，可得，符合题意； 当且时，，则， 解得，此时，符合题意． 综上，实数的值为或； 当时，；当时，． 考点十二 集合的新定义题 策略方法 分步详细解题策略 1.精读定义，拆解规则：逐句提取题干给出的新概念、新运算、特殊判定条件（如孤立元素、集合新运算、新型子集），圈出关键限制； 2.转化基础集合知识：把陌生定义翻译成已学知识点，对应元素判断、列举集合、集合相等、子集个数、元素求和等常规题型； 3.代入实例演算验证：选取简单数字代入定义，验证自己对规则的理解无误，避免理解偏差； 4.完整计算求解：根据规则枚举所有集合元素，利用互异性去重，再计算元素个数、子集数量、元素总和、满足条件的参数等最终问题。 典型应用场景 集合自定义运算、孤立元素、新型子集、差集、和集等创新题型。 避坑要点 不要凭固有集合知识主观臆断，一切计算严格遵循题干给出的全新规则。 题型训练 49．（2026高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 50．（2026·辽宁·模拟预测）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 51．（2026·安徽蚌埠·模拟预测）对于数集，，定义，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的新定义求出 和 ，即可求出元素之和. 【详解】根据新定义，集合，则， 则 ，则可知所有元素之和为. 故选：D 52．定义且，若集合，，的子集的个数是______. 【答案】8 【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【详解】由题知且，且，， 所以， 所以的子集的个数是， 故答案为：8 $