第04讲 充分条件与必要条件讲义-2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

第04讲 充分条件与必要条件 1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题； 4．能对充分条件进行证明。 一、命题定义与表示 1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 二、充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件定义 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。 （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。 2、充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。 三、充要条件 1、充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 2、充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 四、充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一、充分条件、必要条件的判断 例1　(1)设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 【答案】C 【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解. 【详解】由可得或， 命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件； 命题可推出命题，命题是命题的必要条件， 是的必要不充分条件． 故选：C. (2)（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 【答案】BC 【分析】利用充分性与必要性的条件判断即可. 【详解】由题意可知只有更上一层楼才能穷千里目，但仅更上一层楼，未必能穷千里目， 所以“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件，“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件； 故A错误，B正确，故C正确，D错误. 故选：BC. 跟踪训练1　(1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）． ①数a能被6整除，数a能被3整除； ②； ③有两个角相等，是正三角形； ④． 【答案】(1)充分不必要条件． (2)充分不必要条件 (3)必要不充分条件 (4)充要条件 【分析】利用充分条件，必要条件，充要条件的定义可以直接求解. 【详解】（1）不能推出p， 是q的充分不必要条件． （2）不能推出是q的充分不必要条件． （3）不能推出是q的必要不充分条件． （4）当时，有，即． 而当时，有，即． 是q的充要条件． （2）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． ①，； ②是直角三角形，是等腰三角形； ③：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； ④或，； ⑤，：方程有实数根． 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 (4)充要条件 (5)充分非必要条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 考点二、充要条件的判断 例2　(1)已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. (2)已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为 且且是等边三角形， 所以“是等边三角形”是“”的充要条件. 跟踪训练2　(1)（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得或，所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B；由，得，所以“”是“”的充分条件； 由，得，所以“”是“”的必要条件； 所以“”是“”的充要条件，故B正确； 对于C；由，且，得，所以，且是的充分条件； 当时，有，但且， 所以，且是的不必要条件； 所以“，且”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，由，得或，所以是的不充分条件， 由，得，所以是的必要条件； 所以“”是“”的必要不充分条件，故D错误. (2)设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 考点三、充分条件、必要条件及充要条件的探求 例3　(1)（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【详解】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. (2)（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 【答案】AB 【分析】由必要条件的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，所以A符合题意； 对于B，若方程有实根，则需满足，即，可推出，故B符合题意； 对于C，若四边形是平行四边形，则四边形对角线不一定互相垂直，故C不符合题意； 对于D，若，则为有理数，故D不符合题意. 故选：AB. 跟踪训练3 (1)（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可. 【详解】解：因为，所以，则成立的必要条件是或 故选：AB. （2）（多选）下列条件中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D．且 【答案】ACD 【分析】根据充分条件的定义依次讨论各选项即可求解. 【详解】对于A选项，因为，故，所以A选项正确； 对于B选项，因为，故不成立，故B选项错误； 对于C选项，因为，故，故C选项正确； 对于D选项，因为且，故，即：，故D选项正确. 所以A，C，D中的条件均是“”的充分条件，B中的条件不是“”的充分条件. 故选：ACD 考点四、根据充分条件、必要条件求参数 例4 (1)设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】结合充分条件性质，分与进行讨论即可得. 【详解】若，即时，， 此时是的充分条件； 若，即时， 由是的充分条件，则或， 分别解得或，故，又，无解； 综上所述：. 故答案为：. (2)已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，，由条件得到，列出不等式求解即可； （2）由条件得到，通过和两类情况讨论即可. 【详解】（1）令，， 因为是的必要条件， 所以, 可得：解得：， 即实数的取值范围是； （2）由是的充分条件， 可得：， 当时，满足题意，此时，即； 当时，需满足此时，解集为； 综上：实数的取值范围 跟踪训练4 已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据条件，列出不等式组，可求的取值范围. 【详解】（1）因为是的必要条件，所以. 所以实数的取值范围为. （2）因为是的充分条件，所以. 所以实数的取值范围为. （3）因为是的充分不必要条件， 所以命题所表示的集合是命题所表示的集合的真子集. 由（2）可知，当时，集合. 又因为与不能同时成立（前者解得，后者解得）， 所以两个集合不可能相等. 故是的充分不必要条件的充要条件与是的充分条件等价， 所以实数的取值范围为. 考点五、充要条件的证明 例5 (1)已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） 【答案】答案见解析 【分析】直接根据立方和公式因式分解即可得证. 【详解】， 而，所以， 所以时，， 综上所述，时，的充要条件是． (2)设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 【答案】 证明：因为，所以函数图象的对称轴为直线， 所以. 先证充分性：因为，且，所以； 再证必要性：因为对于，，所以，即，从而. 综上可知，对于，的充要条件是. 【分析】先求出函数的最小值，再分别证明充分性和必要性即可. 【详解】略 跟踪训练5 已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 【答案】证明见解析 【分析】先证必要性，根据两方程有公共根，探索的关系，判断三角形的形状；再证充分性，根据得到的关系，解两个方程，可得它们有公共解.最后总结作答即可. 【详解】必要性：设方程与的公共根为， 则，，两式相加，得或（因为，所以不成立，故舍去）， 将代入，得， 整理得，所以，因此，必要性成立． 充分性：当时，． 可化为，即， 所以方程的两根为，． 同理，由可得， 所以方程的两根为，． 显然，故两方程有一个公共根，因此充分性成立． 故关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【详解】解不等式得或，若，则成立，满足充分性， 由得或，不能推出，不满足必要性， 故是的充分不必要条件． 2．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据可得出，利用集合的包含关系可求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则， 又因为集合，，则或，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的定义进行求解即可． 【详解】对于B：由得，解得，显然为充要条件，错误； 对于A：因为能推出，不能推出， 所以是不等式的充分不必要条件，正确； 对于C：因为不能推出，能推出， 所以是不等式的必要不充分条件，错误； 对于D：因为不能推出，不能推出， 所以是不等式的即不充分也不必要条件，错误. 故选：A. 4．在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若甲的生肖不是羊，则甲的生肖未必属于六畜； 若甲的生肖属于六畜，则甲的生肖不一定是羊. 故“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的既不充分也不必要条件. 故选：D 5．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，问题转化为两个集合的包含关系，可求实数的取值范围. 【详解】非空集合， 是的充分不必要条件，则有集合是集合的真子集，所以， 即实数的取值范围为. 6．已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知集合A是集合B的真子集，结合包含关系分析求解. 【详解】若的一个充分不必要条件是，可知集合A是集合B的真子集， 且，，可得， 所以m的取值范围是. 故选：A. 7．（多选）关于的方程有实数根的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据方程有根，应用判别式求参数范围，结合充分不必要条件的定义确定答案. 【详解】由有实数根，则，即， 所以是题设方程有实数根的充要条件， 所以、均为方程有实数根的充分不必要条件， 为方程有实数根的必要不充分条件. 故选：AB 8．（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．是的充要条件 B．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 C．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 D．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 【答案】AB 【分析】对于选项A：利用集合间的关系与运算即可判断；对于选项B：根据有理数的运算性质即可判断；对于选项C、D：结合三角形的性质即可判断． 【详解】对于选项A：根据交集的性质易知是的充要条件，故选项A正确； 对于选项B：当时，此时， 当，此时满足的解可以为， 所以或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件，故选项B正确； 对于选项C：在中，是锐角，则可能为锐角，直角或钝角， 故无法得出一定为锐角三角形； 若为锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知的三个内角均为锐角的三角形， 所以是锐角是为锐角三角形的必要不充分条件，故选项C错误； 对于选项D：当是钝角时，则为钝角三角形. 当为钝角三角形不一定能推出是钝角， 所以是钝角是为钝角三角形的充分不必要条件，故选项D错误； 故选：AB． 9．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 【答案】②④ 【详解】对于①，9是合数，但9不是偶数，故①错误； 对于②，由，可得，故②正确； 对于③，当时，方程无解，故③错误； 对于④，当时满足，但， 当时，可得，则“”是“”的必要非充分条件，故④正确. 10．已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 【答案】 【分析】解方程，把集合具体化，然后利用集合间的关系可得答案. 【详解】由，得或，故； 由，得：，故； “ 是 的必要条件但不是充分条件”等价于 且 ， 或 ， 解得：或. 故答案为： 11．下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 【答案】(1)必要非充分条件 (2)既非充分又非必要条件 (3)必要非充分条件 【分析】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. 【详解】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件. （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件. （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分， ∴是的必要非充分条件. 12．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据交集的定义运算； （2）由已知得，再由集合的包含关系求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）若，则， 因为，所以； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 所以， 即实数m的取值范围是． 13．已知集合， (1)当时，求. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先确定时集合，再结合集合求并集； （2）将充分不必要条件转化为集合的真包含关系，通过列不等式组求解参数范围. 【详解】（1）当时，，，则. 又，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，可知是的真子集. 其中为非空集合，因此，且等号不同时成立，解得， 即实数的取值范围是. 14．（1）已知．若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． （2）证明：“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）由必要不充分条件列不等式求参数范围即可； （2）从充分、必要性两个方面判断条件间的推出关系，即可证. 【详解】（1）若p是q的必要不充分条件，则（注意等号不能同时成立），可得； （2）由两条边上的高相等，根据等面积法知：对应的两条边也相等， 所以为等腰三角形，故充分性成立， 由为等腰三角形，则两腰上对应的高必相等， 所以两条边上的高相等，必要性成立， 综上，“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件. 15.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，所以，分和两种情况求解即可； （2）由是的充分不必要条件，得到A是B的真子集，再根据题目列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以； 当时，则 ，得到； 当时，需满足，解得， 这三个条件没有交集，因此时无解； 综上所述，的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件，所以A是B的真子集； 则或，解得. 实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 充分条件与必要条件 1．理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义； 2．了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系； 3．能通过充分性、必要性解决简单的问题； 4．能对充分条件进行证明。 一、命题定义与表示 1、命题的定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题． 判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题． 2、命题的表示：命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论． 二、充分条件与必要条件 1、充分条件与必要条件定义 （1）一般地，“若，则”为真命题，是指由条件通过推理可以得出结论. 这时，我们就说，由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件。 （2）如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作. 这时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件。 2、充分条件与必要条件的关系 是的充分条件反映了，而是的必要条件也反映了，所以是的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同。 而是的充分条件只反映了，与能否推出没有任何关系。 三、充要条件 1、充要条件的定义 如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均为真命题，即既有，又有，就记作。 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称充要条件。 2、充要条件的含义 若是的充要条件，则也是的充要条件，虽然本质上是一样的，但在说法上还是不同的， 因为这两个命题的条件与结论不同。 3、充要条件的等价说法：是的充要条件又常说成是成立当且仅当成立，或与等价。 四、充分、必要、充要条件的证明 1、证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”，一般先证明一个方面，然后验证另一个方面不成立。 2、证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件。 尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了。 一般地，证明成立的充要条件为，在证明充分性时，应以为“已知条件”，是在该步中要证明的“结论”，即；在证明必要性时，则是以为“已知条件”，在该步中要证明的“结论”，即 考点一、充分条件、必要条件的判断 例1　(1)设，，则（    ） A．既是的充分条件，也是的必要条件 B．是的充分条件，但不是的必要条件 C．是的必要条件，但不是的充分条件 D．既不是的充分条件，也不是的必要条件 (2)（多选）王之涣《登鹳雀楼》中的诗句“白日依山尽，黄河入海流；欲穷千里目，更上一层楼”隐含了“只有更上一层楼，才能穷千里目”的逻辑关系，请判断以下哪些选项正确（    ） A．“更上一层楼”是“能穷千里目”的充分条件. B．“更上一层楼”是“能穷千里目”的必要条件. C．“能穷千里目”是“更上一层楼”的充分条件. D．“能穷千里目”是“更上一层楼”的必要条件. 跟踪训练1　(1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）． ①数a能被6整除，数a能被3整除； ②； ③有两个角相等，是正三角形； ④． （2）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． ①，； ②是直角三角形，是等腰三角形； ③：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； ④或，； ⑤，：方程有实数根． 考点二、充要条件的判断 例2　(1)已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 (2)已知的三条边长为a，b，c，则“是等边三角形”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练2　(1)（多选）下列结论中正确的是（    ） A．“”是“”的充要条件 B．设，是集合，则“”是“”的充要条件 C．“，且”是“”的充分不必要条件 D．设是集合，则“”是“”的充要条件 (2)设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点三、充分条件、必要条件及充要条件的探求 例3　(1)（多选）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． (2)（多选）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（   ） A．若，则 B．若，则方程有实根 C．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是平行四边形 D．若为无理数，则m，n均为无理数 跟踪训练3 (1)（多选）下列条件中，是“”成立的必要条件的是（    ） A． B． C． D． （2）（多选）下列条件中是“”的充分条件的是（    ） A． B． C． D．且 考点四、根据充分条件、必要条件求参数 例4 (1)设，或，若是的充分条件，实数的取值范围为____________. (2)已知，. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 跟踪训练4 已知. (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)若是的充分条件，求实数取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 考点五、充要条件的证明 例5 (1)已知，求证：的充要条件是． （参考公式：） (2)设函数，且，证明：对于，的充要条件是. 跟踪训练5 已知的内角，，的对边分别为，，，求证：关于的一元二次方程与有一个公共根的充要条件是． 1．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 2．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．不等式的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 4．在中国传统的十二生肖中，马、牛、羊、鸡、狗、猪为六畜，则“甲的生肖不是羊”是“甲的生肖属于六畜”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知非空集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知，，且的一个充分不必要条件是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）关于的方程有实数根的充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列命题是真命题的是（　　） A．是的充要条件 B．或为有理数是为有理数的既不充分也不必要条件 C．在中，是锐角是为锐角三角形的充分不必要条件 D．在中，是钝角是为钝角三角形的充要条件 9．下列命题：①合数一定是偶数，②若，则，③方程的解是，④“”是“”的必要非充分条件，其中真命题的是________.（填写序号） 10．已知和，且是的必要条件但不是充分条件，则实数的取值集合为________. 11．下列命题中，判断条件是条件的什么条件. (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形. 12．已知全集， ，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围． 13．已知集合， (1)当时，求. (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 14．（1）已知．若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围． （2）证明：“两条边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 15.已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $