专题11整数指数幂与分式方程暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版八年级数学上册

专题11整数指数幂与分式方程暑假预习讲义 1. 概念区分：明确分式方程定义，依据分母是否含未知数，快速区分分式方程与整式方程。 2. 掌握解法流程：理解去分母将分式方程转化为整式方程的核心转化思想，牢记解题四步骤：确定最简公分母→去分母化为整式方程→求解整式方程→代入最简公分母验根。 3. 理解增根知识：弄懂增根产生的原因，知晓使最简公分母为0的解为增根，出现增根则原分式方程无解；能利用增根求解方程中的参数。 4. 方程应用建模：针对行程、工程、销售类应用题，梳理等量关系列出分式方程，解题后双重检验（数学验根+检验答案符合实际意义） 。 5. 规避高频错误：去分母时杜绝漏乘不含分母的常数项、解题省略验根步骤、混淆增根与方程无解的概念、符号运算出错。 6. 培养数学素养：体会方程转化、建模思想，串联分式运算与一元一次方程旧知，提升代数解题的严谨性。 预习必备 知识梳理 1.整数指数幂 2.小于 1 的小数科学记数法 3.分式方程的定义 4.分式方程的解法 5.增根 6.分式方程的应用 常考题型 精讲精练 1.负整数指数幂 2.整数指数幂的运算 3.小数的科学记数法 4.科学记数法原数还原 5.分式方程的定义 6.解分式方程 7.有分式方程解的情况求值 8.分式方程无解情况 9.列分式方程 10.分式方程行程问题 11.分式方程工程问题 12.分式方程经济问题 13.分式方程和差倍分问题 14.其他实际问题 强化题型 解答题10题 知识点 01 整数指数幂 1.正整数指数幂基础法则 设a≠0，b≠0，m、n为正整数 运算类型 运算法则 举例 同底数幂相乘 aman=am+n x3 x4=x7 同底数幂相除 am÷an=am−n x8 x2=x6 幂的乘方 (am)n=amn (x2)4=x8 积的乘方 (ab)n=anbn (2xy)2=4x2y2 分式乘方 ()n= ()3= 2.零指数幂 规定a0=1，限制条件a≠0，00无数学意义； 示例：50=1，(x-3)0=1（x≠3）。 3.负整数指数幂 核心规则：a-p=（a≠0，p为正整数）\)，指数随分数线上下移动互换正负。 易混对比表 原式 正确化简 典型错误 y-2 -y2 2x-1 (2x)-1 (-4)-2 - 4.通用整数指数运算法则 五条法则对正、零、负整数全部适用： 知识点02：小于 1 的小数科学记数法 数值范围 标准形式 n取值规则 示例 大于等于 10 a×10n n正整数 4500=4.5×103 0<数值<1 a×10-n n正整数 0.0045=4.5×10-3 判定方法：小数点右移至首个非零数字，移动位数为n；混合运算分开计算系数与 10 的幂。 知识点 03 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 方程类型 判断标准 举例 整式方程 分母不含未知数 2x+1=5、-1=0\) 分式方程 分母含有未知数 =2、=3 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 04 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点05 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 4.无解两种情况对比 无解分类 判定条件 实例 存在增根 整式方程有解，但解为增根 整式方程矛盾无解 化简后出现0×未知数 = 常数 专题06分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.应用题核心等量关系 题型 基础公式 行程 时间 = 路程 ÷ 速度 工程 工作时间 = 工作总量 ÷ 效率（总量常设 1） 销售 数量 = 总金额 ÷ 单价 浓度 浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液总质量 储蓄问题 本息和 = 本金 + 利息 . 和差被分问题 A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 知识点 07 本节高频易错点 1.去分母时，常数项、不含分母的项漏乘最简公分母，等式左右两边不相等； 2.解完分式方程省略检验步骤，直接写答案，忽略增根存在； 3.找增根题型混淆逻辑，不会先令分母为 0 确定增根数值； 4.分子是多项式时，去分母后忘记给分子整体添加括号，符号出错； 5.应用题只做数学检验，忽略实际意义，出现负数人数、负速度等不合理解； 6.混淆分式方程与整式方程定义，把分母为常数的方程判定为分式方程； 7.方程两边同乘最简公分母时，负号分配错误，去括号变号失误。 题型1.负整数指数幂 【典例】计算：________． 【答案】/0.25 【详解】解：． 【跟踪专练1】已知，，，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ，， 比较大小可得：， ∴． 【跟踪专练2】用10的负整数指数幂填空： （1）是的1000000倍，_________s； （2）_________； （3）_________m； （4）_________； （5）_________； （6）_________． 【答案】 ； ； ； ； ； 【分析】先根据不同单位间的进率进行换算，再根据负整数指数幂的定义将结果改写为的负整数指数幂形式即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2），， ； （3）， ； （4）， ； （5）， ； （6），， ． 【跟踪专练3】已知与的和是单项式，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同类项定义“相同字母的指数相等”列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解：∵与的和是单项式， ∴， 解得， ∴． 题型2.整数指数幂的运算 【典例】．计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】纳米是非常小的长度单位，，把1nm的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上．的空间可以放______个体积为的物体． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，解决本题的关键是掌握同底数幂的除法法则. 根据求出，再根据列出算式，进行计算即可. 【详解】解： 答：的空间可以放个的物体. 故答案为： ． 【跟踪专练2】计算：______． 【答案】 【分析】本题考查幂的混合运算，注意负整数指数幂的运算法则，注意符号． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练3】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数指数幂的运算法则进行运算即可． 【详解】解：原式= 故选：A． 【点睛】本题考查了整数指数幂的运算，掌握运算法则是解题的关键 题型3.小数的科学记数法 【典例】世界最小生物身长只有米，用科学记数法表示为________． 【答案】 【详解】科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中满足，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 对于，可得，原数第一个不为零的数字前面共有个，即， 因此 ． 【跟踪专练1】生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，已知一个DNA分子的直径约为0.00000023cm，将数据0.00000023用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示小于1的正数，科学记数法的表示形式为，其中，为原数左起第一个非零数字前零的个数，根据规则计算即可． 【详解】∵对于，左起第一个非零数字为，前面共有个零，满足， ∴ ． 【跟踪专练2】已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法，同底数幂的除法；用水分子的直径除以植物表皮细胞的直径，得到倍数，再根据科学记数法的要求表示结果． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练3】钾-氩定年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 题型4.科学记数法原数还原 【典例】在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 【答案】0.000000102 【详解】解：对于科学记数法，当时，将的小数点向左移动位即可得到原数， 本题中，，． 将的小数点向左移动位，得到原数为． 【跟踪专练1】2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【详解】解：∵纳秒秒秒， ∴纳秒秒秒． 【跟踪专练2】一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，熟记科学记数法的定义是解题关键．根据科学记数法中的指数的绝对值可得将小数中的小数点向左移动5位即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：∵本题答案为1， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴破损处“0”的个数为． 题型5.分式方程的定义 【典例】请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】明确分式方程的分母必须含有未知数，通过合理组合给定代数式构造等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得到，或或． 【跟踪专练1】下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解． 【详解】解：A、是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程； B、是一元一次方程，是整式方程，所以B不是分式方程； C、是一元一次方程，是整式方程，所以C不是分式方程； D、分母含有未知数x，所以D是分式方程． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键． 【跟踪专练2】已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个判断即可，要注意分式方程中分母是关于未知数的整式． 【详解】解：①②分母中不含未知数，不是分式方程；③④⑤分母中含有未知数，是分式方程；⑥根号下含有未知数，是无理方程，不是分式方程， 故答案为：③④⑤． 【跟踪专练3】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，读懂题目的意思，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是．由于种植红薯地的面积=这块地的总产量÷平均每亩产量，根据改良红薯品种前后种植红薯地的面积不变列方程求解，用含a、m的代数式表示出x即可． 【详解】解：设原来红薯平均每亩产量是，则现在红薯平均每亩产量是． ∵总产量增加了， ∴， 解得：， 经检验符合题意， 所以现在平均每亩红薯的产量是． 故选：B． 题型6.解分式方程 【典例】解分式方程，去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 方程两边同乘以去分母，得． 【跟踪专练1】解分式方程时产生了增根，这个增根是______． 【答案】 【详解】解：把方程去分母得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解， ∴这个增根是． 【跟踪专练2】对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 【答案】 【分析】按照新定义的运算规则，将已知等式转化为关于x的分式方程，然后解方程并检验即可． 【详解】解：∵， ∴， ，解得：， 经检验：是分式方程的解． 【跟踪专练3】关于的分式方程，下列说法正确的是（     ） A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解 【答案】B 【分析】先解分式方程，结合分式分母不为零的隐含条件，得到方程有解的条件，再逐一判定各选项即可． 【详解】解：对去分母，得， 解得分式方程分母不能为，因此，即，只有时方程才有解； 对各选项逐一判定：A选项：没有说明，当时方程无解，因此A错误； B选项：当时，，且，方程有解且解为正数，因此B正确； C选项：当时，若方程无解，不满足解为负数，因此C错误； D选项：当时，，代入原方程得，等式成立，方程有解，因此D错误． 题型7.由分式方程解的情况求值 【典例】已知是分式方程的根，则实数的值为________． 【答案】 【分析】把代入分式方程即可求解． 【详解】解：把代入分式方程得， ， ． 【跟踪专练1】若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入分式方程，再解方程即可得解． 【详解】解：是分式方程的根， ， 方程两边都乘，得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 解得． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的代数式，再结合分式方程的解为非负数的条件，同时考虑分式分母不为零的限制，即可求出的取值范围． 【详解】解：给原分式方程两边同时乘以最简公分母，得 ， 解该整式方程得， 由分式方程的解为非负数，可得， 解得， 由分式方程分母不能为，得，即， 解得， 故的取值范围是且． 【跟踪专练3】关于的方程有增根，则的值是（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式方程增根的性质，解题思路为：先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出的值； 【详解】解：∵ 分式方程的分母为和，分式方程有增根， ∴ 令，得增根为； 将原方程变形为，即， 方程两边同乘最简公分母，得整式方程， 把增根代入整式方程，得， 解得； 题型8.分式方程无解情况 【典例】若关于的分式方程无解，则的值是__ ． 【答案】1 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 则， 原方程无解，即有增根， ， ， 则， 解得：， 故答案为：1． 【跟踪专练1】在一次活动中，小明需要将一段长度为x米的绳子进行处理．他发现如果按照某种方式将绳子分成若干段，其中一种分式关系可以表示为．然而，在实际操作过程中，小明发现这个分式关系无解，那么a的值为（　　） A．和 B． C． D．和 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，然后分两种情况，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 即， 当时，， 当时，， ∵原方程无解， ∴或， ∴或， ∴； 综上所述，a的值为或． 故选：A 【跟踪专练2】如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 【跟踪专练3】若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程解得情况，求参数的值．解题的关键是掌握整式方程无解和分式方程有增根时，分式方程无解，是解题的关键．先将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：方程去分母，得：， 即 ∵整式方程有解， ∴当分式方程有增根时，分式方程无解， ∴， 将，代入整式方程，得：， 即：； 故选：A． 题型9.列分式方程 【典例】小明家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为y元，则可列分式方程为________ 【答案】 【分析】设纯电汽车每百公里的耗电费为元，可得燃油汽车每百公里的耗油费为元，根据两种汽车行驶路程相等的等量关系即可列出分式方程． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，则燃油汽车每百公里的耗油费为元， ∵燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同， ∴根据题意得． 【跟踪专练1】2026年广东省“十五五”规划中明确提出发展低空经济．某无人机物流公司用A、B两种型号的无人机进行配送，A型无人机每架次的配送量比B型多20件，A型无人机配送600件与B型无人机配送480件所需的架次相同．设B型无人机每架次的配送量为x件，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意表示出A型无人机每架次的配送量，再根据公式：，结合两种无人机所需架次相同，即可列出对应方程。 【详解】解：∵设型无人机每架次的配送量为件，型无人机每架次的配送量比型多件， ∴型无人机每架次的配送量为件， ∵型无人机配送件与型无人机配送件所需的架次相同， ∴型配送件的架次为，型配送件的架次为， 因此可得方程． 【跟踪专练2】小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则第二次购买每盒（元/盒），根据第二次比第一次多买2盒列出分式方程即可． 【详解】解：设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则第二次购买每盒（元/盒）， 根据题意可得出． 【跟踪专练3】体育测试中，小高和小州进行1000米跑测试，小高的速度是小州的1.25倍，小高比小州少用了40秒，设小州的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以两人的跑步时间差为等量关系，结合路程与速度列方程. 【详解】解：小州跑1000米的时间为秒，小高的速度为米/秒，跑1000米的时间为秒， ∵小高比小州少用40秒， ∴. 题型10.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 【答案】 【分析】设步行速度为，则骑自行车的速度为，然后根据时间相同建立分式方程． 【详解】解：设步行速度为，则由题意得，． 【跟踪专练1】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一．其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，设规定的时间为天，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意表示出快马和慢马的速度，再利用快马速度是慢马速度2倍的关系列方程． 【详解】解：∵ 设规定时间为天， ∴ 慢马所需时间为天，慢马速度为， 快马所需时间为天，快马速度为， 又∵ 快马的速度是慢马的倍， ∴ ． 【跟踪专练2】用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差．求乙型赛车的平均速度． 【答案】乙型赛车的平均速度为 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 设乙型赛车的平均速度为，根据时间列出方程求解检验即可． 【详解】解：设乙型赛车的平均速度为， 由题意，得， 解得． 检验：当时，， 所以原方程的解为，且符合题意． 答：乙型赛车的平均速度为． 【跟踪专练3】为了对学生进行革命传统教育，某中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．求其他班步行的平均速度． 【答案】其他班步行的平均速度为80米/分 【分析】设其他班步行的平均速度为x米/分，则九（1）班步行的平均速度为米/分，根据时间路程速度结合九（1）班比其他班提前10分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设其他班步行的平均速度为米/分， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：其他班步行的平均速度为80米/分． 题型11.分式方程工程问题 【典例】为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某制药企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产8万份疫苗，现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程为________ 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程解决实际问题，准确理解题意，找准数量关系是解题的关键． 设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产 万份，根据“现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天”即可得到方程． 【详解】解：设现在每天生产x万份，则更新技术前每天生产 万份，由题意得 故答案为：． 【跟踪专练1】某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以“提前3天完成”为等量关系，分别表示原计划和实际的工作时间即可列方程． 【详解】解：设原计划每天种植的面积为亩，则实际每天种植的面积为亩. 原计划工作时间为天， 实际工作时间为天， 根据题意可得． 【跟踪专练2】用计算机处理数据，为防止数据出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两个人的输入是否一致．两人各输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙提前个小时输完，求乙每小时能输入多少个数据？ 【答案】乙每小时能输入个数据 【分析】设乙每小时能输入个数据，由题意：两人各输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙提前个小时输完，列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设乙每小时能输入个数据， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：乙每小时能输入个数据． 【跟踪专练3】在社会主义新农村建设中，县交通局决定对某乡的村级公路进行改造，由甲工程队单独施工，预计天能完成．为了提前完成任务，改由甲、乙两个工程队同时施工，天就能完成．试问：若由乙工程队单独施工，需要多少天才能完成任务？ 【答案】 由乙工程队单独施工，需要225天才能完成任务 【分析】设乙的工作效率为，由题目数量关系列方程求解即可． 【详解】解：由甲工程队单独施工，预计天能完成， ∴甲的工作效率为， 设乙的工作效率为， ∴， 整理得，， 解得， ， 检验，当时，， ∴是原方程的解，符合题意， ∴由乙工程队单独施工，需要225天才能完成任务． 题型12.分式方程经济问题 【典例】年月，第届世界大学生夏季运动会将在成都举行，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫公仔双肩背包和“蓉宝”吉祥熊猫斜挎包这两种纪念品深受青少年的喜爱．已知双肩背包比斜挎包每个贵元，如果用元购买双肩背包，元购买斜挎包，则购买斜挎包的数量是双肩背包的倍．求双肩背包和斜挎包的进货单价．设双肩背包的进货单价为每个元，则可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设双肩背包的进货单价为每个元，则斜挎包每个元，根据购买斜挎包的数量是双肩背包的倍列方程即可． 【详解】解：设双肩背包的进货单价为每个元，则斜挎包每个元， 根据购买斜挎包的数量是双肩背包的倍列方程为． 故答案为：． 【跟踪专练1】佩戴口罩是有效预防“新冠肺炎”的重要措施之一．某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍．已知A种口罩的单价是B种口罩的1.2倍．设B种口罩单价为x元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍，可以得到购买A种口罩的费用和购买B种口罩的费用，再根据A种口罩数量+B种口罩数量，可以列出相应的分式方程． 【详解】解：∵某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍， ∴购买A种口罩的费用是2000元，购买B种口罩的费用是1000元， 由题意可得，． 【跟踪专练2】某经销商购进一批菊花茶进行销售，第一次用6600元购进若干千克；由于菊花茶畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用4840元所购买的菊花茶比第一次少10千克． (1)求该经销商两次购进的菊花茶每千克分别为多少元； (2)若该经销商销售完两批菊花茶的售价不变，且其利润率不低于，则售价至少为每千克多少元？ 【答案】(1)第一次购买的菊花茶每千克为220元，第二次购进的菊花茶每千克为242元 (2)售价至少为每千克元 【分析】（1）设第一次购买的菊花茶每千克为x元，则第二次购进的菊花茶每千克为元，根据“第二次用4840元所购买的菊花茶比第一次少10千克”列出分式方程，求解并检验即可； （2）先求出两次购买菊花茶的总重量，设每千克售价为y元，根据“利润率不低于”列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购买的菊花茶每千克为x元，则第二次购进的菊花茶每千克为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：第一次购买的菊花茶每千克为220元，第二次购进的菊花茶每千克为242元． （2）解：第一次购进菊花茶（千克）； 第二次购进菊花茶（千克）， 两次购进菊花茶共（千克）， 设每千克售价为y元，根据题意，得 ， 解得． 答：售价至少为每千克元． 【跟踪专练3】2022年5月8日，为庆祝母亲节，小明和爸爸去花店买花送给小明的妈妈，若买3束A种花和2束B种花需26元；买5束A种花和1束B种花需34元． (1)求A，B两种花的单价各是多少？ (2)为了吸引顾客，花店通过打折进行促销活动： ① 若A，B两种花都按m折（即原价的倍）销售，他们发现用720元购买A种花的数量比用464元购买B种花的数量多5束，求m的值； ② 若A种花进行5折销售，B种花进行6折销售，他们同时购买A，B两种花若干束，正好用了60元，则他们同时购买A，B两种花总共多少束？ 【答案】(1)A种花束的单价为6元，B种花束的单价为4元 (2)①；②他们同时购买A，B两种花总共21束或22束或23束或24束 【分析】（1）设A种花束的单价为x元，B种花束的单价为y元，再根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①根据题意列分式方程求解即可；②设购买A种花a束，B种花b束．根据题意列二元一次方程整理得，再结合a，b均为正整数，列举出全部符合题意的解即可解答． 【详解】（1）解：设A种花束的单价为x元，B种花束的单价为y元， 依题意，得：，解得：， 答：A种花束的单价为6元，B种花束的单价为4元． （2）解：①由题意可得：， 解得：，      经检验，是原方程的根． ②设购买A种花a束，B种花b束． 依题意，得：，整理得：， ∵a，b均为正整数， ∴． 答：他们同时购买A，B两种花总共21束或22束或23束或24束． 题型13.分式方程和差倍分问题 【典例】太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 【答案】 【分析】设乙品牌每小时可储存电量，根据储存时间相等列分式方程求解并检验即可． 【详解】解：设乙品牌每小时可储存电量，则甲品牌每小时可储存电量， ​， 解得， 经​检验，是原方程的解且符合实际意义， ∴乙品牌每小时可储存电量． 【跟踪专练1】某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量为万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩的产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万千克，种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算原计划与改良后的种植亩数，结合题干列出分式方程即可． 【详解】解：设原来平均每亩产量为万千克，则改良后平均每亩的产量为万千克， ∴原计划的种植亩数为，改良后的种植亩数为， ∵改良后比原计划的种植亩数减少了亩， ∴可列方程：． 【跟踪专练2】某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【答案】A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料 【详解】解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料， 根据题意得， 解得， 经检验是原方程的解， ， 答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料． 【跟踪专练3】随着科技的飞速发展，人工智能（）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； (2)最多购买A型机器人15台． 【分析】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨，根据每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出每台A型机器人每天搬运货物吨数，再将其代入中，即可求出每台B型机器人每天搬运货物吨数； （2）设购买m台A型机器人，则购买台B型机器人，根据每天搬运的货物不低于2345吨，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物吨， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物100吨； （2）解：设购买m台A型机器人，则购买台B型机器人， 根据题意得：， 解得：， ∵m是正整数， 的最大值为15． 答：最多购买A种型号的机器人15台． 题型14.其他实际问题 【典例】小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【答案】10 【分析】设原计划每天完成页，根据总用时32天列出分式方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到答案． 【详解】解：设原计划每天完成页， 由题意得：， 方程两边同乘，得， 整理得， 解得或， 经检验和都是原方程的解，但不符合实际意义，舍去， 所以小张原计划每天完成10页． 【跟踪专练1】一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（     ） A．加入的水量 B．减少的水量 C．加入的盐量 D．减少的盐量 【答案】B 【分析】根据盐水浓度公式：，分析方程中分子和分母的含义，确定盐的质量和总质量的变化，即可得到的实际意义． 【详解】解：∵原来盐水浓度为，题目要求新浓度为原来的倍，方程左边对应新浓度，观察方程右边，分子仍为，和原来盐的质量相等， ∴盐的质量没有变化，排除C，D； ∵新盐水总质量为，比原总质量减少了，且盐的质量不变， ∴减少的部分为水，即表示减少的水量． 【跟踪专练2】化简求值与解决问题． (1)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． (2)甲乙两班学生总数相同，现对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高，求甲班的合格率． 【答案】(1)化简结果为，当时，值为或当时，值为. (2)甲班的合格率为 【分析】（1）先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，结合分式有意义的条件把或代入计算即可； （2）设甲班有人，则乙班也有人，根据题意得：，进一步解方程即可. 【详解】（1）解： ； ∵，， 当时，原式， 当时，原式. （2）解：设甲班有人，则乙班也有人， 根据题意得：， 解得：， 经检验符合题意； ∴甲班的合格率为. 【跟踪专练3】某工厂计划采购若干机器人和智能车搬运货物，已知购进3台机器人和2台智能车需48万元，购进2台机器人和3台智能车需42万元． (1)求机器人和智能车的采购单价． (2)满载情况下，每台机器人比每台智能车单次多载，运送货物所需的机器人数量恰好与运送货物所需的智能车数量相同，求机器人和智能车的单次最高载货量． 【答案】(1)12万元；6万元； (2)机器人单次最高载货量为，智能车单次最高载货量为 【分析】（1）设机器人每台万元，智能车每台万元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设智能车单次最高载货量为，则机器人单次最高载货量为，根据题意列出分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设机器人每台万元，智能车每台万元， 由题意得， 解得． 答：机器人每台12万元，智能车每台6万元． （2）解：设智能车单次最高载货量为，则机器人单次最高载货量为， 由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：机器人单次最高载货量为，智能车单次最高载货量为． 解答题 1．计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2)10 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式   ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）先将方程的两边乘，转化为一元一次方程，再求值并检验即可． 【详解】（1）解： 由，得， 解得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为． （2）解：方程的两边乘，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 4．若关于x的分式方程无解，求m的值． 【答案】或 【分析】解分式方程，然后根据分式方程无解，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得： ， ∵关于x的分式方程无解， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或． 5．已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程会产生增根？ (2)当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 【答案】(1)当时，此方程会产生增根 (2)k的取值范围是且 【分析】（1）根据增根的定义，得出增根，从而得出k的值； （2）根据解为正数，建立不等式求解，即可得出k的取值范围． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 方程会产生增根， ∴，即， ，解得， 当时，此方程会产生增根； （2）解：方程的解是正数， 且， 解得且． 当此方程的解是正数时，的取值范围是且． 6．请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 【答案】(1)③ (2)；小卢和小吴行驶速度分别为和． 【分析】（1）根据路程除以时间等于速度，结合可得答案； （2）设小卢车速度为，利用小卢用时小吴用时建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，解法一所列的方程中的表示小卢和小吴行驶时间； （2）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时，， 答：小卢和小吴行驶速度分别为和． 7．有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 【答案】(1)实际检修所用时间；工程队原计划完成自来水管道检修任务的时间； (2)选聪聪解法： 解：设原计划每小时检修米 两边同乘： 解得， 检验：时，是分式方程的解， 答：原计划每小时检修管道50米； 选小明解法： 解：设原计划用小时完成，则实际用小时， 根据题意，得 解得， 检验：时，是分式方程的解， （米） 答：原计划每小时检修管道50米； 【分析】（1）根据时间等于工作量除以工作效率，解答即可； （2）根据解分式方程的基本步骤求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 8．量子校园举办校内“公益小集市”，邀请全校师生参与公益售卖活动．八年级（1）班的同学决定售卖自制小蛋糕和鲜榨橙汁．已知一个小蛋糕的成本比一杯橙汁的成本多10元，用650元制作小蛋糕的数量和用150元制作的橙汁数量相等． (1)求一个小蛋糕、一杯橙汁分别的成本； (2)为了促销，除了单卖小蛋糕和橙汁，八年级（1）班的同学还将一个小蛋糕和一杯橙汁组成套餐出售．活动当天，三种商品的销售单价和销量情况如下表．若（1）班本次公益售卖活动共获得400元利润，问共销售了多少份套餐？ 小蛋糕 橙汁 套餐 单价（元） 15 5 18 销量占总销量的百分比 【答案】(1)一个小蛋糕的成本为13元，一杯橙汁的成本为3元 (2)共销售了100份套餐 【分析】（1）设一杯橙汁的成本为x元，则一个小蛋糕的成本为元，根据题意列方程求解即可； （2）设总销售量为份，根据题意，列方程解答即可； 【详解】（1）解：设一杯橙汁的成本为x元，则一个小蛋糕的成本为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：一个小蛋糕的成本为13元，一杯橙汁的成本为3元． （2）解：设总销售量为份， 根据题意，得， 解得， 故， 答：一共销售了100份套餐． 9．重庆正加速打造“低空之城”，无人机作为低空经济的核心技术载体，在物流领域已实现规模化应用．某企业为布局无人机物流配送领域，购进工业级多旋翼无人机与固定翼无人机两种，购买多旋翼无人机花费240万元，购买固定翼无人机花费150万元，且购买多旋翼无人机的数量是购买固定翼无人机数量的2倍，已知购买一架固定翼无人机比购买一架多旋翼无人机多花3万元． (1)求购买一架多旋翼无人机与一架固定翼无人机各需要多少万元？（列方程解决问题） (2)该企业决定再次购进两种无人机共30架，恰逢市场对无人机售价进行调整，多旋翼无人机的售价比第一次购买时提高了10%．固定翼无人机按第一次购买时售价的9折出售．如果该企业此次购买两种无人机的总费用不超过400万元，那么最多可购买多少架固定翼无人机？ 【答案】(1) 购买一架多旋翼无人机需要12万元，购买一架固定翼无人机需要15万元. (2) 最多可购买13架固定翼无人机. 【分析】（1）设两种无人机的单价，再根据“多旋翼无人机数量是固定翼无人机数量的2倍”的等量关系列分式方程，求解检验后得到结果； （2）设固定翼无人机的购买数量，根据售价调整规则算出新单价，再根据“总费用不超过400万元”列出不等式，结合数量为正整数求出最大值即可． 【详解】（1）解：设购买一架多旋翼无人机需要万元，则购买一架固定翼无人机需要万元， 根据题意得：， 解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：购买一架多旋翼无人机需要12万元，购买一架固定翼无人机需要15万元． （2）解：设购买固定翼无人机架，则购买多旋翼无人机架， 调整价格后，多旋翼无人机单价为（万元），固定翼无人机单价为（万元）， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最大值为13， 答：最多可购买13架固定翼无人机． 10．2026年峰会将在深圳举行．为提升会场周边的交通运力，深圳公交公司拟将A、B两种型号的大巴编入某条专线进行统一调度． (1)已知每辆B型大巴的核定载客人数是A型大巴的倍，使用B型大巴运送名乘客比A型大巴少辆车．请问每辆A型、B型大巴分别能运送多少人？ (2)峰会期间，需紧急调度车辆转运名志愿者从会场前往酒店．若已确定调用A型大巴辆，请问至少要调用B型大巴多少辆才能一次性运完所有志愿者？ 【答案】(1)每辆A型大巴的核定载客人数是人，每辆B型大巴的核定载客人数是人 (2)辆 【分析】（1）设每辆A型大巴的核定载客人数是人，则每辆B型大巴的核定载客人数是人，根据题意，得：，然后进行求解即可； （2）设调用B型大巴辆，根据题意，得：，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设每辆A型大巴的核定载客人数是人，则每辆B型大巴的核定载客人数是人，根据题意，得： ， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则每辆B型大巴的核定载客人数：人， 答：每辆A型大巴的核定载客人数是人，每辆B型大巴的核定载客人数是人． （2）解：设调用B型大巴辆，根据题意，得： ， 解得， 为正整数， 最小值可以取． 答：B型车至少要调用辆才能一次性运完所有志愿者． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11整数指数幂与分式方程暑假预习讲义 1. 概念区分：明确分式方程定义，依据分母是否含未知数，快速区分分式方程与整式方程。 2. 掌握解法流程：理解去分母将分式方程转化为整式方程的核心转化思想，牢记解题四步骤：确定最简公分母→去分母化为整式方程→求解整式方程→代入最简公分母验根。 3. 理解增根知识：弄懂增根产生的原因，知晓使最简公分母为0的解为增根，出现增根则原分式方程无解；能利用增根求解方程中的参数。 4. 方程应用建模：针对行程、工程、销售类应用题，梳理等量关系列出分式方程，解题后双重检验（数学验根+检验答案符合实际意义） 。 5. 规避高频错误：去分母时杜绝漏乘不含分母的常数项、解题省略验根步骤、混淆增根与方程无解的概念、符号运算出错。 6. 培养数学素养：体会方程转化、建模思想，串联分式运算与一元一次方程旧知，提升代数解题的严谨性。 预习必备 知识梳理 1.整数指数幂 2.小于 1 的小数科学记数法 3.分式方程的定义 4.分式方程的解法 5.增根 6.分式方程的应用 常考题型 精讲精练 1.负整数指数幂 2.整数指数幂的运算 3.小数的科学记数法 4.科学记数法原数还原 5.分式方程的定义 6.解分式方程 7.有分式方程解的情况求值 8.分式方程无解情况 9.列分式方程 10.分式方程行程问题 11.分式方程工程问题 12.分式方程经济问题 13.分式方程和差倍分问题 14.其他实际问题 强化题型 解答题10题 知识点 01 整数指数幂 1.正整数指数幂基础法则 设a≠0，b≠0，m、n为正整数 运算类型 运算法则 举例 同底数幂相乘 aman=am+n x3 x4=x7 同底数幂相除 am÷an=am−n x8 x2=x6 幂的乘方 (am)n=amn (x2)4=x8 积的乘方 (ab)n=anbn (2xy)2=4x2y2 分式乘方 ()n= ()3= 2.零指数幂 规定a0=1，限制条件a≠0，00无数学意义； 示例：50=1，(x-3)0=1（x≠3）。 3.负整数指数幂 核心规则：a-p=（a≠0，p为正整数）\)，指数随分数线上下移动互换正负。 易混对比表 原式 正确化简 典型错误 y-2 -y2 2x-1 (2x)-1 (-4)-2 - 4.通用整数指数运算法则 五条法则对正、零、负整数全部适用： 知识点02：小于 1 的小数科学记数法 数值范围 标准形式 n取值规则 示例 大于等于 10 a×10n n正整数 4500=4.5×103 0<数值<1 a×10-n n正整数 0.0045=4.5×10-3 判定方法：小数点右移至首个非零数字，移动位数为n；混合运算分开计算系数与 10 的幂。 知识点 03 分式方程的定义 1.概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.区分整式方程与分式方程 方程类型 判断标准 举例 整式方程 分母不含未知数 2x+1=5、-1=0\) 分式方程 分母含有未知数 =2、=3 关键判定：只看分母是否带未知数，常数分母不算分式方程。 知识点 04 分式方程的解法 1.解分式方程的基本思路 去分母，把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤 3.检验方程解的方法 (1) 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 (2) 也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确。 4. 解分式方程高频错误 (1)去分母时，常数项漏乘最简公分母； (2)分子为多项式时未加括号，引发符号错误； (3)省略检验步骤，直接判定方程的解。 知识点05 增根 1.定义：去分母后得到的整式方程的解，但代入原分式方程会使分母为 0，导致原分式无意义，这样的根叫做增根。 2.产生原因：等式性质 2 要求乘的式子不能为 0，去分母时无法提前限制未知数取值，因此会多出无效根。 3.增根两个特征 ① 是去分母后整式方程的解； ② 代入原方程任意分母，结果等于 0。 4. 增根与无解（难点、填空 / 解答压轴） 概念 含义 产生原因 增根 整式方程的根，但不是原分式方程的根 去分母时，人为扩大未知数取值范围，根使原分母为 0 分式方程无解 两种情况：① 有增根；② 转化后的整式方程本身无解 结合参数题型常考 4.无解两种情况对比 无解分类 判定条件 实例 存在增根 整式方程有解，但解为增根 整式方程矛盾无解 化简后出现0×未知数 = 常数 专题06分式方程的应用 1.列分式方程解应用题的一般步骤 （1）审：即审题，根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系 （2）设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量. （3）列：即列方程，根据等量关系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知数的值. （5）验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义. （6）答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 2.应用题核心等量关系 题型 基础公式 行程 时间 = 路程 ÷ 速度 工程 工作时间 = 工作总量 ÷ 效率（总量常设 1） 销售 数量 = 总金额 ÷ 单价 浓度 浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液总质量 储蓄问题 本息和 = 本金 + 利息 . 和差被分问题 A 是 B 的 m 倍：A=m×B A 比 B 多 n：A=B+n A 与 B 的比是 a:b： 总量 = 各分量之和 知识点 07 本节高频易错点 1.去分母时，常数项、不含分母的项漏乘最简公分母，等式左右两边不相等； 2.解完分式方程省略检验步骤，直接写答案，忽略增根存在； 3.找增根题型混淆逻辑，不会先令分母为 0 确定增根数值； 4.分子是多项式时，去分母后忘记给分子整体添加括号，符号出错； 5.应用题只做数学检验，忽略实际意义，出现负数人数、负速度等不合理解； 6.混淆分式方程与整式方程定义，把分母为常数的方程判定为分式方程； 7.方程两边同乘最简公分母时，负号分配错误，去括号变号失误。 题型1.负整数指数幂 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】已知，，，那么，，之间的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用10的负整数指数幂填空： （1）是的1000000倍，_________s； （2）_________； （3）_________m； （4）_________； （5）_________； （6）_________． 【跟踪专练3】已知与的和是单项式，则的值是（     ） A． B． C． D． 题型2.整数指数幂的运算 【典例】．计算：______． 【跟踪专练1】纳米是非常小的长度单位，，把1nm的物体放到乒乓球上，就如同把乒乓球放在地球上．的空间可以放______个体积为的物体． 【跟踪专练2】计算：______． 【跟踪专练3】计算的结果等于（　　） A． B． C． D． 题型3.小数的科学记数法 【典例】世界最小生物身长只有米，用科学记数法表示为________． 【跟踪专练1】生物具有遗传多样性，遗传信息大多储存在DNA分子上，已知一个DNA分子的直径约为0.00000023cm，将数据0.00000023用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知某植物表皮细胞的直径约为 米，一个水分子的直径约为 米，用科学记数法表示水分子的直径是这种植物表皮细胞的直径的_____倍． 【跟踪专练3】钾-氩定年法（法）是常用的地质测年方法，天然钾中放射性同位素的丰度为．数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 题型4.科学记数法原数还原 【典例】在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，使量子光源芯片输出波长的最大值约为，则这个数对应的原数是________． 【跟踪专练1】2024年以来，北京时间和国际标准时间的偏差只有纳秒（1纳秒=十亿分之一秒，即1纳秒秒），远低于国际要求的100纳秒，准确度在全球80多个守时实验室里排名第一．数据纳秒用科学记数法可以表示为（     ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【跟踪专练2】一粒大米的质量约为，用小数表示为_______． 【跟踪专练3】如表所示的是小颖作业中的一道题目，“”处都是0但发生破损，小颖查阅后发现本题答案为1，则破损处“0”的个数为（   ） 已知：，求的值． A．5 B．4 C．3 D．2 题型5.分式方程的定义 【典例】请你利用代数式3，，，组成一个分式方程：__________． 【跟踪专练1】下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【跟踪专练3】岳龙某红瑶红薯种植基地改进红薯种植技术后，每亩红瑶红薯产量增加，原来产红薯的一块土地，现在总产量增加了，现在平均每亩红薯的产量是（   ）． A． B． C． D． 题型6.解分式方程 【典例】解分式方程，去分母后的结果是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】解分式方程时产生了增根，这个增根是______． 【跟踪专练2】对于任意有理数a和非零有理数b，规定一种特别的运算“★”：．例如，若，则________． 【跟踪专练3】关于的分式方程，下列说法正确的是（     ） A．方程的解是 B．当时，方程的解是正数 C．当时，方程的解为负数 D．当时，方程无解 题型7.由分式方程解的情况求值 【典例】已知是分式方程的根，则实数的值为________． 【跟踪专练1】若是分式方程的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是_____． 【跟踪专练3】关于的方程有增根，则的值是（     ） A．0 B．1 C．3 D．4 题型8.分式方程无解情况 【典例】若关于的分式方程无解，则的值是__ ． 【跟踪专练1】在一次活动中，小明需要将一段长度为x米的绳子进行处理．他发现如果按照某种方式将绳子分成若干段，其中一种分式关系可以表示为．然而，在实际操作过程中，小明发现这个分式关系无解，那么a的值为（　　） A．和 B． C． D．和 【跟踪专练2】如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【跟踪专练3】若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 题型9.列分式方程 【典例】小明家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费8000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1600元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多60元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为y元，则可列分式方程为________ 【跟踪专练1】2026年广东省“十五五”规划中明确提出发展低空经济．某无人机物流公司用A、B两种型号的无人机进行配送，A型无人机每架次的配送量比B型多20件，A型无人机配送600件与B型无人机配送480件所需的架次相同．设B型无人机每架次的配送量为x件，则根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】小鹿两次购买相同药物的费用均为200元，第二次购买时每盒降价8元，他多买了2盒．设第一次购买时该药品的单价为（元/盒），则可列方程为_________． 【跟踪专练3】体育测试中，小高和小州进行1000米跑测试，小高的速度是小州的1.25倍，小高比小州少用了40秒，设小州的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 题型10.分式方程行程问题 【典例】甲、乙两组学生去距离学校的敬老院开展慰问活动，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，两组学生同时到达敬老院．已知步行速度是骑自行车速度的，设步行速度为，则根据题意可列出方程是______． 【跟踪专练1】《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一．其中记录的一道题大意为：把一份文件送到900里外的城市，若用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；若用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，设规定的时间为天，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用电脑程序控制甲、乙两种小型赛车进行比赛，已知甲型赛车的平均速度为，练习中发现，两辆车同时从起点出发，甲型赛车到达终点时，乙型赛车离终点还差．求乙型赛车的平均速度． 【跟踪专练3】为了对学生进行革命传统教育，某中学开展了“清明节祭扫”活动．全校学生从学校同时出发，步行4000米到达烈士纪念馆．学校要求九（1）班提前到达目的地，做好活动的准备工作．行走过程中，九（1）班步行的平均速度是其他班的1.25倍，结果比其他班提前10分钟到达．求其他班步行的平均速度． 题型11.分式方程工程问题 【典例】为应对市场对新冠疫苗越来越大的需求，某制药企业在更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产8万份疫苗，现在生产600万份疫苗所需的时间比更新技术前生产500万份疫苗所需时间少用6天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程为________ 【跟踪专练1】某生产队承接了240亩地的复合种植任务，为了完成任务，引入新型机械种植，实际工作效率比原来提高了，结果提前3天完成任务．设原计划每天种植的面积为x亩地，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】用计算机处理数据，为防止数据出错，某研究室安排两位程序操作员各输入一遍，比较两个人的输入是否一致．两人各输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙提前个小时输完，求乙每小时能输入多少个数据？ 【跟踪专练3】在社会主义新农村建设中，县交通局决定对某乡的村级公路进行改造，由甲工程队单独施工，预计天能完成．为了提前完成任务，改由甲、乙两个工程队同时施工，天就能完成．试问：若由乙工程队单独施工，需要多少天才能完成任务？ 题型12.分式方程经济问题 【典例】年月，第届世界大学生夏季运动会将在成都举行，与吉祥物“蓉宝”有关的纪念品现已上市，某商店调查发现：“蓉宝”熊猫公仔双肩背包和“蓉宝”吉祥熊猫斜挎包这两种纪念品深受青少年的喜爱．已知双肩背包比斜挎包每个贵元，如果用元购买双肩背包，元购买斜挎包，则购买斜挎包的数量是双肩背包的倍．求双肩背包和斜挎包的进货单价．设双肩背包的进货单价为每个元，则可列方程为______． 【跟踪专练1】佩戴口罩是有效预防“新冠肺炎”的重要措施之一．某药店用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩的费用是购买B种口罩的2倍．已知A种口罩的单价是B种口罩的1.2倍．设B种口罩单价为x元，则所列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某经销商购进一批菊花茶进行销售，第一次用6600元购进若干千克；由于菊花茶畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了，用4840元所购买的菊花茶比第一次少10千克． (1)求该经销商两次购进的菊花茶每千克分别为多少元； (2)若该经销商销售完两批菊花茶的售价不变，且其利润率不低于，则售价至少为每千克多少元？ 【跟踪专练3】2022年5月8日，为庆祝母亲节，小明和爸爸去花店买花送给小明的妈妈，若买3束A种花和2束B种花需26元；买5束A种花和1束B种花需34元． (1)求A，B两种花的单价各是多少？ (2)为了吸引顾客，花店通过打折进行促销活动： ① 若A，B两种花都按m折（即原价的倍）销售，他们发现用720元购买A种花的数量比用464元购买B种花的数量多5束，求m的值； ② 若A种花进行5折销售，B种花进行6折销售，他们同时购买A，B两种花若干束，正好用了60元，则他们同时购买A，B两种花总共多少束？ 题型13.分式方程和差倍分问题 【典例】太阳能是一种可再生资源．现有甲、乙两种品牌的太阳能照明灯，已知相同光照环境下，乙品牌比甲品牌每小时多储存电量，乙品牌储存电量与甲品牌储存电量所用的时间相等，则乙品牌每小时可储存________电量． 【跟踪专练1】某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量为万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩的产量是原来的倍，总产量比原计划增加了万千克，种植亩数减少了亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，A型机器人搬运所用时间与B型机器人搬运所用时间相等．求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料． 【跟踪专练3】随着科技的飞速发展，人工智能（）已成为当今社会的热点话题，从自动驾驶汽车到智能家居，从医疗诊断到金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．某快递公司为了提高工作效率，计划购买A，B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且每台A型机器人搬运900吨货物所用的时间与每台B型机器人搬运1000吨货物所用的时间相同． (1)每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？ (2)该公司计划采购A，B两种型号的机器人共25台，且每天搬运的货物不低于2345吨，那么最多购买A型机器人多少台？ 题型14.其他实际问题 【典例】小张同学看一本800页的小说，暑假前看了200页，进入暑假后为早日完成，每天比原计划增加40页，结果共用32天完成这一任务，请问小张原计划每天完成___________页． 【跟踪专练1】一容器内盛有盐水，其中含盐，通过一系列的实验操作，将该容器内盐水的浓度提高到原来的倍．小丽根据这一情境中的数量关系列出方程，则未知数表示的是（     ） A．加入的水量 B．减少的水量 C．加入的盐量 D．减少的盐量 【跟踪专练2】化简求值与解决问题． (1)先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数作为的值代入求值． (2)甲乙两班学生总数相同，现对甲乙两班学生进行体育达标检查，结果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高，求甲班的合格率． 【跟踪专练3】某工厂计划采购若干机器人和智能车搬运货物，已知购进3台机器人和2台智能车需48万元，购进2台机器人和3台智能车需42万元． (1)求机器人和智能车的采购单价． (2)满载情况下，每台机器人比每台智能车单次多载，运送货物所需的机器人数量恰好与运送货物所需的智能车数量相同，求机器人和智能车的单次最高载货量． 解答题 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．解方程（组）： (1)； (2)． 4．若关于x的分式方程无解，求m的值． 5．已知关于x的方程． (1)当k取何值时，此方程会产生增根？ (2)当此方程的解是正数时，求k的取值范围． 6．请认真阅读并解决相应的问题．下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，题目：暑假小卢和小吴相约各自开车到武夷山游玩，小卢家到武夷山的距离为，小吴家到武夷山的距离为，小卢比小吴每小时多行驶，两人从家里同时出发，同时到达，求小卢和小吴的行驶速度． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设… 等量关系：小卢速度小吴速度 解法二 设小卢车速度为 等量关系：小卢用时小吴用时 ___________ (1)解法一所列方程中的表示________（填序号）； ①小卢行驶速度为；②小吴行驶速度为；③小卢和小吴行驶时间为； (2)请根据解法二列出方程，并求出小卢和小吴行驶速度． 7．有这样一道题：工程队检修一条长自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，工程队每小时检修管道长度是原计划的倍，结果提前小时完成任务．求工程队原计划每小时检修管道多少米．聪聪和小明的部分解答过程如下： 聪聪 小明 解：设工程队原计划每小时检修管道x米． 根据题意，得： … 解：设 ． 根据题意，得： … (1)根据表格信息回答问题：聪聪所列方程中的 表示的是 ，小明所设未知数y表示的是 ； (2)选择一种方法并写出完整的解答过程． 8．量子校园举办校内“公益小集市”，邀请全校师生参与公益售卖活动．八年级（1）班的同学决定售卖自制小蛋糕和鲜榨橙汁．已知一个小蛋糕的成本比一杯橙汁的成本多10元，用650元制作小蛋糕的数量和用150元制作的橙汁数量相等． (1)求一个小蛋糕、一杯橙汁分别的成本； (2)为了促销，除了单卖小蛋糕和橙汁，八年级（1）班的同学还将一个小蛋糕和一杯橙汁组成套餐出售．活动当天，三种商品的销售单价和销量情况如下表．若（1）班本次公益售卖活动共获得400元利润，问共销售了多少份套餐？ 小蛋糕 橙汁 套餐 单价（元） 15 5 18 销量占总销量的百分比 9．重庆正加速打造“低空之城”，无人机作为低空经济的核心技术载体，在物流领域已实现规模化应用．某企业为布局无人机物流配送领域，购进工业级多旋翼无人机与固定翼无人机两种，购买多旋翼无人机花费240万元，购买固定翼无人机花费150万元，且购买多旋翼无人机的数量是购买固定翼无人机数量的2倍，已知购买一架固定翼无人机比购买一架多旋翼无人机多花3万元． (1)求购买一架多旋翼无人机与一架固定翼无人机各需要多少万元？（列方程解决问题） (2)该企业决定再次购进两种无人机共30架，恰逢市场对无人机售价进行调整，多旋翼无人机的售价比第一次购买时提高了10%．固定翼无人机按第一次购买时售价的9折出售．如果该企业此次购买两种无人机的总费用不超过400万元，那么最多可购买多少架固定翼无人机？ 10．2026年峰会将在深圳举行．为提升会场周边的交通运力，深圳公交公司拟将A、B两种型号的大巴编入某条专线进行统一调度． (1)已知每辆B型大巴的核定载客人数是A型大巴的倍，使用B型大巴运送名乘客比A型大巴少辆车．请问每辆A型、B型大巴分别能运送多少人？ (2)峰会期间，需紧急调度车辆转运名志愿者从会场前往酒店．若已确定调用A型大巴辆，请问至少要调用B型大巴多少辆才能一次性运完所有志愿者？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $