山西大学附属中学2026-2027学年高一数学暑假作业七

**基本信息** 本试卷为高一数学统计概率模块暑假作业，通过知识梳理、分层练习及综合应用，结合生活情境与学科交叉问题，系统巩固古典概型、统计图表、数据特征等核心知识，注重数学思维与应用能力培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |知识梳理|7题|统计学意义、古典概型特征、事件独立性|以问题链引导概念回顾，如“频率与概率关系”体现数学思维| |选择题|6题|统计图表分析、标准差比较、独立事件判断|结合“食品开支占比”“射击成绩分布”等情境，培养数学眼光| |多选题|5题|概率性质、数据中位数与众数、百分位数|如“三位运动员得分数据判断”，强化数据分析与推理| |填空题|8题|频率直方图、方差计算、随机模拟|“成绩70百分位数估算”“错记成绩方差更正”，突出数学语言表达| |解答题|6题|概率应用、统计案例分析、跨学科问题|“知识竞赛年龄数据处理”“乒乓球比赛方案选择”，体现综合应用能力|

山大附中高一数学暑假作业 模块七 统计概率 第一部分：知识梳理 1.为什么要学习统计？什么是“统计学”？ 2.在第九章中，我们学习了哪些统计学知识？ 3.古典概型有哪些特征？古典概型如何计算概率？ 4.概率的基本性质是什么？你还能推出概率的其他性质吗？ 5.如何判断两个事件A和B独立？如果事件A和B独立，有什么结论？ 6.重复试验100次一定比重复试验50次得到的频率更接近概率吗？你有办法了解你得到的频率是否接近概率吗？ 7.利用随机模拟得到的计算结果是频率还是概率？ 第二部分：基础巩固 一、选择题（共6小题） 1．某人一周的总开支如图所示，这周的食品开支如图所示，则他这周的肉类开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 2．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ） A． B． C． D． 3．袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（    ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 4．某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（   ） A．规则一和规则二 B．规则二和规则三 C．规则一和规则三 D．只有规则一 5．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ） A． B． C． D． 6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共2小题） 7．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件：取出的两个球是一个红球一个白球，事件：两个球中至少一个白球，事件：两个球均是红球，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24 三、填空题（共4小题） 9．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70百分位数约为________秒． 10．已知一组数据3，3，，8，3，12，6，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则的值可能是 ． 11．某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为　　　　　． 12．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为　　　　　． 四、解答题（共3小题） 13．某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）； (2)若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1. ①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差. ②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因. 14．袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个．规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分．在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球．规定取出球的总积分多者获胜． （1）求甲、乙平局的概率； （2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性． 15．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 第三部分：综合应用 一、多选题（共3小题） 1. 给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法不正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 2. 如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为.若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为.设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是（    ）    A．与为互斥事件 B．与相互独立 C．与为互斥事件 D．与相互独立 3. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共4小题） 9 7 4 5 4. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 5. 2024年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛.男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛.每场比赛采用5局3胜制，以先赢3场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队.如主队3名选手出场依次为A、B、C；客队3名选手出场依次定为X、Y、Z，规定：5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对X，⑤对.已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为，乙方为（）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表 了解到乙队出场比赛队员依次为.甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一）；（二）；（三）；（四）；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定______方案. 6. 某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏．玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的．他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为．若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试．当时，第位玩家终止测试的概率为_______.（用含的式子表示）． 7. 由，，，…，这个正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______． 三、解答题（共3小题） 8.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为，，，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下： ①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分： ②选手若答对第题，则继续作答第题：选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束： ③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败． 选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率； （2）选手甲挑战成功的概率． 9.年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表： 质量指标值 产品等级 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设，当时，满足. （1）试估计样本质量指标值的中位数； （2）从样本质量指标值不小于的产品中采用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求至少有件级品的概率. 10.某省采用的“”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。 某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科 各等级对应的原始分区间 化学学科 各等级对应的原始分区间 现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下： 政治：64 72 66 92 78 66 82 65 76 67 74 80 70 69 84 75 68 71 60 79 化学：72 79 86 75 83 89 64 98 73 67 79 84 77 94 71 81 74 69 91 70 并根据上述数据制作了如下的茎叶图： （1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是： ①应填______，②应填______，③应填______，④应填______，⑤应填______，⑥应填______. （2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法. （3）若从该校政治、化学学科等级为的学生中，随机挑选2人次（两科都选，且两科成绩都为等的学生，可有两次被选机会），试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率. 附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 转换分的赋分区间 附2：计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中：，，分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.的计算结果按四舍五入取整） 第四部分：回顾反思 此部分内容选自本学期的导学、跟进、周回顾以及月考题目，将本学期所练习过的题目精选，通过练习辅助学生回顾重点知识点以及重点题型。在完成本部分内容时，学生可以通过精选题目，回忆相同类型题目，结合错题本，对重点题目和易错题目进行巩固和加强。 1.[导37.目标检测2] 某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查．调查中使用了下面两个问题： 问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？ 问题二：你是否经常吸烟？ 调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子．每个被调查者随机从袋子中摸取1个球（摸出的球再放回袋子中）摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做．如果一年按365天计算，且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为　　 A． B． C． D． 2.[导39.目标检测2] 下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是(　　) A. 第50百分位数就是中位数 B. 总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50% C. 它一定是这组数据中的一个数据 D. 它适用于总体是离散型的数据 3.[导45.目标检测1] 判断下列事件是否为相互独立事件． （1）袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取两球，事件：第一次从中任取一个球是白球；事件：第二次从中任取一个球是白球． （2）袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取两球，事件：第一次从中任取一个球是白球；事件：第二次从中任取一个球是白球． （3）抛掷一枚骰子一次，事件：出现偶数点，事件：出现3点或6点． 4.[跟30.16] 某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为173.5，方差为17，女生样本的均值为163.83，方差为30.03． （1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？ （2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？ （3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？ 5.[跟35.16] 在某届世界杯足球赛上，四支球队进入了最后的比赛，在第一轮的两场比赛中，对，对，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为（表示胜，胜，然后胜，胜）. （1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间； （2）设事件表示队获得冠军，写出包含的所有可能结果； （3）设事件表示队进入冠亚军决赛，写出包含的所有可能结果. 6.[跟37.19] 有、、、四位贵宾，应分别坐在、、、四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时， （1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； （2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； （3）求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率； （4）求这四人中至少有2人坐在自己的席位上的概率． 7.[跟38.8] （多选题）甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以，表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是(　　) A． B．事件与事件相互独立 C．事件与事件相互独立 D．，互斥 8.[跟40.8] 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且．记该棋手连胜两盘的概率为，则　　 A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假作业 模块七 统计概率 第一部分：知识梳理 一、抽样 1、抽样调查 （1）总体：统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合称为总体． （2）个体：构成总体的每一个元素叫做个体． （3）样本：从总体中抽取若干个个体进行考察，这若干个个体所构成的集合叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量． 2、简单随机抽样 （1）定义 一般地，设一个总体含有个个体，从中逐个不放回地抽取个个体作为样本（），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．这样抽取的样本，叫做简单随机样本． （2）两种常用的简单随机抽样方法 ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本． ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． 注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置． （3）抽签法与随机数法的适用情况 抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况，但是当总体容量很大时，需要的样本容量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便． （4）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 3、分层抽样 （1）定义 一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样． 分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的． （2）分层抽样问题类型及解题思路 ①求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． ②已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． ③分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比＝＝” 注意：分层抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取（）个个体（其中是层数，是抽取的样本容量，是第层中个体的个数，是总体容量）． 二、用样本估计总体 1、频率分布直方图 （1）频率、频数、样本容量的计算方法 ①×组距＝频率． ②＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数． ③频率分布直方图中各个小方形的面积总和等于． 2、频率分布直方图中数字特征的计算 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．设中位数为，利用左（右）侧矩形面积之和等于，即可求出． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和，即有，其中为每个小长方形底边的中点，为每个小长方形的面积． 3、百分位数 （1）定义 一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． （2）计算一组个数据的的第百分位数的步骤 ①按从小到大排列原始数据． ②计算． ③若不是整数而大于的比邻整数，则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数． （3）四分位数 我们之前学过的中位数，相当于是第百分位数．在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第百分位数，第百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数． 4、样本的数字特征 （1）众数、中位数、平均数 ①众数：一组数据中出现次数最多的数叫众数，众数反应一组数据的多数水平． ②中位数：将一组数据按大小顺序依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数，中位数反应一组数据的中间水平． ③平均数：个样本数据的平均数为，反应一组数据的平均水平，公式变形：． 5、标准差和方差 （1）定义 ①标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用表示．假设样本数据是，表示这组数据的平均数，则标准差． ②方差：方差就是标准差的平方，即．显然，在刻画样本数据的分散程度上，方差与标准差是一样的．在解决实际问题时，多采用标准差． （2）数据特征 标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动程度的大小．标准差、方差越大，则数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．反之亦可由离散程度的大小推算标准差、方差的大小． （3）平均数、方差的性质 如果数据的平均数为，方差为，那么 ①一组新数据的平均数为，方差是． ②一组新数据的平均数为，方差是． ③一组新数据的平均数为，方差是． 三、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 四、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 五、随机事件、确定事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． （2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． （3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． （4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 六、事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 七、互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 八、概率与频率 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 第二部分：基础巩固 一、选择题（共6小题） 1．某人一周的总开支如图所示，这周的食品开支如图所示，则他这周的肉类开支占总开支的百分比为（ ） A． B． C． D． 【解析】由图知食品开支占总开支的， 由图知肉类开支占食品开支的， 所以肉类开支占总开支的百分比为故选B． 2．甲，乙，丙三名运动员在某次测试中各射击20次，三人测试成绩的频率分布条形图分别如图1，图2和图3，若，，分别表示他们测试成绩的标准差，则（ ） A． B． C． D． 【解析】甲的平均成绩为, 其方差为 乙的平均成绩为, 其方差为 丙的平均成绩为，其方差为 . 所以，故选 D. 3．袋中有5张卡片，分别写有数字1，2，3，4，5，有放回的摸出两张卡片.事件“第一次摸得偶数”，“第二次摸得2”，“两次摸得数字之和大于8”，“两次摸得数字之和是6”，则（    ） A．M与Q相互独立 B．N与R相互独立 C．N与Q相互独立 D．Q与R相互独立 【解析】选：B. 有放回摸出两张卡片的样本空间： ，共25个结果， 事件，共10个结果，， 事件，共5个结果，，事件，共3个结果，， 事件，共5个结果，， ，，， 事件M与Q不相互独立，A错误； ，，， 事件N与R相互独立，B正确； ，，， 事件N与Q不相互独立，C错误； ，，， 事件Q与R不相互独立，D错误. 故选：B． 4．某比赛为甲、乙两名运动员制定下列发球规则，规则一：投掷1枚质地均匀的硬币，出现正面向上，甲发球，否则乙发球；规则二：从装有质地均匀的2个红球与2个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；规则三：从装有质地均匀的3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球．则对甲、乙公平的发球规则是（   ） A．规则一和规则二 B．规则二和规则三 C．规则一和规则三 D．只有规则一 【解析】对于规则一，每人发球的概率都是，是公平的， 对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1，黑2， 则随机取出2个球的所有可能的情况有：（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑1），（红1，黑2）， （红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，黑2），共6种， 其中同色的情况有2种，∴甲发球的可能性为，不公平； 对于规则三，记3个红球分别为红1，红2，红3， 则随机取出2个球所有可能情况有： （红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），（红3，黑），共6种， 其中同色的情况有3种，∴两人发球的可能性均为，是公平的， ∴对甲、乙公平的有规则一和规则三．故选：C． 5．电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（ ） A． B． C． D． 【解析】由于一天有1440分钟，所以有1440种不同的结果，其中符合要求的有19：49，19：58，18：59，09：59共四种，所以所求概率为 故选：C． 6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A． B． C． D． 【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=， 故选B． 二、多选题（共2小题） 7．不透明盒子里装有除颜色外完全相同的3个红球，2个白球，现从盒子里随机取出2个小球，记事件：取出的两个球是一个红球一个白球，事件：两个球中至少一个白球，事件：两个球均是红球，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【解析】记3个红球为，2个白球为，随机取出2个小球的事件如下， ， 所以，事件对应事件有 ，概率为，A对； 事件对应事件有 ，概率为； 事件对应事件有 ，概率为； 其中对应事件有，概率为，B错； 对应事件有，概率为，C对； 显然，D错. 故选：AC 8．现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续5场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件： 甲球员：5个数据的中位数是26，众数是24； 乙球员；5个数据的中位数是29，平均数是26； 丙球员：5个数据有1个是32，平均数是26，方差是9.6； 根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（    ） A．甲球员连续5场比赛得分都不低于24分 B．乙球员连续5场比赛得分都不低于24分 C．丙球员连续5场比赛得分都不低于24分 D．丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24 【解析】设甲球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，，且至少出现次，故，A正确； 设乙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 则，， 取，可得其满足条件，但有2场得分低于24，B错误； 设丙球员的5场篮球比赛得分按从小到大排列为， 由已知， 所以， 若，则，所以，矛盾， 所以，， 因为的平均数为，所以， 取，满足要求，但有一场得分低于24分，C错误； 因为，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数为， 若，则，故，矛盾， 所以，所以丙球员连续5场比赛得分的第60百分位数大于24，D 正确； 故选：AD. 三、填空题（共4小题） 9．某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17)，[17，18]，得到如图所示的频率直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70百分位数约为________秒． 【解析】设成绩的70百分位数为x，因为，， 所以x[16，17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5. 故答案为16.5. 10．已知一组数据3，3，，8，3，12，6，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则的值可能是 ． 【解析】由题意得，这组数据的平均数为，众数是3. 若，则中位数为3，此时，解得，满足题意； 若，则中位数为，此时，解得，满足题意； 若，则中位数为6，此时，解得. 综上，的值可能是或或. 11．某班40名学生，在一次考试中统计所得平均分为80分，方差为70，后来发现有两名同学的成绩有损，甲实得80分错记为60分，乙实得70分错记为90分，则更正后的方差为　　　　　． 【解析】因为甲实得分，记为分，少记分，乙实得分，记为分，多记分， 所以总分没有变化，因此更正前后的平均分没有变化，都是分， 设甲乙以外的其他同学的成绩分别为，因为更正前的方差为， 所以， 所以， 更正后的方差为 ， 所以更正后的方差为，故答案为. 12．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过的概率为　　　　　． 【解析】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件，显然为相互独立事件， 则“三人中恰有两人通过”相当于事件，且互斥， 所求概率 . 四、解答题（共3小题） 13．某单位举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有100人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄落在区间内的人的年龄的平均数（结果保留一位小数）； (2)若这100人的原始数据中第三组的年龄的平均数与方差分别为33和2，第四组的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组的年龄的平均数与方差分别为43和1. ①据此计算这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差. ②将所得平均数与（1）中平均数的估计值作比较，解释其有差异的原因. 【解析】（1）平均数； （2）①设这100人中30~45岁所有人的年龄的平均数与方差分别为、 则， ②，其有差异的原因为（1）中平均数是取数据的中间值作为样本数据的代表值估算的， 而所得平均数是以具体的数据计算而得，因此不相等. 14．袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个，标有数字“”的球有个．规定取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分，取出一个标有数字“”的球记分．在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的球．规定取出球的总积分多者获胜． （1）求甲、乙平局的概率； （2）从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性． 【解析】（1）记标有数字“”的球为，，，标有数字“”的球为，，标有数字“”的球为， 则甲取球的所有情况为，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，共种， 由于个小球总分为分，故甲、乙平局时都得分， 此时，甲取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，共有种情况， 故平局的概率． （2）由甲先取球时，若甲获胜，得分只能是分或分， 即取出的三个小球中有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球，或有个标有数字“”的球和个标有数字“”的球和个标有数字“”的球共种情况， 故甲获胜的概率．由（1）可得平局的概率， 所以甲输，即乙获胜的概率． 所以甲、乙获胜的概率相同． 同理，由乙先取球时，甲、乙获胜的概率也相同． 故先后取球的顺序不影响比赛的公平性． 15．为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响．连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券．游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 (1)分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； (2)一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大． 【解析】（1）设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，．所以游戏一获胜的概率为． 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为． （2）设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即． 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表：      第二次第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意，因此的所有可能取值为． 第三部分：综合应用 1、 多选题（共3小题） 1. 给定一个正整数，从集合中随机抽取一个数，记事件“这个数为偶数”，事件“这个数为3的倍数”.下列说法不正确的是（    ） A．若，，则至少存在一个，使事件和事件不独立 B．若，，则存在无穷多个，使事件和事件独立 C．若为奇数，则至少存在一个，使事件和事件独立 D．若为偶数，则对任意的，事件和事件独立 【答案】ACD 【详解】对于A，对于任意，， 即事件和事件独立， A不正确. 对于B，当时，满足； 当时，满足； 以此类推，当时，，，满足； 故存在无穷多个，使事件和事件独立，B正确. 对于C，当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 当时，， 此时显然； 综上可知，对任意奇数，事件和事件都不独立；C不正确. 对于D，当时，D不正确. 故选：ACD. 2. 如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为.若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为.设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是（    ）    A．与为互斥事件 B．与相互独立 C．与为互斥事件 D．与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥事件、独立事件的知识进行分析，由此确定正确答案. 【解析】与不可能同时发生，为互斥事件，A选项正确. B选项， ， 所以 ， 所以与相互独立，B选项正确. 与不能同时发生，为互斥事件，C选项正确. D选项， ， 所以， 所以与不是相互独立事件，D选项错误. 故选：D 3. 如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，就是一条移动路线.从1移动到数字的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，跳过数字的概率记为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出树状图，结合图形及古典概型逐项分析判断. 【详解】画出树状图，结合图形 结合树状图可知：， 对于选项A：可知，故A正确； 对于选项B： 均有，故B正确； 对于选项C：因为，不经过数字5的路线有9条，所以，故C正确； 对于选项D：因为，所以，故D错误； 故选：ABC. 2、 填空题（共4小题） 4. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为 . 9 7 4 5 【答案】 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案为：. 5. 2024年韩国釜山举行世界乒乓球团体锦标赛.男团比赛规则，各单位每次比赛双方选取三人出场比赛.每场比赛采用5局3胜制，以先赢3场者为胜方，赛前双方用抽签方法选定主、客队.如主队3名选手出场依次为A、B、C；客队3名选手出场依次定为X、Y、Z，规定：5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对X，⑤对.已知某次比赛甲方为主队，乙方为客队.甲方参赛队员为，乙方为（）根据以往经验，甲方各位队员赢乙方队员概率如下表 了解到乙队出场比赛队员依次为.甲方对乙方出场顺序有四种预案：（一）；（二）；（三）；（四）；以本次比赛甲赢的概率比较，应选定______方案. 【答案】B 【分析】分别考虑各预案5场比赛甲方各位队员赢乙方队员概率，再由独立事件的乘法公式求出甲三连胜的概率，结合第四局和第五局甲方各位队员赢乙方队员概率即可得出答案. 【详解】选择预案（一），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 选择预案（二），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 选择预案（三），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 选择预案（四），则5场比赛的次序为①对，②对，③对，④对，⑤对， 甲方各位队员赢乙方队员概率分别为：，，，，， 若甲三连胜则概率为：， 由甲三连胜可看出选择方案三赢的概率更大， 而且第四局和第五局甲方各位队员赢乙方队员概率也比其他方案赢的概率更大. 所以选择预案（三）甲赢的概率更大， 故选：B. 6. 某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的位玩家测试这款游戏．玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的．他们通过第一关测试的概率都为，通过第二关测试的概率都为．若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试．当时，求第位玩家终止测试的概率（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据题意考虑当且第位玩家终止测试时，第位玩家必通过第二关测试，可分为前面位玩家都没有通过第一关测试，以及前面位玩家中恰有一人通过第一关测试，求得相应概率，即可求得答案. 【详解】设第位玩家终止测试的概率为． 当且第位玩家终止测试时，第位玩家必通过第二关测试． 若前面位玩家都没有通过第一关测试，其概率为， 若前面位玩家中人第位玩家才通过第一关测试， 则前面位玩家无人通过第一关测试，其概率为， 第位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为， 第位玩家到第位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为． 所以前面位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为： ， ， 因此，第位玩家终止测试的概率为． 【点睛】方法点睛：本题综合考查了概率的计算问题，解答时要能综合应用独立事件的乘法公式以及互斥事件加法公式进行求解，关键是要明确第位玩家终止测试时前面位玩家的测试情况. 7.由1， 2， 3， …，1000这个1000正整数构成集合，先从集合中随机取一个数，取出后把放回集合，然后再从集合中随机取出一个数，则的概率为______． 【答案】 【解析】 根据题意，，且，要使得，即：，分类讨论当时，对应的的值，得出所有取法，即可求出的概率.解：由题可知，，且， 要使得，即：，则有： 当时，或，有2种取法； 当时，的取值增加3、4、5，有2+3种取法； 当时，的取值增加6、7、8，有种取法； 当时，有种取法； 当时，都有1000种取法. 故 . 故答案为：. 3、 解答题（共3小题） 8.为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，惠州市某学校组织防疫知识挑战赛，每位选手挑战时，主持人从电脑题库中随机抽出3道题，并编号为，，，并依次展示题目，选手按规则作答．挑战规则如下： ①选手每答对一道题目得5分，每答错一道题目扣3分： ②选手若答对第题，则继续作答第题：选手若答错第题，则失去第题的答题机会，从第题开始继续答题：直到3道题目回答完，挑战结束： ③选手初始分为0分，若挑战结束后，累计得分不低于7分，则选手挑战成功，否则挑战失败． 选手甲即将参与挑战，已知选手甲答对题库中任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率； （2）选手甲挑战成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设为选手答对题，其中，2，3，设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件，选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错，即，结合概率的加法公式和事件独立性的定义，即可求解． （2）设选手甲挑战成功为事件，若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题，“选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件，结合对立事件的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设为选手答对题，其中，2，3 设挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题为事件， 选手甲恰好作答了2道题即选手甲第一题答错或第一题答对且第2题答错， ， 由概率的加法公式和事件独立性的定义得． 即挑战结束时，选手甲恰好作答了2道题的概率为； （2）解：设选手甲挑战成功为事件， 若选手甲挑战成功，则选手甲共作答了3道题，且选手甲只可能作答2道题或3道题， “选手甲闯关成功”是“选手甲恰好作答了2道题”的对立事件， 根据对立事件的性质得． 所以选手甲挑战成功的概率； 9.年是全面建成小康社会目标实现之年，是全面打赢脱贫攻坚战收官之年.为帮助某村巩固扶贫成果，该村的结对帮扶共建企业在该村建立了一座精米加工厂，并对粮食原料进行深加工，研发出一种新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，质量指标的等级划分如表： 质量指标值 产品等级 为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了件产品，测量了每件产品的指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图；设，当时，满足. （1）试估计样本质量指标值的中位数； （2）从样本质量指标值不小于的产品中采用分层抽样的方法抽取件产品，然后从这件产品中任取件产品，求至少有件级品的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）计算出各产品等级的频率，利用中位数左边的矩形面积之和为可求得的值； （2）计算得出件产品中级品共件，分别记为、、，级品共件，分别记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定事件“所抽的件产品中至少有件级品”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.（1）当时，，，频率为； 当时，，，频率为； 当时，，，频率为. 各产品等级的频率如下表所示： 质量指标值 产品等级 频率 ，， 所以，，解得； （2）所抽取的件产品中，级品的数量为，分别记为、、， 级品的数量为，分别记为、、、， 从这件产品中任取件产品，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共个基本事件， 其中，事件“所抽的件产品中至少有件级品”包含个基本事件， 因此，所求事件的概率为. 10.某省采用的“”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分。 某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科 各等级对应的原始分区间 化学学科 各等级对应的原始分区间 现从政治、化学两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据如下： 政治：64 72 66 92 78 66 82 65 76 67 74 80 70 69 84 75 68 71 60 79 化学：72 79 86 75 83 89 64 98 73 67 79 84 77 94 71 81 74 69 91 70 并根据上述数据制作了如下的茎叶图： （1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是： ①应填______，②应填______，③应填______，④应填______，⑤应填______，⑥应填______. （2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9.，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法. （3）若从该校政治、化学学科等级为的学生中，随机挑选2人次（两科都选，且两科成绩都为等的学生，可有两次被选机会），试估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率. 附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 转换分的赋分区间 附2：计算转换分的等比例转换赋分公式：（其中：，，分别表示原始分对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.的计算结果按四舍五入取整） 【答案】（1）①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9；（2）甲乙转换分都是87分，公平性评述见解析；（3）. 【解析】 （1）根据已知数据与茎叶图的关系得出答案． （2）根据高考实测的转换赋分模拟公式及结果得出答案． （3）列举法写出所有基本事件，然后按概率公式计算．（1）由题意知①6;②7;③8;④9;⑤8;⑥9. （2）甲同学选考政治学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：得T＝87 乙同学选考化学学科可以的等级A，根据等比例转换赋分公式：得T＝87 故甲乙两位同学的转换分都为87分． 从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法： 一，从茎叶图可得甲乙同学原始分都排第三，转换后都是87分，因此高考这种“等级转换赋分法”具有公平性与合理性． 二，甲同学与乙同学原始分差9分，但转换后都是87分，高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不利． （3）该校政治学科等级为A的学生中82，84，92根据等比例转换赋分公式：87，88，95 该校化学学科等级为A的学生中91，94，98根据等比例转换赋分公式：87，92，97 设“转换分都不少于91分”为事件M 所有基本事件：（82，84）（82，92）（82，91）（82，94））（82，98）（84，92）（84，91）（84，94）（84，98）（92，91）（92，94）（92，98）（91，94） （91，98）（94，98）共15个基本事件，时间M包含3个基本事件 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $