山西大学附属中学2026-2027学年高一数学暑假作业（二）

**基本信息** 山大附中高一数学暑假检测卷聚焦立体几何、概率统计、复数等核心内容，通过折叠问题（17题）、频率分布直方图分析（4题）等设计，考查空间观念、数据意识与运算能力，适配高一暑假巩固提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|正三棱锥异面直线成角（2题）、频率分布直方图（4题）、复数性质（9题）|单选基础巩固，多选（11题）引入曲率新定义，培养创新意识| |填空题|3题15分|圆的弦长计算（12题）、建筑物高度测量（13题）|结合实际情境，考查几何直观与应用能力| |解答题|5题77分|四棱台体积（19题）、概率系统可靠性（16题）、虚数性质证明（15题）|分层设计，17题折叠问题综合空间论证，19题体积计算体现逻辑推理，契合高考命题趋势|

山大附中高一数学暑假检测（二） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知在△ABC中，，则△ABC外接圆的周长为（　　） A．72π B．24π C．36π D．12π 2．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，M，N分别为PA，PB的中点，则异面直线MN与AC所成的角为（ ） A． B． C． D． 3.用斜二测画法画三角形OAB的直观图O'A'B'，如图所示，已知则OB＝（　　） A． B．2 C． D．4 4．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是 A．众数中位数平均数B．众数平均数中位数 C．中位数平均数众数D．中位数众数平均数 5．小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业．则两家店铺该节假日能正常开业的概率为 A． B． C． D． 6．已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的内切球的体积为（　　） A．32π B． C．4π D． 7．在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是　　 A． B． C． D． 8．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论不正确的有　　 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．（多选）若z＝k2﹣2k+ki（k∈R），则下列结论正确的是（　　） A．若z为实数，则k＝0 B．若zi＝1+3i，则k＝3 C．若z在复平面内对应的点位于第一象限，则k＞3 D．若，则 10．（多选）在跳水比赛中，裁判给分计算运动员成绩规则如下：有7位裁判，对某选手一次跳水的给分均不相同，去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是　　 A．剩下5位裁判给分的平均值一定变大 B．剩下5位裁判给分的极差一定变小 C．剩下5位裁判给分的中位数一定变大 D．剩下5位裁判给分的方差一定变小 11．（多选）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，，点C的曲率为，D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点，则（ ） A．直线BF∥平面A1DE B．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A的曲率为 C．在四面体A1ADE中，点E的曲率小于π D．二面角A1﹣DE﹣A的大小为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图，已知的半径为2，弦的长度为3，则 ． 13．如图，为了测量某建筑物的高度OP，测量小组选取与该建筑物底部O在同一水平面内的两个测量基点A与B．现测得米，OB＝20米，在测量基点A测得建筑物顶点P的仰角为，则该建筑物的高度OP为 米． 14．在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ；与平面所成角的正切值为 ． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15.设z是虚数，满足是实数，且． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）设．求证：u是纯虚数； （3）求ω﹣u2的最小值． 16．已知三种不同的元件，，，其中元件，正常工作的概率分别为0.6，0.8，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． （1）用元件，连接成系统（如左图），当元件，都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； （2）用元件，，连接成系统（如右图），当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为0.57，求元件正常工作的概率． 17．如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是AB，BC的中点，将△APD，△PBQ，△CDQ分别沿PD，PQ，DQ折起，使A，B，C三点重合于点M． （1）证明：MD⊥平面MPQ． （2）证明：点M在平面PDQ的投影为△PDQ的垂心． 4167018. 如图，在中，． （1）证明：为等边三角形． （2）试问当为何值时，取得最小值？并求出最小值． （3）求的取值范围． 19．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，BD⊥A1C，且E，F，H分别为线段BB1，A1B，AD的中点． （1）证明：|A1B|＝|A1D|． （2）证明：平面EFH∥平面A1CD． （3）若，当A1B与平面A1CD所成的角最大时，求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积V． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假检测二答案 1．（5分）已知在△ABC中，，则△ABC外接圆的周长为（　　） A．72π B．24π C．36π D．12π 【分析】根据正弦定理求得三角形外接圆的半径，进而得到三角形外接圆的周长． 【解答】解：设△ABC外接圆的半径为R， 根据正弦定理可得， 则R＝6， 故△ABC外接圆的周长为2π×6＝12π， 故选：D． 【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题． 2．（5分）如图，在正三棱锥P﹣ABC中，M，N分别为PA，PB的中点，则异面直线MN与AC所成的角为（　　） A． B． C． D． 【分析】由MN∥AB可得，∠BAC是异面直线MN与AC所成的角，进而求∠BAC即可． 【解答】解：因为M，N分别为PA，PB的中点， 所以MN∥AB， 则∠BAC是异面直线MN与AC所成的角 因为三棱锥P﹣ABC为正三棱锥，所以△ABC是等边三角形， 于是． 故异面直线MN与AC所成的角为． 故选：A． 【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，属于基础题． 3．（5分）用斜二测画法画三角形OAB的直观图O'A'B'，如图所示，已知O′A′⊥A′B′，O′A′＝1，则OB＝（　　） A． B．2 C． D．4 【分析】根据直观图，画出原图，进行计算即可． 【解答】解：画出三角形OAB的原图，如图所示， 在直观图中，O′A′⊥A′B′，O′A′＝1， 得，则在原图中，． 故选：C． 【点评】本题考查斜二测画平面图形，距离的求法，是基础题． 4．如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是　　 A．众数中位数平均数 B．众数平均数中位数 C．中位数平均数众数 D．中位数众数平均数 【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可． 【解答】解：由频率分布直方图知， 数据组成的众数为左起第2个小矩形下底边中点值， 由题意得在该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数中位数， 由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数平均数， 众数中位数平均数． 故选：． 【点评】本题主要考查了梯形的性质、平面向量的线性运算法则及其应用，属于基础题． 5．小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业．则两家店铺该节假日能正常开业的概率为　　 A． B． C． D． 【分析】设两家店铺至少有一家不能正常营业为事件，然后由题意求出4人休假的概率和3人休假的概率，从而可求出（A），再根据对立事件的概率公式可求得答案． 【解答】解：设两家店铺至少有一家不能正常营业为事件， 由题意可知有4人休假的概率为，有3人休假的概率为，所以． 所以两家店铺该节假日能正常营业的概率为． 故选：． 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，属于中档题． 6．（5分）已知某圆柱的轴截面是面积为4的正方形，则该圆柱的内切球的体积为（　　） A．32π B． C．4π D． 【分析】由已知得到圆柱的底面半径为1，圆柱的高为2，即可求出该圆柱的内切球体积． 【解答】解：因为圆柱的轴截面是面积为4的正方形， 所以该圆柱的底面半径为1，高为2， 即该圆柱的内切球的半径为1， 所以该圆柱的内切球的体积为． 故选：B． 【点评】本题考查圆柱内切球体积的计算，属于中档题． 7．在锐角三角形中，，则边上的高的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可得，所以有，，由三角形为锐角三角形，可得，由正弦定理可得有，最后由即可得答案． 【解答】解：由可得：， 所以， 又因为， 所以， 所以，， 又因为三角形为锐角三角形， 所以， 所以， 在中，由正弦定理可得：， 即， 故有， 因为， 所以， 所以， 所以， 又因为边上的高， 所以． 故选：． 8．（8．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点）．设与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则下列结论不正确的有　　 A． B． C． D． 【分析】由题意画出图形，分别找出角，，，由其三角函数值的大小比较角的大小． 【解答】解：如图，过作底面的垂线，垂足为，连接，则，， 取为的中点，连接，则，，为二面角的平面角，等于， 过作的平行线，过作的平行线，相交于，则为与所成的角，等于， 底面，，又，，平面，则， 在与中，有，， 而，，得，均为锐角）； 在与中，有，， 而，，，得，均为锐角）； 当与重合时，， 综上，． 【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用三角函数的单调性比较角的大小，是中档题． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．（6分）若z＝k2﹣2k+ki（k∈R），则下列结论正确的是（　　） A．若z为实数，则k＝0 B．若zi＝1+3i，则k＝3 C．若z在复平面内对应的点位于第一象限，则k＞3 D．若，则 【分析】A选项，根据复数的类型得到方程，求出k＝0；B选项，利用复数除法法则计算出z＝3﹣i，从而得到方程组，求出答案；C选项，由所在象限得到不等式组，求出k＞2；D选项，计算出k＝1，z＝﹣1+i，利用复数模长公式求出答案． 【解答】解：A选项，若z为实数，则k＝0，A正确． B选项，若zi＝1+3i，则， 则解得k＝﹣1，B错误． C选项，若z在复平面内对应的点位于第一象限，则解得k＞2，C错误． D选项，若，则2（k2﹣2k）＝﹣2， 解得k＝1，z＝﹣1+i，则正确． 故选：AD． 【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题． （多选）10．在跳水比赛中，裁判给分计算运动员成绩规则如下：有7位裁判，对某选手一次跳水的给分均不相同，去掉一个最高分和一个最低分后，下列说法正确的是　　 A．剩下5位裁判给分的平均值一定变大 B．剩下5位裁判给分的极差一定变小 C．剩下5位裁判给分的中位数一定变大 D．剩下5位裁判给分的方差一定变小 【分析】假设7位裁判对这位选手的得分分别为、、，，且，由平均数、极差、中位数、方差的定义和计算公式依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，假设7位裁判对这位选手的得分分别为、、，，且， 依次分析选项： 对于，假设7位裁判对这位选手的得分依次为1、2、3、4、5、6、7， 去掉一个最高分和一个最低分后，其平均数与原来的平均数相等，错误； 对于，由于，即剩下5位裁判给分的极差一定变小，正确； 对于，去掉一个最高分和一个最低分后，中位数与原来的中位数相等，都是，错误； 对于，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的波动变小，数据更加集中，其方差一定变小，正确． 故选：． 【点评】本题考查数据平均数、极差、中位数、方差的计算，注意平均数、极差、中位数、方差的意义，属于基础题． （多选）11．（6分）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，，点C的曲率为，D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点，则（　　） A．直线BF∥平面A1DE B．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A的曲率为 C．在四面体A1ADE中，点E的曲率小于π D．二面角A1﹣DE﹣A的大小为 【分析】选项A，连接CF，先证平面A1DE∥平面BCF，再由面面平行的性质定理，即可判断；选项B，根据点C的曲率可得∠ACB的大小，再计算点A的曲率即可；选项C，结合勾股定理与余弦定理，可证∠A1ED+∠A1EA＝，再求四面体A1ADE中，点E的曲率即可；选项D，利用面积投影法求二面角即可． 【解答】解：选项A，连接CF， 因为D，E，F分别为AC，AB，A1C1的中点， 所以DE∥BC，CD＝A1F，CD∥A1F， 所以四边形A1DCF是平行四边形， 所以A1D∥CF， 又DE∩A1D＝D，DE、A1D⊂平面A1DE，BC∩CF＝C，BC、CF⊂平面BCF， 所以平面A1DE∥平面BCF， 因为BF⊂平面BCF，所以BF∥平面A1DE，即选项A正确； 选项B，因为点C的曲率为， 所以2π﹣（2×+∠ACB）＝，解得∠ACB＝， 又AC＝BC，所以∠CAB＝∠ABC＝， 所以点A的曲率为2π﹣（2×+）＝，即选项B正确； 选项C，因为DE∥BC，所以∠AED＝∠ABC＝， 由题意知，AD＝DE＝1，AE＝，， 所以A1D＝＝，A1E＝＝， 在△A1DE中，由余弦定理知，cos∠A1ED＝＝＝， 在△A1AE中，sin∠A1EA＝＝， 即cos∠A1ED＝sin∠A1EA，且∠A1ED，∠A1EA均为锐角， 所以∠A1ED+∠A1EA＝， 所以在四面体A1ADE中，点E的曲率为2π﹣（∠AED+∠A1ED+∠A1EA）＝2π﹣（+）＝＞π，即选项C错误； 选项D，由选项C可知，cos∠A1ED＝， 所以sin∠A1ED＝＝， 所以＝DE•A1Esin∠A1ED＝＝， 而S△ADE＝AD•DEsin∠ADE＝＝， 设二面角A1﹣DE﹣A的大小为θ， 则cosθ＝＝＝，所以θ＝， 即二面角A1﹣DE﹣A的大小为，故选项D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握面面平行的判定定理与性质定理，理解曲率的计算方法，会用面积投影法求二面角是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（如图，已知的半径为2，弦的长度为3，则　　． 【分析】根据题意，利用锐角三角函数定义算出，然后根据定义求出的值． 【解答】解：如图所示，过点作，垂足为，则为中点， 中，，，所以， 由此可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义、解三角形及其应用，属于基【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 13．（5分）如图，为了测量某建筑物的高度OP，测量小组选取与该建筑物底部O在同一水平面内的两个测量基点A与B．现测得米，OB＝20米，在测量基点A测得建筑物顶点P的仰角为，则该建筑物的高度OP为 　20　米． 【分析】由余弦定理得，进一步结合锐角三角函数即可得解． 【解答】解：在△BAO中，由余弦定理可得OA2＝OB2+AB2﹣2OB•ABcos∠OBA， 即， 则OA＝米． 在Rt△OAP中，米． 故答案为：． 【点评】本题考查余弦定理的应用，属于基础题． 14．在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ；与平面所成角的正切值为 ． 【分析】（1）取，的中点，，连接，，，由题意可证得平面平面，可得，求出，，求出，的值，即求出的范围； （2）由题意由等体积可得到平面的距离为，进而求出与平面所成角的正弦值，进而求出它的正切值． 【解答】解：取，的中点，，连接，，， 因为、分别是棱、的中点， 正方体中，易证得，， ，， 所以平面平面， 而平面，要使平面， 所以， 因为△为等腰三角形，过作于， 所以，， 而，， 所以，所以， 所以，； 设到平面的距离为， 由等体积可得， 而△为等边三角形，所以，， 所以，可得， 设与平面所成的角为， 则， 所以． 即与平面所成角的正切值为． 故答案为：，；． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设z是虚数，，且． （1）求|z|的值及z的实部的取值范围； （2）求证：u是纯虚数； （3）求w﹣u2的最小值． 【分析】（1）结合复数的四则运算进行化简，然后结合复数的概念及模长公式即可求解； （2）结合复数的四则运算及纯虚数的概念进行化简即可证明； （3）先结合复数的四则运算对w﹣u2进行化简，然后结合基本 不等式即可求解． 【解答】解：（1）设z＝a+bi（a，b∈R，b≠0）， 则＝i， 因为w为实数，b≠0， 所以a2+b2＝1，即|z|＝1．所以w＝2a， 因为﹣1＜w＜2， 所以z的实部的取值范围是； 证明：（2）＝．， 因为，b≠0，所以u为纯虚数； （3）w﹣u2＝2a+＝2a+＝， 因为，所以a+1＞0， 所以w﹣u2≥2×2﹣3＝1，当且仅当，即a＝0时，上式取等号， 所以（w﹣u2）的最小值是1． 16．已知三种不同的元件，，，其中元件，正常工作的概率分别为0.6，0.8，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响． （1）用元件，连接成系统（如左图），当元件，都正常工作时，系统正常工作．求系统正常工作的概率； （2）用元件，，连接成系统（如右图），当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时，系统正常工作．若系统正常工作的概率为0.57，求元件正常工作的概率． 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件，则，根据相互独立事件的概率公式得到方程，解得即可． 【解答】解：（1）记元件正常工作为事件，元件正常工作为事件，系统正常工作为事件， 则（A），（B）， 所以（A）（B）； （2）记元件正常工作为事件，系统正常工作为事件， 则 （A）（B）（C）（A）（B）（C）（A）（B）（C） （C）（C）（C）， 解得（C）， 即元件正常工作的概率为0.75． 【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题． 17.（15分）如图，在正方形ABCD中，P，Q分别是AB，BC的中点，将△APD，△PBQ，△CDQ分别沿PD，PQ，DQ折起，使A，B，C三点重合于点M． （1）证明：MD⊥平面MPQ． （2）证明：点M在平面PDQ的投影为△PDQ的垂心． 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）由题意设点M在平面PDQ的投影为O，则MO⊥平面PDQ，求得线线垂直，在利用线面垂直得到O为平面PDQ的垂心． 【解答】证明：（1）因为在正方形ABCD中，AP⊥AD，CD⊥CQ， 所以折起后，可得MP⊥MD，MD⊥MQ， 因为MP∩MQ＝M，MP，MQ⊂面MPQ， 所以MD⊥平面MPQ； （2）设点M在平面PDQ的投影为O，则MO⊥平面PDQ，得MO⊥PD，MO⊥PQ， 连接DO并延长DO与PQ交于点F，连接QO并延长QO与PD交于点E， 因为在正方形ABCD中，BP⊥BQ，所以折起后，可得MP⊥MQ， 又因为MD⊥MQ，MD∩MP＝M，MD，MP⊂平面MPD， 所以MQ⊥平面MPD， 因为PD⊂平面MPD，所以MQ⊥PD， 又MQ∩MO＝M，MQ，MO⊂平面MOQ，所以PD⊥平面MOQ， 又QE⊂平面MOQ，所以QE⊥DF， 同理由题意可知，正方形ABCD折起后，可得MD⊥MQ，MD⊥MP， MQ，MP是面MPQ内两条相交直线，所以MD⊥面MPQ， 又PQ⊂面MPQ，所以MD⊥PQ， 又MO⊥PQ，MD，MO是面MDO内两条相交直线， 所以PQ⊥面MDO， 因为DF⊂面MDO，所以PQ⊥DF． 综上，点M在平面PDQ的投影为△PDQ的垂心． 【点评】本题考查线面垂直的证法，属于中档题． 18．（15分）如图，在中，． （1）证明：为等边三角形． （2）试问当为何值时，取得最小值？并求出最小值． （3）求的取值范围． 【分析】（1）根据平面向量的数量积公式，求出向量、的夹角，进而证出为等边三角形； （2）用向量、表示出、，进而求出的表达式，利用二次函数的最值算出答案； （3）设，找到与的等量关系，表示出，再根据函数的单调性求出取值范围． 解：（1）因为，所以，， 结合，，，可得，， 因为，所以为等边三角形． （2）， ， 则 ， 当时，取得最小值，最小值为． （3）由题意可得， 在中，， 设，则， 所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以的取值范围为，． 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算法则、平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式、二次函数的最值求法等知识，属于中档题． 声明：题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/1 21:45:58；用户：高伟芳；邮箱：13453195079；学号：41670520 19．（17分）如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，BD⊥A1C，且E，F，H分别为线段BB1，A1B，AD的中点． （1）证明：|A1B|＝|A1D|． （2）证明：平面EFH∥平面A1CD． （3）若，当A1B与平面A1CD所成的角最大时，求四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的体积V． 【分析】（1）证明线面垂直，利用垂直条件及题意即可证明； （2）证明出平面EFH中的两条相交直线均平行于平面A1CD即可； （3）结合题意先求出|AB|，再求出ABCD﹣A1B1C1D1的体积即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接AC，与BD交于点O， 因为AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD， 又因为BD⊥A1C，AA1∩A1C＝A1， 所以BD⊥平面AA1C， 因为AC⊂平面AA1C，所以AC⊥BD， 因为四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形，则|AB|＝|AD|， 因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD， 所以，即|A1B|＝|A1D|． （2）证明：延长EF交AA1于点M，连接MH， 由中位线性质可得EF∥A1B1，因为A1B1∥AB∥CD，所以EF∥CD， 因为EF⊄平面A1CD，CD⊂平面A1CD， 所以EF∥平面A1CD， 所以M为AA1的中点，则MH∥A1D， 因为MH⊄平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以MH∥平面A1CD， 因为EF∩MH＝M，所以平面EFH∥平面A1CD． （3）设|AB|＝m，m＞0．因为， 所以|AC|＝|BC|＝|AB|＝m，则，， 设点B到平面A1CD的距离为d，A1B与平面A1CD所成的角为α， 则， 因为， ， 所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时A1B与平面A1CD所成的角最大， ABCD﹣A1B1C1D1的体积 ＝ ＝． 【点评】本题考查空间位置关系的判定以及基本不等式求最值的应用，属于难题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/1 20:27:36；用户：高伟芳；邮箱：13453195079；学号：41670520 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $