精品解析：山东省大联考2025-2026学年高一下学期素养测评（四）数学试题

2025—2026学年度高一下学期素养测评（四） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（其中i为虚数单位），则（ ）． A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的模的公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用向量数量积的运算律结合条件求出，再根据向量夹角的计算公式列式求解即得. 【详解】由得， 又因为，代入解得， 由， 因为，所以. 故选：C. 3. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用圆柱的体积公式，求得四片瓦需要的粘土量，进而求得800片瓦需要的粘土量，得到答案. 【详解】由圆柱的体积公式，可得四片瓦需要的粘土量为， 所以800片瓦需要的粘土量为． 故选：D． 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ，，， B. ，， C. ，， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对于A当时，则与有可能相交即可判断，对于B当时即可判断，对于C由线面位置关系即可判断，对于D由线面垂直的性质及线面平行的判定定理即可判断． 【详解】对于A：当时，满足，，，，则与有可能相交，故A错误； 对于B：当时，，，，故B错误； 对于C：若一直线同时平行两平面，则与两平面的交线平行，故C正确； 对于D：满足，，则或，故D错误． 故选：C． 5. 已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（ ） A. 平均数不变 B. 方差不变 C. 极差变大 D. 中位数不变 【答案】B 【解析】 【分析】求出新数据的平均数，即可判断A；求出新数据的方差即可判断B；求出两组数据的极差，即可判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，设新数据的平均数为， 则，故A错误； 对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为， 则 ，故B正确； 对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为； 则新数据中最大的数为，最小的数为， 则新数据的极差为，即极差不变，故C错误； 对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2； 则新数据为3，4，5，中位数为4， 所以两组数据的中位数不等，故D错误. 6. 在直三棱柱中，侧棱长为3，底面是边长为4的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，取中点分别为，连接，由题可得为异面直线与所成角或所成角补角，然后由题意及余弦定理可得答案. 【详解】如图，取中点分别为，连接. 则，从而为异面直线与所成角或所成角补角. 由题目数据，可得. 取中点为，连接，则. 从而，又异面直线夹角范围为. 则异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D 7. 如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点的平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱台的性质，作出面与直线的交点，进而求出结果. 【详解】连接，且，连接并延长交直线于，连接，如下图所示， 因为，所以面，所以面， 由正四棱台性质可知，，所以四点共面， 所以直线和直线相交，交点即为经过点的平面与直线交于点； 因为正四棱台的上底边长是下底边长的一半，则，则， 所以，可得. 故选：A. 8. 在中，，，则为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】记单位向量，利用单位向量模长求出角，再利用正弦定理化简，利用向量数量积证明，进而判断三角形的形状． 【详解】记单位向量，则， ， 解得， ， ， 由正弦定理，则， ， 故，， 则， 故，即， 故是等腰三角形， 又， 故是等边三角形． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，均为复数，下列命题中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的加法、减法、乘法运算及复数的共轭复数的模对选项逐一分析，举反例可判断D. 【详解】对于A：设，，其中，，，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B：设，，其中，，，， 则， ， 所以，故B正确； 对于C：若，则， 同理可得，故C正确； 对于D：若，取，，满足条件， 但，故D错误. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” D. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断；对于C，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断；对于D，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断. 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由正弦定理，可知，故C正确； 对于D，由即 解得，故D错误. 故选：BC 11. 已知正方体的棱长为2，点为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当为中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点到点距离的最小值为 D. 当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，点到平面的距离为定值，所以体积为定值；对于B，找到过点，，的平面截该正方体所得的截面，截面为等腰梯形，求面积即可判断；对于C，过点作，垂足为，过点作，垂足为，通过题意求得，即可求出答案；对于D，求出点的轨迹，即可判断. 【详解】对于A，因为平面平面，所以点到平面的距离恒等于， 故， 故A正确； 对于B，取的中点，易证， 所以四边形即为过点，，的平面截该正方体所得的截面， 四边形为等腰梯形， 过点作，垂足为， ，，，所以， 所以， 所以四边形的面积为， 故B错误； 对于C，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 因为，故， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 设，， 所以，， 由题意得，解得， 即，所以点位于靠近点的四等分点时，最小， 所以点到点距离的最小值为， 故C正确； 对于D， 因为平面平面， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角， 又因为平面， 所以直线与平面所成角即为，即， 在，因为，所以， 所以点的轨迹为以为圆心，为半径的四分之一圆周， 所以点的轨迹长度为， 故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，，设， 所以 ， ， 而 ，所以，， 解得，， 因此. 13. 某工厂利用随机数表法对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 15 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从随机数表的第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的样本中，第5个个体的编号是________． 【答案】 10 【解析】 【分析】按照题意结合随机数表依次读出前5个数即可. 【详解】从随机数表第1行的第6列数字开始由左向右每次连续读取2个数字， 删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有03，46，41，11，10， 所以选出来的第5个个体的编号为10. 14. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三棱锥的体积，求三棱锥的高，再根据三棱锥的几何性质，确定三棱锥外接球球心的位置和外接球的半径，利用球的表面积公式求面积. 【详解】如图： 在中，，，所以. 取中点，则为外接圆的圆心，且外接圆半径为. 连接，因为，所以. 又（）. 所以，即. 又平面，，所以平面. 所以. 所以三棱锥外接球的球心在线段上，设为，再设三棱锥外接球的半径为， 在中，，，, 由. 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解； （2）结合（1）得，从而，根据向量共线定理证明. 【小问1详解】 由平行四边形，可得; ，， ，即. 【小问2详解】 由（1），又， 所以， 所以三点共线. 16. 如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）平面将正方体截成两部分，若这两部分的体积分别为，求的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）要证明面面平行，则需要证明一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，即证明平面，平面. （2）先确定平面截正方体所得的截面，然后求出该部分体积和正方体的总体积，进而求得比值. 【小问1详解】 连接，则因为分别为的中点，所以， 由且，则四边形为平行四边形，则， 所以且，四边形是平行四边形，所以， 由，又平面，而不在平面内， 所以平面，平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 取的中点，连接，又是的中点，则， 由且，则四边形为平行四边形，则， 所以，故平面即为平面在正方体中的截面， 因为正方体的棱长为6，所以正方体的体积为， 由图易知为棱台，其体积， 所以，则. 17. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 【答案】（1），分位数为 （2）； 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，结合分位数的性质进行求解即可； （2）先计算成绩在，内的人数，求出平均值，再由方差的计算可得 【小问1详解】 因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 所以. 成绩小于分的占比，成绩小于分的占比， 所以参加挑战赛的学生成绩的分位数在小组中， 而，所以分位数为； 【小问2详解】 成绩在，内的人数分别为，． ． 设学生成绩在区间内的数据记为，，…，，学生成绩在内的数据记为，，…，，所以 . 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． （1）求的值． （2）若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】(1)通过三角形面积公式与余弦定理化简求出. （2）①通过正弦定理转换后进行化简求出只与有关的三角函数并求出范围.②通过①求得的比值表示出的范围后，利用余弦定理求出相对应的的范围并求出周长范围. 【小问1详解】 因为， ， 根据余弦定理得，即， ，又因为， 所以，解得或，但是， 所以. 【小问2详解】 ①因为，所以， 根据正弦定理. 因为为锐角三角形．，且单调递减，单调递增， 所以， 因此. ②因为，所以， 因为， 所以，且在时单调递增， 所以， 因为周长，所以. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，． （1）求证：平面； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当时，求二面角正切值的取值范围． 【答案】（1）由，，，得，则. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以.又因为，所以. 又因为，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在四边形中，，平面，平面， 则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 如图，在平面内过点作于点. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中，，，， 则，所以， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接. 由(1)得，平面，又平面，所以平面平面. 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以. 则即为二面角的平面角. 设. 由(1)得，则. 在中，由，得. 在中，由，得； 在中， 所以. 由，得，则 所以二面角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高一下学期素养测评（四） 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知（其中i为虚数单位），则（ ）． A. 5 B. 7 C. 9 D. 25 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法．首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦．若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. ，，， B. ，， C. ，， D. ， 5. 已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（ ） A. 平均数不变 B. 方差不变 C. 极差变大 D. 中位数不变 6. 在直三棱柱中，侧棱长为3，底面是边长为4的正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个正四棱台的上底边长是下底边长的一半，经过点的平面与直线交于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，则为（ ） A. 等边三角形 B. 等腰非等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，均为复数，下列命题中正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 在中，若，，则 C. 已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” D. 已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 11. 已知正方体的棱长为2，点为侧面（含边界）内的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 当为中点时，过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为 C. 当时，点到点距离的最小值为 D. 当直线与平面所成角为时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，则点的坐标为________． 13. 某工厂利用随机数表法对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行： 66 67 40 37 14 64 15 71 11 05 65 09 95 86 68 76 83 20 37 90 57 16 03 11 63 14 90 84 45 21 75 73 88 05 90 52 23 59 43 10 若从随机数表的第1行第6列开始向右依次读取数据，则得到的样本中，第5个个体的编号是________． 14. 在三棱锥中，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在平行四边形中，. （1）用向量，表示，； （2）若，证明：，，三点共线. 16. 如图，正方体的棱长为6，且分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）平面将正方体截成两部分，若这两部分的体积分别为，求的值. 17. 某学校组织高二数学挑战赛，现从参加挑战赛的学生中随机选取100人，将其成绩（百分制）分成，，…，六组，得到频率分布直方图（如下图），请完成下列问题： （1）求频率分布直方图中a的值，并估计参加挑战赛的学生成绩的分位数； （2）已知落在区间的样本平均分是63，方差是5；落在区间的样本平均分是78，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均分和方差. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且． （1）求的值． （2）若为锐角三角形． ①求的取值范围； ②当，求周长的取值范围． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，． （1）求证：平面； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当时，求二面角正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $