山西大学附属中学2026-2027学年高一数学暑假作业五

**基本信息** 聚焦几何体表面积与体积，通过知识梳理-基础巩固-综合应用-回顾反思四阶设计，融入沙漏计时、村超蹴鞠等文化与生活情境，强化空间观念与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |基础巩固|选择6、多选2、填空4、解答3|表面积体积公式、外接内切球|结合沙漏计时考查圆锥体积与侧面积| |综合应用|多选3、填空3、解答2|折叠问题、空间几何证明|以高脚杯冰块建模，融合体积比计算| |回顾反思|单选4、多选3、填空2|二面角、外接球表面积|选用太原市期末真题，强化真题适配性|

山大附中高一数学暑假 模块五 几何体的表面积与体积 第一部分：知识梳理 一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面 （1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体． （2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）． 二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台 1、棱柱：两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； （2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； （4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； （6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； （2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示． 三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2、圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 四：组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 五：表面积与体积计算公式 表面积公式 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式 体积 柱体 锥体 台体 球 六：空间几何体的直观图 1、斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2、平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 第二部分：基础巩固 1、 选择题（共6小题） 1. 下列说法正确的有（     ） ①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④圆锥的轴截面是等腰三角形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】对于①：利用棱台的定义进行判断； 对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.即可判断； 对于③：举反例：底面的菱形，各侧面都是正方形的四棱柱不是正方体. 即可判断； 对于④：利用圆锥的性质直接判断. 【详解】对于①：棱台是棱锥过侧棱上一点作底面的平行平面分割而得到的.而两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，把梯形的腰延长后，有可能不交于一点，就不是棱台.故①错误； 对于②：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥.故②错误； 对于③：各侧面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方体.故③错误； 对于④：圆锥的轴截面是等腰三角形.是正确的.故④正确. 故选：A 2. 如图，△是水平放置的△ABC的直观图，其中2，，分别与轴，轴平行，则BC=（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画图法有，，余弦定理求得，再由求即可. 【详解】由斜二测画图法知：，， 而，则， 所以或（舍）， 由题设，原图中，故. 故选：D 3. 已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知圆台母线长为，且上底面圆周为，下底面圆周为， 圆台侧面展开图为圆环的一部分，圆环所在的小圆半径为 ， 则圆环所在的大圆半径为 ， 所以侧面展开图的面积，故选：． 4．设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．64 C． D．128 答案．C 【详解】是斜边为的直角三角形， 的外接圆的半径，又球的半径， 球心到平面的距离， 又面积的最大值为， 点到平面的距离的最大值为， 三棱锥体积的最大值为． 故选：C． 5. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设， 即， 由条件可知，， 在中，，即，解得：， 所以圆锥内切球的体积. 故选：D 6．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，利用平面上两点间的线段距离最短，通过解三角形求解即可． 【详解】如图．沿着侧棱把正三棱锥展开在一个平面内，如下图所示： 则即为的周长的最小值，又因为， 所以，在中，，由勾股定理得： ． 故选：C． 2、 多选题（共2小题） 7.沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（    ） A．沙漏的侧面积是 B．沙漏中的细沙体积为 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm D．该沙漏的一个沙时大约是837秒 【答案】BD 【详解】A选项，设下面圆锥的母线长为，则cm， 故下面圆锥的侧面积为，故沙漏的侧面积为，故A错误； B选项，因为细沙全部在上部时，高度为圆锥高度的， 所以细沙形成的圆锥底面半径为cm，高为cm， 故底面积为，所以沙漏中的细沙体积为，B正确； C选项，由B选项可知，细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的体积为，其中此锥体的底面积为，故高度为cm，C错误； D选项，秒，故该沙漏的一个沙时大约是837秒，D正确. 故选：BD 8．在平面凸四边形中，，，，现沿对角线折起，使点到达点，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是（    ） A． B． C． D． 答案．BCD 【分析】由四边形对角互补，可知四顶点共圆，过圆心作圆面的垂线，过圆心翻折对应点作折后平面的垂线，两者的交点即为外接球的球心，则结合图形可求球的半径范围，继而可求三棱锥的外接球的表面积的范围. 【详解】平面凸四边形中，，， 平面凸四边形中，四顶点共圆， 令平面凸四边形所在圆的圆心为,沿对角线折起，使点到达点， 取中点,连接,过点作平面的垂线， 过点作平面的垂线，令两条垂线的交点为,    在中由正弦定理可得的直径, 由垂径定理可得, 由翻折对称可知, 平面,平面, , 同理, 又，, , , 又二面角的平面角, 即, , , 中, 外接求得半径, 三棱锥的外接球的表面积, 故选：BCD. 3、 填空题（共4小题） 9. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m． 【答案】 【详解】如图所示，根据题意可得为边长为的正三角形， 所以， 所以圆锥底面周长， 根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，可得， 故，则， 所以， 所以小猫所经过的最短路程是． 故答案为： 10. 已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________． 【答案】8π 【详解】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可. 详解：如下图所示， 又， 解得，所以， 所以该圆锥的体积为. 11. 在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是 . 【答案】 【详解】如图，圆与AB切于点D，设球的半径为， 则，且， 有，即，得， 所以水的体积， 所以水的体积与球的体积之比是. 12．近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注.足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为 .    四、解答题（共3小题） 13.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【详解】（1）如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面． （2）[方法一]：分割法一 如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示：连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积 14.如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 【详解】（1）由于，是的中点，所以. 由于，所以， 所以，故， 由于，平面， 所以平面， 由于平面，所以平面平面. （2）[方法一]：判别几何关系 依题意，，三角形是等边三角形， 所以， 由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以. ，所以， 由于，平面，所以平面. 由于，所以， 由于，所以， 所以，所以， 由于，所以当最短时，三角形的面积最小 过作，垂足为， 在中，，解得， 所以， 所以 过作，垂足为，则，所以平面，且， 所以， 所以. [方法二]：等体积转换 ，， 是边长为2的等边三角形， 连接 15.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点， ∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 【详解】（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面， 在上，， 是圆内接正三角形，，≌， ，即， 平面平面，平面平面； （2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为， ，解得，， 在等腰直角三角形中，， 在中，， 三棱锥的体积为. 第三部分：综合应用 1、 多选题（共3小题） 1．如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】选项A.利用中位线平行得出与点共面； 选项B. 因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长，利用锥体体积公式求解即可； 选项C.由选项A知截面为正六边形,进而得解； 选项D.由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆. 【详解】选项A，如图，设点是棱中点，由均为所在棱的中点， 根据中位线易得,进而可得与点共面，所以平面，错误； 选项B，如图，因为面在正方体前侧面上，所以点到面的距离等于的长， 正方形中 ， 则三棱锥的体积为, 选项C，由选项A知过三点的平面截正方体所得截面为正六边形,边长，所以面积为， 选项D，由 知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆，长度为， 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：利用平行线确定平面可以得出选项AC，选项B直接利用锥体体积公式计算即可，选项D关键是理解到.由 知点轨迹为为球心，为半径的球，球与正方体平面交线为圆弧，又正方体棱长为2与球半径相等，所以每个面上的圆弧为四分之一圆. 2．如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上．若，则（    ） A． B．该多面体外接球的表面积为 C．直线MG与直线PQ的夹角为 D．二面角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】作出平面截面该多面体及对应的正方体截面，利用正八边形的性质，结合球的截面小圆性质、异面直线夹角、二面角逐项计算判断即可. 【详解】依题意，平面截该多面体得正八边形，截对应正方体得正方形，该正方形边长即为正方体的棱长，如图， 对于A，，A错误； 对于B，正方形的外接圆半径，显然该多面体外接球球心是对应正方体的中心， 球心到平面的距离，因此球半径，有， 所以该多面体外接球的表面积为，B正确； 对于C，显然，而，因此直线MG与PQ的夹角为直线FP与PQ的夹角，C正确； 对于D，显然，则是二面角的平面角， 且，其余弦值为. 故选：BCD 3．如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（    ） A．当平面平面时，平面 B．当A，C重合于点时，平面 C．当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为 D．当A，C重合于点时，四棱锥的体积为 【答案】AC 【分析】对于A，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B， 利用反证法可以说明B错误；对于C，根据题意判断出外接球的球心为的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D，利用平面平面，可求得四棱锥的高，进而计算出体积. 【详解】由题意，将沿折起，且点在平面， 此时、、、四点共面，平面平面， 平面平面，当平面平面，， 由题意得：，所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 因为，所以，则可得， 即，同理可得， 当重合于点时，如上图，在中，， 又因为，所以， 因为，所以， 所以为等腰三角形，即，，， 故和不垂直，则不垂直于平面，故B错误； 在三棱锥中，，均为直角三角形，所以为外接球直径， 则外接球半径，则三棱锥外接球表面积为，故C正确. ，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 平面平面，过点作， 因为是边长为的等边三角形，所以可得， 由面面垂直性质定理可知平面，即为四棱锥的高， 所以，故D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断. 2、 填空题（共3小题） 4．如图，已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，，为中点，，则三棱锥的外接球表面积为 ． 【答案】/ 【分析】设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接， 的外接圆的圆心为，连接，，可证四边形为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积. 【详解】因为为等边三角形，为中点，故， 而，，平面，所以平面. 设外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，连接， 设的外接圆的圆心为，连接，， 则平面， 故，故共面，而平面， 故，故四边形为矩形. 又，而， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为， 故答案为： 5．如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为 ；设直线与平面所成角分别为，则 . 【答案】 1 【分析】把三棱锥放到长方体中，利用长方体的外接球就是三棱锥的外接球列式计算；通过证明平面平面确定在平面的投影在线段上，从而做出三个线面角，然后计算的面积和的体积进而求出高，最后把三个线面角用边的比值表示出来即可得出结果。 【详解】由题意知，故三线两两垂直； 如图1构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥的外接球， 长方体的体对角线就是外接球的直径，设为， 则，即， 所以所求外接球的体积为. 如图2，取的中点，连接； 由可知，平面， 故平面，平面,即平面平面， 平面平面，作，垂足为，则平面，与平面所成角分别为， ，由上述过程可知，所以， 所以， 故答案为：，1 6．如图，在长方形中，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为，设，二面角的大小为.若，则三棱锥体积的最大值为 . 【答案】 【分析】将三棱锥的底面面积及高用含有的三角函数来表示，根据体积公式写出棱锥体积，整理化简后利用三角函数求出三棱锥体积的最大值. 【详解】过作，交于，过作平面， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面，则， 所以二面角的平面角为， 则，，，， 则三棱锥的高， 三棱锥的底面面积， 所以 ，(其中) ， 故当时，三棱锥体积的最大值为， 故答案为： 3、 解答题（共2小题） 7．如图，三棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，且直线与平面所成角为， (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥外接球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件证得平面，即可证得； （2）由与平面所成角确定正三角形边长与长的关系，再作二面角的平面角，借助余弦定理计算可得答案； （3）由正弦定理求设外接圆的直径，结合平面求外接球半径，即可得外接球的表面积. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且，平面，可得平面， 又因为面，所以. （2）取中点，连接，，如图， 因为为等边三角形，则， 因为平面平面，平面平面，， 可得平面， 所以是与平面所成角为， 因为，则， 因为，则， 由（1）可知，则， 过作于，在平面内过作交于点， 从而得是二面角的平面角， 在中，则，， 在中，由余弦定理得． 则，， 显然是斜边中点，则， 在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为； （3）设外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为， 由正弦定理得， 由（1）可知平面，则， 所以三棱锥外接球的表面积. 8．如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求四棱台的体积和球的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)四棱台的体积为，球的表面积为． 【分析】（1）只需证明和即可； （2）做出二面角的平面角再做计算. （3）将四棱台还原为四棱锥，把三棱台的内切球转化为三棱锥的内切球问题. 【详解】（1）设与、与BD分别交点E，F，连接EF，因为底面为菱形，所以． 在等腰梯形中，因为E，F为底边中点， 所以，又EF与BD相交，平面，所以平面． （2）由（1）可知平面平面，又平面平面， 过点作于，则平面，因为平面， 所以，再作于，又因为，平面， 所以平面，因为平面，所以，则是二面角的平面角． 因为平面，故是侧棱与底面所成角，所以． 在，，， 在，， 在，． 因此二面角的正切值为． （3）将四棱台还原为四棱锥， 由题意可知三棱台为正三棱台，所以三棱锥为正三棱锥， 因此三棱台和三棱锥的内切球为同一个球，设，是和的中心， 由（2）易知在，所以三棱锥为正四面体，所以， 因此平面是四棱锥的中截面，则，， 故四棱台的体积． 球的表面积为． 第四部分：回顾反思 一、单选题 1．如图，线段为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直，且，，给出以下结论： ①平面； ②平面平面； ③三棱锥外接球的半径为； ④二面角的余弦值为； 则其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】对①，根据判定即可；对②，证明平面即可判断；对③，根据外接球的性质可得三棱锥外接球的直径为，再求解半径即可；对④，过作于，连接,根据线面垂直的性质与判定可得为二面角C-EF-A的平面角，再根据几何关系求解余弦值即可 【详解】对①，因为，故，又，故四边形为平行四边形，故，而平面，而平面，故平面； 对②，因为线段为圆的直径，故，又矩形所在平面和圆所在平面垂直，故，且为与的交线，平面， 故平面，故，又， 故平面，又平面，故平面平面，故②正确； 对③，由②可得， 故三棱锥外接球的直径为， 故三棱锥外接球的半径为，故③正确； 对④，过作于，连接,由于矩形所在平面和圆所在平面垂直， 平面平面，，平面， 所以平面，平面，平面， 所以，,又因为， 所以平面，又因为平面，所以，即， 则为二面角C-EF-A的平面角， 又因为，故,， 因此，故④正确； 故①②③④正确； 故选：D 2．将边长为的正方形沿对角线折成大小为的二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．是等边三角形 C．面积的最小值为 D．四面体的外接球的体积为 【答案】C 【分析】证明可判断A；可知，求出各边长可判断B；证明 ，求出最小值可得三角形面积最小值可判断C；由题意可得点即为四面体外接球的球心，半径为的长，计算球的体积可判断D，进而可得正确选项. 【详解】 如图：设正方形对角线相交于点，则为和的中点， 对于A：因为，所以， ，， 所以面，因为面，所以，即异面直线与所成的角为，故选项A不正确； 对于B：， ，所以即为二面角的平面角，可得 ，因为，可得，所以是等边三角形，可得，而，所以不是等边三角形，故选项B不正确； 对于C：因为面，面，所以，，当时，最小，由选项B知：是边长为 等边三角形，所以最小为，所以面积的最小值为 ，故选项C正确； 对于D：因为，所以点即为四面体外接球的球心，且外接球半径为，所以外接球的体积为，故选项D不正确； 故选：C. 3．在三棱锥中，已知，，，，若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据球的体积可得球半径，由为直径长，所以球心是中点，由底面三角形的条件分析得为直角三角形，中点是直角的外心，所以平面，进而由可得解. 【详解】设球半径为，则，， 而，所以是球的直径，球心是中点， ，所以中点是直角的外心，所以平面， 又平面，所以， ，，， 是中点，所以， 故选A. 【点睛】方法点睛：求几何体外接球的半径，可以根据题意先画出图形，确定球心的位置，进而得到球的半径的表达式，解题时注意球心在过底面外接圆的圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离相等．在确定球心的位置后可在直角三角形中求球的半径，此类问题对考生的空间想象能力和运算求解能力要求较高. 4．如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作且，连接、，即可得到是二面角的平面角，从而求出，即可得到，则平面，则为三棱锥的外接球的直径，即可求出外接球的表面积. 【详解】过点作且，连接、，则四边形为平行四边形， 所以，因为，所以，又， 所以是二面角的平面角，即， 在中，由余弦定理可得， 即，所以，所以， 又，，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 所以为三棱锥的外接球的直径， 所以外接球的半径， 所以外接球的表面积. 故选：B    【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是作辅助线过点作且，连接、，确定是二面角的平面角. 二、多选题 5．在菱形中，，，将菱形沿对角线折成大小为的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（    ）． A．四面体的体积的最大值是 B．的取值范围是 C．四面体的表面积的最大值是 D．当时，球的体积为 【答案】ACD 【分析】求出当时，四面体的体积最大，利用锥体的体积公式可判断A选项的正误；利用余弦定理可判断B选项的正误；利用时，四面体的表面积的最大，可判断C选项的正误；求出球的半径，利用球体的体积公式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，，，则为等边三角形， 取的中点，则，同理可知，为等边三角形，所以，， 且，， 所以，二面角的平面角为， 设点到平面的距离为，则， ，当且仅当时，等号成立， 即四面体的体积的最大值是，A选项正确； 对于B选项，由余弦定理可得， 所以，，B选项错误； 对于C选项，， ，，， 所以，， 因此，四面体的表面积的最大值是，C选项正确； 对于D选项，设、分别为、的外心，则， 在平面内过点作的垂线与过点作的垂线交于点， ，，，平面， 平面，， ，，平面，同理可得平面， 则为四面体的外接球球心， 连接，，，，， 所以，，， 平面，平面，， ，即球的半径为， 因此，球的体积为，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 6．如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（    ）    A．直线AB，CD所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体ABCD的体积为 D．四面体外接球的半径为 【答案】ABC 【分析】由线面垂直可得A正确；由线面垂直结合余弦定理可得B正确；由同角的三角函数，棱锥的体积公式，三角形的面积公式可得C正确；补入长方体中，求出长方体外接球半径可得D错误； 【详解】A：取的中点，连接，    由题意四面体ABCD的各个面都是全等的三角形， 可得，又平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以AB，CD所成角为，故A正确； B：取的中点，连接，    则，所以为二面角的平面角， 在中，，， 由余弦定理可得，故B正确； C：由B可得， 由，故C正确； D：将四面体放入长方体中，如图    可得长方体与四棱锥共圆，所以外接球半径一样，设为， 所以，故D错误； 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项关键是把图形放入长方体中，利用共圆模长求长方体的外接圆半径即可. 7．已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（    ） A．若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是 B．若在线段上运动，则的最小值为 C．若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D．若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据异面直线的夹角求解，棱锥外接球的求解，以及正方体截面的性质，对选项进行逐一分析即可. 【详解】对A，如图所示， 由于，可知即为异面直线与所成角， 设连接，设， 则在中， ，故A正确； 对于B，将三角形与四边形沿展开到同一个平面上，如图所示， 由图可知，线段的长度即为的最小值， 在中，，故B错误； 对于C，如图当为半圆弧的中点时，三棱锥的体积最大， 此时，三棱锥的外接球球心是的中点， 连结，则半径的长为，其表面积为，故C正确； 对于D，平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等， 只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图， ，则平面与正方体过点A的三条棱所成的角相等， 当点分别为棱的中点， 连结，可得平面平行于平面，且为正六边形， 此时该截面是最大截面， 由于正方体的棱长为1，所以正六边形的边长为，则面积为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求线段长度相加最值最值问题经常立体问题平面化；把两线放到同一平面；截面问题结合线面平行现在定理画出截面是关键. 三、填空题 8．在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 【答案】/ 【分析】先由球的表面积求得其半径，再利用球的截面性质求得的外接圆的半径，从而求得的取值范围，进而求得二面角正切值的取值范围，由此得解. 【详解】依题意，设的外接圆的半径为，三棱锥外接球的半径为， 则，则（负值舍去）， 因为平面，，所以，即，则（负值舍去）， 因为，所以为的外接圆的直径，即， 过作交于，连接，如图，    设，则由，得， 故，得，当且仅当时，等号成立， 故由三角形面积相等得， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 则，即二面角正切值的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用基本不等式求得的取值范围，再推得为二面角的平面角，从而得解. 9．已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由条件可得球与侧面的交线为一段圆弧，即可得到结果. 【详解】    取中点，中点，中点，中点， 由题意可得，，， 在平面内取一点，使得，则， 且，所以以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线 是以为圆心，为半径的圆弧，且，则，则圆弧的长为. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高一数学暑假作业 模块五 几何体的表面积与体积 第一部分：知识梳理 1. 柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式是什么？ 2. 解决简单几何体的表面积和体积的问题时，需要注意什么？ 3.什么是椎体的外接球、内切球、棱切球？ 4．求三棱锥的外接球有哪些方法？试着整理一下。 第二部分：基础巩固 一、选择题（共6小题） 1. 下列说法正确的有（     ） ①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ②以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体； ④圆锥的轴截面是等腰三角形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 如图，△是水平放置的△ABC的直观图，其中2，，分别与轴，轴平行，则BC=（　　） A．2 B． C．4 D． 3. 已知某圆台的高为1，上底面半径为1，下底面半径为2，则侧面展开图的面积为（    ） A． B． C． D． 4．设，，，是同一个半径为的球的球面上四点，是斜边为的直角三角形，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B．64 C． D．128 5. 已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥中，，，过点作截面，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共2小题） 7.沙漏，据《隋志》记载：“漏刻之制，盖始于黄帝”．它是古代的一种计时装置，由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是（     ） A．沙漏的侧面积是 B．沙漏中的细沙体积为 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cm D．该沙漏的一个沙时大约是837秒 8．在平面凸四边形中，，，，现沿对角线折起，使点到达点，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是（     ） A． B． C． D． 三、填空题（共4小题） 9. 如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为的正，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m． 10. 已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________． 11. 在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在的平面恰好经过冰块的球心（水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是 . 12．近期，贵州榕江“村超”火爆全网，引起足球发烧友、旅游爱好者、社会名流等的广泛关注.足球最早起源于我国古代“蹴鞠”，被列为国家级非物质文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠图》描绘太祖、太宗和臣子们蹴鞠的场景.已知某“鞠”的表面上有四个点A、B、C、D，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为6的正三角形，则该“鞠”的表面积为 .    四、解答题（共3小题） 13.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 14.如图，四面体中，，E为AC的中点． (1)证明：平面平面ACD； (2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积． 15.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点， ∠APC=90°． （1）证明：平面PAB⊥平面PAC； （2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积. 第三部分：综合应用 一、多选题（共3小题） 1．如图，在正方体中，，均为所在棱的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（     ） A．平面 B．三棱锥的体积为 C．过三点的平面截正方体所得截面的面积为 D．若，则点的轨迹长度为 2．如图，该多面体的表面由18个全等的正方形和8个全等的正三角形构成，该多面体的所有顶点都在同一个正方体的表面上．若，则（     ） A． B．该多面体外接球的表面积为 C．直线MG与直线PQ的夹角为 D．二面角的余弦值为 3．如图，一张矩形白纸，，，E，F分别为AD，BC的中点，BE交AC于点M，DF交AC于点．现分别将，沿BE，DF折起，且点A，C在平面的同侧，则下列命题正确的是（    ） A．当平面平面时，平面 B．当A，C重合于点时，平面 C．当A，C重合于点时，三棱锥的外接球的 表面积为 D．当A，C重合于点时，四棱锥的体积为 二、填空题（共3小题） 4．如图，已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，，为中点，，则三棱锥的外接球表面积为 ． 5．如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，将分别沿折起，使重合于点，则三棱锥的外接球的体积为 ；设直线与平面所成角分别为，则 . 6.在长方形中，，点在线段（端点除外）上，现将沿折起为，设，二面角的大小为.若，则三棱锥体积的最大值为 . 三、解答题（共2小题） 7．如图，三棱锥中，为等边三角形，且平面平面，，，且直线与平面所成角为， (1)求证：； (2)求二面角的余弦值； (3)求三棱锥外接球的表面积． 8．如图，在四棱台中，底面为菱形，且，，侧棱与底面所成角的正弦值为．若球与三棱台内切（即球与棱台各面均相切）． (1)求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)求四棱台的体积和球的表面积． 第四部分：回顾反思 此部分内容选自本学期的导学、跟进、周回顾以及月考题目，将本学期所练习过的题目精选，通过练习辅助学生回顾重点知识点以及重点题型。在完成本部分内容时，学生可以通过精选题目，回忆相同类型题目，结合错题本，对重点题目和易错题目进行巩固和加强。 一、单选题 1．[太原市2021-2022期末试卷.12] 如图，线段为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直，且，，给出以下结论： ①平面； ②平面平面； ③三棱锥外接球的半径为； ④二面角的余弦值为； 则其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（跟进41.10）将边长为的正方形沿对角线折成大小为的二面角，点为线段上的一动点，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成的角为 B．是等边三角形 C．面积的最小值为 D．四面体的外接球的体积为 3．（跟进42.8）在三棱锥中，已知，，，，若三棱锥的外接球的体积为，则三棱锥的体积为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（跟进32.8）如图①，将两个直角三角形拼在一起得到四边形，且，，现将沿折起，使得点到达点处，且二面角的大小为，连接，如图②，若三棱锥的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（跟进43.12）在菱形中，，，将菱形沿对角线折成大小为的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（     ）． A．四面体的体积的最大值是 B．的取值范围是 C．四面体的表面积的最大值是 D．当时，球的体积为 6．（跟进32.10）如图，四面体ABCD的各个面都是全等的三角形，且，若A，B，C，D在同一个球面上，则下列正确的是（     ） A．直线AB，CD所成角为 B．二面角的余弦值为 C．四面体ABCD的体积为 D．四面体外接球的半径为 7．（跟进32.11）已知正方体的棱长为，是空间中任意一点，下列正确的是（     ） A．若是棱动点，则异面直线与所成角的正切值范围是 B．若在线段上运动，则的最小值为 C．若在半圆弧上运动，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D．若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 三、填空题 8．[太原市2022-2023期末试卷.16] 在三棱锥中，平面，，，三棱锥外接球的表面积为，则二面角正切值的最小值为 . 9．[高一数学期末练习（一）.13]已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $