26.2.3二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（大单元教学课件）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax²+bx+c\)的图象和性质，通过大棚种植产量问题情境引入，结合已学特殊形式二次函数表格对比，搭建从具体到抽象、从特殊到一般的学习支架，引导学生探究一般式转化及性质。 其亮点在于以实际问题培养数学眼光，通过配方法推导和公式总结发展数学思维，典例与练习强化数学语言表达。如产量问题建模体现模型意识，配方步骤分解提升推理能力，助力学生掌握知识，教师可高效开展教学。

人教版(新教材) 九年级上册 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的 图象和性质 第二十六章 二次函数 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某大棚内种植西红柿，经过试验，其单位面积的产量与这个单位面积种植的株数构成一种函数关系.每平方米种植4株时，平均单株产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.25kg.问：每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少？ 解：设每平方米种植x株，产量为y kg. 根据题意，有y=x[2−0.25 (x−4)]. 即y= −0.25x2+3x. 如何求以上 函数的最值呢？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 y = −2x2 y = −7x2 − 4 y = −2(x + 1)2 y = −2(x + 5)2 − 4 y = (x − 4)2 + 9 y = −3x2 + 8x y = x2 + x − 6 顶点坐标 对称轴 最值 (0，0) y 轴 0 (0，−4) y 轴 −4 (−1，0) 直线 x = −1 0 (−5，−4) 直线 x = −5 −4 (4，9) 直线 x = 4 9 黄色表格中的数据如何求？ 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 对于二次函数，如何画出它的图象并讨论它的性质？ 配方： 由此可知，抛物线的顶点是点(6，3)，对称轴是直线x＝6. (1)“提”：提出二次项系数； (2)“配”：括号内配成完全平方； (3)“化”：化成顶点式. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 某大棚内种植西红柿，经过试验，其单位面积的产量与这个单位面积种植的株数构成一种函数关系.每平方米种植4株时，平均单株产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.25kg.问：每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少？ 解：设每平方米种植x株，产量为y kg. 根据题意，有y=x[2−0.25 (x−4)]. 即y= −0.25x2+3x. 即y=−0.25(x−6)2+9. 当x=6时，y取最大值9. ∴当每平方米种植6株时，能获得最大的产量，最大产量为9kg. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 我们如何用配方法将二次函数的一般式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 化成顶点式 y = a(x − h)2 + k？ y = ax² + bx + c 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 顶点式 顶点坐标 对称轴 最值 y=−x2+2x y =−(x −1)2 +1 y=−2x2−1 y =−2x −1 y = 2x2 − 4x + 6 y =2(x −1)2 + 4 (1，4) (1,1) x=1 最大值1 (0,−1) y轴 最大值−1 最小值4 x=1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 你能画出　　　　　　　 的图象吗？ 如何直接画出　　　　　　　 的图象？ 观察图象，二次函数　　　　　　 的性质是什么？ 6.75 8 8.75 9 8.75 8 6.75 x y = − x2+3x ... ... 3 4 5 6 7 8 9 ... ... 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 O y x 5 10 5 10 20 15 x＝6 结合二次函数 的图象， 说出其增减性. 当x>6时，y随x的增大而增大 当x<6时，y随x的增大而减小 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 因此，抛物线 y = ax2 + bx + c 的顶点坐标是 对称轴是直线 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c 可以通过配方化成 y = a(x − h)2 + k 的形式，即 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和性质 如果 a＜0， 当 x＜ 时，y 随 x 的增大而增大； 当x＞ 时，y 随 x 的增大而减小. 如果 a＞0， 当 x＜ 时，y 随 x 的增大而减小；当x＞ 时，y 随 x 的增大而增大. x y O x y O 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 a、b、c 的关系 字母符号 a＞0 a＜0 b = 0 a、b 同号 a、b 异号 c = 0 c ＞ 0 c ＜ 0 图象的特征 开口___________ 开口___________ 对称轴为_____轴 对称轴在 y 轴的____侧 对称轴在 y 轴的____侧 经过原点 与 y 轴交于_____半轴 与 y 轴交于_____半轴 向上 向下 y 左 右 正 负 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 −16 −6 0 2 0 −6 −16 画出函数 的图象，并说明这个函数具有哪些性质. 解：将函数 配方，得 先列表： x y = −2x2 −12x−16 ... ... −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 ... ... 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 然后描点、连线，得到图象如右图. 由图象可知，这个函数具有如下性质： 当 x＜−3 时，函数值 y 随x 的增大而增大； 当 x＞−3 时，函数值 y 随x 的增大而减小； 当 x = −3 时，函数取得最大值，最大值为 2. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知抛物线 y = 2x2 − 12x + 10. (1)当 x 为何值时，y 有最小值？最小值是多少？ (2)当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3)将该抛物线向左平移 3个单位长度，再向上平移 7个单位长度，请直接写出新抛物线的解析式. 解：∵ y = 2x2 − 12x + 10 = 2(x − 3)2 − 8， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，−8)，对称轴为直线x = 3. (1)当 x = 3 时，y 有最小值，最小值为 −8. (2)当 x＜3 时，y 随 x 的增大而减小. (3)新抛物线的解析式为 y = 2x 2 − 1． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知函数 (b，c为常数)的图象经过点 ， ． (1)求b,c的值．(2)当 时，求y的最大值． (1)解：将 ， 代入， 得 ，解得 ； (2)解：由(1)得 ，抛物线开口向下，对称轴为直线 ， 当 时， 时，y取最大值， 将x=−3代入，得 ，∴y的最大值为6. 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 由于当 x＞2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴ 抛物线的对称轴应在直线 x = 2 处或其左侧. 已知二次函数 y =−x2＋4bx＋c，当 x＞2 时，y 的值随 x 值的增大而减小，求实数 b 的取值范围. ∴ 2b≤2，b≤1. 如图所示. 解：∵ 二次项系数−1＜0， ∴ 抛物线开口向下，对称轴为 x y O b 1 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数 y = x2 − 4x − 1． (1) 将函数 y = x2 − 4x − 1 的解析式化为 y = a(x + m)2 + k 的形式，并指出该函数图象的顶点 B 的坐标； 解：y = x2 − 4x − 1 = (x − 2)2 − 5， 该函数图象的顶点 B 的坐标为 (2，−5). 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (2) 在平面直角坐标系 xOy 中，设抛物线 y = x2 − 4x − 1与 y 轴交点为 C，抛物线的对称轴与 x 轴交点为 A，求四边形 OABC 的面积． 解：如图，令 x = 0，则 y = −1， ∴ OC = 1. ∵ B (2，−5)， ∴ OA = 2，AB = 5. ∴ S四边形OABC = 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (1)解：将点 ， 代入， 得 ，解得 ， 二次函数的解析式为 ； 如图，二次函数 的图象经过坐标原点，与x轴交于点 ． (1)求二次函数的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标； (2)解：∵ ， 抛物线的顶点坐标为 ； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 (3)在抛物线上存在点P，满足 ，请直接写出点P的坐标． (3)解： ， ，设点P到x轴的距离为h，则 ， 解得h=4， ①当点P在x轴上方时， ，解得 ，∴点P的坐标为 ； ②当点P在x轴下方时， ，解得 ， ， 点的坐标为 或 ； 综上所述，点的坐标是 或 或 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论： ①abc＞0；②2a−b＜0；③4a−2b＋c>0；④(a＋c)2>b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 解：由图象开口向下可得 a＜0， 由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0， 由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0， 则 abc＞0，故①正确； 由对称轴 x = >−1 可得 2a−b＜0，故②正确； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 则 (a＋b＋c)(a−b＋c)＜0， 即 (a＋c)2−b2＜0，所以 (a＋c)2＜b2， 故④错误．综上所述，①②正确. 故选 B. 由图象上横坐标为−2 的点在第三象限可得 4a−2b＋c＜0，故③错误； 由图象上横坐标为 1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0， 由图象上横坐标为−1 的点在第二象限得 a−b＋c＞0， ③ 4a−2b＋c＜0 ④ (a＋c)2＜b2 二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象中常见的表达式 表达式 a＋b＋c a−b＋c 4a＋2b＋c 4a−2b＋c 9a＋3b＋c 9a−3b＋c 含义 当x=1时得函数值 当x=−1时得函数值 当x=2时得函数值 当x=−2时得函数值 当x=3时得函数值 当x=−3时得函数值 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 顶点坐标 二次函y=ax²+bx+c 的图象和性质 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 ) 一般式 顶点式 对称轴 配方法 公式法 性质 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是(     ) A． B． C． D． 解：由顶点坐标 可设二次函数表达式为， ,将 代入解析式， 得 ，解得 ， ∴该二次函数的表达式是 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 x的值 y的值 … … −2 −22 −1 −7 0 2 1 5 2 2 … … 二次函数 的自变量x与函数y的部分对应值如表： 当x=3时，函数y的值是(     ) A．2 B．5 C．−7 D．−22 解：由表格可知，当x=0时，y=2，当x=2时，y=2， ∴二次函数的对称轴为直线 ， ∵x=3关于直线x=1的对称点为x=−1，由表格得，当x=3时，y=−7． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 将抛物线 的图象向左平移2个单位后，所得抛物线经过点 ， 则a等于(     ) A． B．1 C．3 D．5 解：将抛物线 向左平移2个单位后，所得解析式为 ， 将 代入解析式，得 ，解得 ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 关于抛物线 ，下列说法正确的是(     ) A．开口向上 B．对称轴是直线x=2 C．顶点坐标是 D．x>2时，y随x增大而减小 解：∵二次函数中 ， ，∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为 ，∴对称轴是直线x=1，选项B错误． 将x=1代入抛物线解析式，得 ，∴顶点坐标为(1,3)，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴x>1时，y随x增大而减小， 又∵x>2满足x>1，∴x>2时，y随x增大而减小，选项D正确． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 二次函数 ，若点 ， 是它图象上的两点，则y1______y2．(填<、>、=) 解：将 代入得： ， 将 代入得： ， ∵ ， ∴ ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 若二次函数 的图象顶点在x轴的上方，则实数n的取值范围是 _____． 解：抛物线的对称轴为 ， 将 代入得 ， 所以抛物线的顶点为 ， ， ． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 如图是某个二次函数的图象． (1)求该二次函数关系式；(2)补全函数图象； (1)解：∵抛物线的顶点坐标为 ， ∴设二次函数解析式为 ， ∵抛物线过点 ，代入得： 解得 ， ∴ ； (2)如图所示； 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 (3)若抛物线上点 到y轴的距离不大于2，请根据图象直接写出n的取值范围． (3)解：当 时， ； 当 时， ； ∵抛物线开口向下，顶点坐标 ， 即当 时，n的最大值为4， ∴抛物线上点 到y轴的距离不大于2时，−5≤n≤4． 情境引入 新知探究 典例精析 本课总结 当堂练习 练习 详解 已知二次函数 y＝x2﹣6x + 5． (1)将 y＝x2﹣6x + 5 化成 y＝a(x﹣h)2 + k 的形式； (2)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； (3)当 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小？ (3)∵ 抛物线的开口向上，对称轴是 x＝3， ∴ 当 x≤3 时，y 随 x 的增大而减小． 解：(1)y＝x2﹣6x + 5＝(x﹣3)2﹣4. (2)二次函数的图象的对称轴是 x＝3，顶点坐标是 (3，−4).