奥数培优·第10讲 假设法与置换思想（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第10讲 假设法与置换思想前言 教学目标与重难点 华罗庚说："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 鸡兔同笼问题是中国古代著名的数学趣题，早在1500多年前的《孙子算经》中就有记载。这类问题看似简单，却蕴含着非常重要的数学思想——假设法。学会了假设法，你就能解决生活中许许多多看似复杂的问题。 这一讲，我们就一起来探索鸡兔同笼问题的奥秘，掌握假设法这把神奇的数学钥匙！ 【教学目标】 一、知识与技能 理解鸡兔同笼问题的基本结构和特点；掌握假设法解题的基本步骤和方法； 能运用假设法解决各类鸡兔同笼变型问题 二、过程与方法 经历"假设→比较→调整→验证"的解题过程；培养逆向思维和逻辑推理能力 学会将实际问题转化为鸡兔同笼模型 三、情感态度与价值观 感受中国古代数学的智慧和魅力；体会数学思想方法的广泛应用 培养勇于探索、善于思考的学习品质 【教学重难点】 重点：掌握假设法解鸡兔同笼问题的基本步骤 难点：理解假设与实际的差异原因，掌握调整的方法 【高频易错总提示】 易错点1：假设全是鸡，先求出来的是兔的数量，不是鸡的数量！ 易错点2：脚数差除以单只差，得到的是被替换的那种动物的数量 易错点3："鸡脚比兔脚多"的题型，差是6不是2，因为鸡减2只脚，兔加4只脚，差距缩小6 易错点4：倒扣型题目（如做错扣分），差距是得分+扣分，不是相减 易错点5：变型题目要先找到"鸡"和"兔"分别对应什么，"头"和"脚"分别对应什么 一、知识点总结 1. 什么是鸡兔同笼问题 鸡兔同笼问题是已知鸡和兔的总头数和总脚数，求鸡和兔各有多少只的问题。 基本特征： 有两种不同的事物（鸡和兔） 已知两种事物的总数量（总头数） 已知两种事物的某种属性的总和（总脚数） 求每种事物各有多少 2. 核心方法：假设法 假设法是解鸡兔同笼问题最基本、最重要的方法。 基本思路： 假设：假设全是其中一种事物（如全是鸡） 比较：算出假设情况下的总脚数，与实际总脚数比较，算出差多少 调整：分析差的原因，用另一种事物去替换，算出需要替换多少 验证：把结果代入原题，验证是否正确 3. 三大常考题型 题型 特点 解题关键 基本型 已知总头数和总脚数 假设全是鸡或全是兔，算差求另一种 差量型 已知总头数和脚数差 假设全是多的那种，算差缩小量 变型应用型 不是鸡和兔，是其他事物 找到对应关系：谁是鸡、谁是兔、什么是头、什么是脚 4. 通用解题四步法 鸡兔同笼解题口诀：假→比→调→验 假：假设全是一种，算出总脚数 比：与实际比较，算出差多少 调：用另一种替换，算替换几个 验：代入原题，验证对不对 5. 小技巧集锦 技巧1：假设全是鸡，先求出来的是兔；假设全是兔，先求出来的是鸡 技巧2：脚数差 ÷ 单只差 = 被替换的数量 技巧3：变型题先找对应：A对应鸡（脚少的），B对应兔（脚多的） 技巧4：倒扣型：做错一题不仅不得分，还要扣分，所以差距是"得分+扣分" 技巧5：三种动物的题，先把腿数相同的合并，变成两种动物 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 基本鸡兔同笼】★基础 【题目】 小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解题思路】 这是最基本的鸡兔同笼问题。我们用假设法来解。 假设16只全是鸡，那么应该有多少只脚呢？和实际的44只脚比，是多了还是少了？为什么会有这个差呢？ 【完整解析】 方法一：假设全是鸡 第一步：假设 假设16只全是鸡，那么应该有脚：2×16 = 32（只） 第二步：比较 实际有44只脚，比假设的情况多了：44 - 32 = 12（只） 第三步：调整 为什么会多12只脚呢？因为我们把兔当成了鸡。 每把一只兔当成鸡，就会少算：4 - 2 = 2（只）脚 现在一共少算了12只脚，说明有多少只兔被当成了鸡呢？ 兔的数量：12 ÷ 2 = 6（只） 鸡的数量：16 - 6 = 10（只） 第四步：验证 6只兔有脚：6×4 = 24（只） 10只鸡有脚：10×2 = 20（只） 一共：24 + 20 = 44（只）✓ 正好是44只脚！ 方法二：假设全是兔 假设16只全是兔，那么应该有脚：4×16 = 64（只） 比实际多了：64 - 44 = 20（只） 每把一只鸡当成兔，就会多算2只脚 鸡的数量：20 ÷ 2 = 10（只） 兔的数量：16 - 10 = 6（只） 两种方法结果一样，正确！ 答：有6只兔，10只鸡。 🚀随堂小练1 鸡兔同笼，共有头30个，脚80只。问：鸡和兔各有多少只？ 【💡方法总结】 基本鸡兔同笼解题步骤： 1. 假设全是鸡，算总脚数 2. 与实际比较，算脚数差 3. 脚数差 ÷ 单只差（4-2=2）= 兔的数量 4. 总头数 - 兔的数量 = 鸡的数量 5. 验证：代入原题算总脚数 口诀：假设全是鸡，先算出的是兔；假设全是兔，先算出的是鸡。 【例2 百僧分馍问题】★★提升 【题目】 100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？ 【解题思路】 这道题是鸡兔同笼的变型题。我们可以把大和尚看成"兔"（3个馍=3只脚），小和尚看成"鸡"（1个馍=1只脚），总人数就是总头数，总馍数就是总脚数。 【完整解析】 第一步：找到对应关系 大和尚 → 兔（每人3个馍） 小和尚 → 鸡（每人1个馍） 总人数100 → 总头数 总馍数140 → 总脚数 第二步：假设全是大和尚 假设100人全是大和尚，那么共需馍：3×100 = 300（个） 第三步：比较 比实际多了：300 - 140 = 160（个） 第四步：调整 为什么会多160个馍呢？因为我们把小和尚当成了大和尚。 每把一个小和尚当成大和尚，就会多算：3 - 1 = 2（个）馍 现在一共多算了160个馍，说明有多少个小和尚被当成了大和尚呢？ 小和尚的数量：160 ÷ 2 = 80（人） 大和尚的数量：100 - 80 = 20（人） 第五步：验证 20个大和尚吃馍：20×3 = 60（个） 80个小和尚吃馍：80×1 = 80（个） 一共：60 + 80 = 140（个）✓ 正好是140个馍！ 答：大和尚有20人，小和尚有80人。 🚀随堂小练2 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。问：两种文化用品各买了多少套？ 💡方法总结 鸡兔同笼变型题解题关键： 1. 找对应：谁是"鸡"（脚少的），谁是"兔"（脚多的） 2. 找总量：什么是"总头数"，什么是"总脚数" 3. 用假设：假设全是"鸡"或全是"兔" 4. 算差值：与实际比较，算差多少 5. 求数量：差值 ÷ 单只差 = 另一种的数量 关键：不管题目怎么变，只要是两种事物、两个总量，就可以用鸡兔同笼的假设法来解！ 【例3 鸡脚比兔脚多】★★提升 【题目】 鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？ 【解题思路】 这道题是"差量型"鸡兔同笼问题。不是告诉我们总脚数，而是告诉我们鸡脚比兔脚多多少。 我们还是用假设法，假设全是鸡，看看鸡脚比兔脚多多少，再和实际比较。 注意：虽然实际上不可能全是鸡，但这是我们假设的起点，用来和实际情况作比较。 【完整解析】 第一步：假设全是鸡 假设100只都是鸡，没有兔，那么： 鸡脚有：2×100 = 200（只） 兔脚有：0只 鸡脚比兔脚多：200 - 0 = 200（只） 第二步：比较 实际上鸡脚只比兔脚多20只，假设的情况比实际多了：200 - 20 = 180（只） 第三步：调整 为什么会多180只呢？因为我们把兔当成了鸡。 每把一只兔换成鸡，会发生什么变化呢？ 鸡脚增加：2只（多了一只鸡） 兔脚减少：4只（少了一只兔） 鸡脚比兔脚多的数量变化：2 + 4 = 6（只） 也就是说，每把一只兔换成鸡，鸡脚比兔脚多的数量就会增加6只。 现在一共多了180只，说明有多少只兔被换成了鸡呢？ 兔的数量：180 ÷ 6 = 30（只） 鸡的数量：100 - 30 = 70（只） 第四步：验证 70只鸡有脚：70×2 = 140（只） 30只兔有脚：30×4 = 120（只） 鸡脚比兔脚多：140 - 120 = 20（只）✓ 正好多20只！ 答：有鸡70只，兔30只。 🚀随堂小练3 龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？ 【💡方法总结】 "脚数差"型鸡兔同笼解题关键： 1. 假设全是脚多的那种（鸡） 2. 算出假设情况下的脚数差 3. 与实际比较，算差了多少 4. 每替换一只，脚数差变化是"2+4=6"，不是2！ 5. 总差值 ÷ 6 = 被替换的数量（兔的数量） 易错点：差量型的单只差是6，不是2！因为一边加2，一边减4，差距缩小6。 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 大小卡车运钢材】★★★拔高 【题目】 一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨？ 【解题思路】 这道题也是鸡兔同笼的变型题。我们可以用假设法来解。 假设只用36辆小卡车来装，会怎么样呢？ 【完整解析】 方法：假设法 第一步：假设 假设只用36辆小卡车来装载这批钢材。 因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以36辆大卡车换成36辆小卡车，就会剩下：4×36 = 144（吨） 第二步：分析 要装完这144吨钢材，还需要多少辆小卡车呢？ 原来用小卡车要45辆，现在只用了36辆，还需要：45 - 36 = 9（辆） 第三步：求每辆小卡车装多少 9辆小卡车装144吨，所以每辆小卡车装：144 ÷ 9 = 16（吨） 第四步：求总吨数 每辆小卡车装16吨，45辆小卡车一共装：16×45 = 720（吨） 第五步：验证 每辆大卡车装：16 + 4 = 20（吨） 36辆大卡车一共装：20×36 = 720（吨）✓ 一样多！ 答：这批钢材有720吨。 🚀随堂小练4 有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。已知每只大筐比每只小筐多装20千克，那么这批水果有多少千克？ 💡方法总结 "两种容器装同一种东西"型解题步骤： 1. 假设全是少的那种容器（小卡车/小筐） 2. 算出会剩下多少东西 3. 算出还差多少个容器 4. 剩下的 ÷ 差的容器数 = 每个小容器装多少 5. 小容器容量 × 小容器总数 = 总数量 关键：先求出单个容器的容量，再求总量。 【拓展2 搬运花瓶损坏赔偿】★★★拔高 【题目】 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费0.24元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只花瓶？ 【解题思路】 这道题是"倒扣型"鸡兔同笼问题。 假设500只花瓶一只都没打破，应该得多少运费？和实际得到的运费比，少了多少？为什么会少呢？ 【完整解析】 第一步：假设一只都没打破 假设500只花瓶一只也没有打破，那么应得运费：0.24×500 = 120（元） 第二步：比较 实际上只得到115.5元，实际收入比预期少了：120 - 115.5 = 4.5（元） 第三步：分析 为什么会少得4.5元呢？因为有花瓶打破了。 每打破一只花瓶，会损失多少钱呢？ 不仅得不到0.24元运费 还要赔偿1.26元 一共损失：0.24 + 1.26 = 1.5（元） 注意：是"加"不是"减"！因为不仅少赚了运费，还要倒赔钱。 第四步：求打破了几只 一共少得了4.5元，每打破一只损失1.5元，所以打破了：4.5 ÷ 1.5 = 3（只） 第五步：验证 完好的花瓶：500 - 3 = 497（只） 运费：497×0.24 = 119.28（元） 赔偿：3×1.26 = 3.78（元） 实际得：119.28 - 3.78 = 115.5（元）✓ 正好！ 答：搬运过程中共打破了3只花瓶。 🚀随堂小练5 一次数学竞赛共有20道题，做对一题得5分，做错或不做一题倒扣3分。小明得了60分，问：小明做对了几道题？ 💡方法总结 "倒扣型"鸡兔同笼解题关键： 1. 假设全对/全完好，算总得分/总运费 2. 与实际比较，算少得/损失了多少 3. 每错一道/打破一只，损失是"得分+扣分"，不是相减！ 4. 总损失 ÷ 单个损失 = 错的/打破的数量 易错点：倒扣型的差距是"得分+扣分"，因为不仅不得分，还要倒扣分！ 【拓展3 三种动物问题】★★★★挑战 【题目】 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 【解题思路】 这道题有三种动物，比基本的鸡兔同笼多了一种。怎么办呢？ 我们可以先把腿数相同的蜻蜓和蝉看成一类，这样就变成了"蜘蛛"和"6条腿的虫"两种，先用假设法求出蜘蛛的数量。 然后再用翅膀的条件，用假设法求出蜻蜓和蝉各有多少只。 【完整解析】 第一步：先看腿，把蜻蜓和蝉看成一类 蜻蜓和蝉都是6条腿，我们把它们看成"6条腿的虫"。 这样就变成了：蜘蛛（8条腿）和6条腿的虫，共18只，118条腿。 第二步：用假设法求蜘蛛的数量 假设18只全是6条腿的虫，那么总腿数：6×18 = 108（条） 比实际少了：118 - 108 = 10（条） 每把一只蜘蛛当成6条腿的虫，就少算：8 - 6 = 2（条）腿 蜘蛛的数量：10 ÷ 2 = 5（只） 6条腿的虫（蜻蜓+蝉）：18 - 5 = 13（只） 第三步：再看翅膀，求蜻蜓和蝉 现在知道蜻蜓和蝉共13只，翅膀共20对。 蜻蜓有2对翅膀，蝉有1对翅膀。 假设13只全是蝉，那么翅膀有：1×13 = 13（对） 比实际少了：20 - 13 = 7（对） 每把一只蜻蜓当成蝉，就少算：2 - 1 = 1（对）翅膀 蜻蜓的数量：7 ÷ 1 = 7（只） 蝉的数量：13 - 7 = 6（只） 第四步：验证 蜘蛛5只，蜻蜓7只，蝉6只，共5+7+6=18只 ✓ 腿：5×8 + 7×6 + 6×6 = 40 + 42 + 36 = 118条 ✓ 翅膀：7×2 + 6×1 = 14 + 6 = 20对 ✓ 全部正确！ 答：蜘蛛有5只，蜻蜓有7只，蝉有6只。 🚀随堂小练6 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共16只，共有110条腿和14对翅膀。问：三种动物各有多少只？ （蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀） 💡方法总结 三种动物的鸡兔同笼解题步骤： 1. 先找相同点：把有相同特征的两种合并成一类 2. 第一次假设：用另一个特征（如腿数），求出第三种的数量 3. 第二次假设：在剩下的两种中，用另一个特征（如翅膀），分别求出数量 4. 验证：把三个数量代入原题，检查是否都符合 关键：分两步用假设法，先三种变两种，再两种求各多少。 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 假设全是鸡，求出来的是谁？】★★提升 【题目】 鸡兔同笼，共有头20个，脚56只。小明说："假设全是鸡，那么有40只脚，比实际少16只，所以鸡有16÷2=8只。"小明说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，假设全是鸡，少了16只脚，所以鸡有8只。" 错在哪里？ 搞反了！ 假设全是鸡，算出来少了16只脚，是因为把兔当成了鸡。 每把一只兔当成鸡，就少算2只脚。 所以少了16只脚，说明有16÷2=8只兔被当成了鸡。 求出来的8只是兔的数量，不是鸡的数量！ 正确解法 假设全是鸡，脚有：2×20 = 40（只） 比实际少：56 - 40 = 16（只） 每只兔比鸡多：4 - 2 = 2（只）脚 兔的数量：16 ÷ 2 = 8（只） 鸡的数量：20 - 8 = 12（只） 验证：12只鸡24只脚，8只兔32只脚，共56只脚 ✓ 正确答案：不对，求出来的是兔的数量，兔有8只，鸡有12只。 【避坑提醒】假设全是鸡，先求出来的是兔！假设全是兔，先求出来的是鸡！ 口诀：设鸡得兔，设兔得鸡。 【易错题2 差量型单只差是多少？】★★提升 【题目】 鸡兔共50只，鸡脚比兔脚多40只。小红说："假设全是鸡，鸡脚比兔脚多100只，比实际多60只，所以兔有60÷2=30只。"小红说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，多了60只，每只差2只，所以30只兔。" 错在哪里？ 单只差不是2，是6！ 每把一只兔换成鸡，发生了什么变化？ 鸡脚增加2只（多了一只鸡） 兔脚减少4只（少了一只兔） 鸡脚比兔脚多的数量变化：2 + 4 = 6（只） 也就是说，每替换一只，差距缩小6只，不是2只！ 正确解法 假设全是鸡，鸡脚有：2×50 = 100（只） 鸡脚比兔脚多：100 - 0 = 100（只） 比实际多了：100 - 40 = 60（只） 每替换一只，差距缩小：2 + 4 = 6（只） 兔的数量：60 ÷ 6 = 10（只） 鸡的数量：50 - 10 = 40（只） 验证：40只鸡80只脚，10只兔40只脚，鸡脚比兔脚多40只 ✓ 正确答案：不对，单只差是6只，兔有10只，鸡有40只。 【避坑提醒】"脚数差"型的题目，单只差是6，不是2！ 因为一边加2，一边减4，差距缩小6。 【易错题3 倒扣型差距是加还是减？】★★提升 【题目】 一次数学竞赛10道题，做对一题得10分，做错一题倒扣5分。小华得了70分。小刚说："假设全对得100分，少得30分，每道题差10-5=5分，所以做错了30÷5=6道。"小刚说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，10减5等于5，30除以5等于6道。" 错在哪里？ 差距是加，不是减！ 做对一题得10分，做错一题倒扣5分。 做对和做错相差多少分？ 不是10-5=5分，而是10+5=15分！ 因为做错了不仅不得10分，还要倒扣5分，里外里差了15分。 正确解法 假设全做对，得分：10×10 = 100（分） 比实际多了：100 - 70 = 30（分） 每做错一题，少得：10 + 5 = 15（分） 做错的题数：30 ÷ 15 = 2（道） 做对的题数：10 - 2 = 8（道） 验证：8道对得80分，2道错扣10分，共得70分 ✓ 正确答案：不对，差距是15分，做错了2道，做对了8道。 【避坑提醒】倒扣型题目，差距是"得分+扣分"，不是相减！ 因为不仅不得分，还要倒扣分，里外里差了两份。 五、趣味挑战题 【挑战题 鸡兔同笼的历史故事】★★★★挑战 同学们，你们知道吗？鸡兔同笼问题可是有1500多年历史的古老数学题哦！ 早在南北朝时期，我国古代数学家就在《孙子算经》里记载了这个问题： "今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？" 意思就是：现在有鸡和兔在一个笼子里，上面有35个头，下面有94只脚，问鸡和兔各有多少只？ 🌟 挑战一： 用我们学过的假设法，算一算这道古老的数学题，看看鸡和兔各有多少只？ 🌟 挑战二： 古代还有一种有趣的解法叫"抬腿法"： 让所有的鸡和兔都抬起一半的脚，也就是鸡抬1只脚，兔抬2只脚。 这时候地上还有多少只脚？ 这时候每只鸡1只脚，每只兔2只脚，头有35个，脚有多少只？ 脚比头多出来的数量就是谁的数量？为什么？ 用"抬腿法"算一算，看看结果和假设法一样吗？ 🌟 挑战三： 你还能想出其他有趣的解法吗？比如"让所有兔子都站起来"、"给每只鸡安上2只假脚"…… 和你的爸爸妈妈比一比，看谁的解法更有趣！ 🤔 思考题： 生活中还有哪些问题可以用鸡兔同笼的方法来解决？比如买东西、租船、种树…… 参考答案： 挑战一：鸡23只，兔12只（假设法：假设全是鸡，70只脚，少24只，兔24÷2=12只，鸡35-12=23只） 挑战二：抬腿后还有47只脚，脚比头多47-35=12只，多出来的就是兔的数量，兔12只，鸡23只，和假设法结果一样！ 挑战三：答案不唯一，合理就行！ 六、一题多解精选 【经典题 基本鸡兔同笼】★★提升 【题目】 鸡兔同笼，共有头35个，脚94只。问：鸡和兔各有多少只？ 解法一：假设法（推荐） 思路：假设全是鸡，算出脚数差，再调整。 步骤： 1. 假设全是鸡，脚有：2×35 = 70（只） 2. 比实际少：94 - 70 = 24（只） 3. 每只兔比鸡多2只脚 4. 兔的数量：24 ÷ 2 = 12（只） 5. 鸡的数量：35 - 12 = 23（只） 答案：鸡23只，兔12只。 优点：最常用，最容易理解，适合所有鸡兔同笼问题。 解法二：抬腿法（古代解法） 思路：让所有动物都抬起一半的脚。 步骤： 1. 让所有鸡和兔都抬起一半的脚 2. 地上还有脚：94 ÷ 2 = 47（只） 3. 这时候每只鸡1只脚，每只兔2只脚 4. 头有35个，说明如果都是鸡，应该有35只脚 5. 多出来的脚：47 - 35 = 12（只） 6. 多出来的就是兔的数量，因为每只兔多1只脚 7. 兔有12只，鸡有35-12=23只 答案：鸡23只，兔12只。 优点：有趣，形象，容易记住。 缺点：只适合基本型，变型题不好用。 解法三：方程法 思路：设未知数，列方程求解。 步骤： 设兔有x只，那么鸡有(35-x)只。 兔脚有4x只，鸡脚有2(35-x)只。 列方程：4x + 2(35-x) = 94 解方程： 4x + 70 - 2x = 94 2x + 70 = 94 2x = 24 x = 12 兔有12只，鸡有35-12=23只。 答案：鸡23只，兔12只。 优点：逻辑严谨，不容易错。 缺点：需要学过方程，小学低年级不适用。 【方法对比】 假设法：最常用，最通用，推荐使用 抬腿法：有趣，好记，但只适合基本型 方程法：严谨，不容易错，但需要学过方程 小学阶段推荐用假设法，既好理解又通用！ 七、基本练习 （共5题，建议用时：25分钟） 第1题 ★基础 鸡、兔共有头100个，脚350只。问：鸡、兔各有多少只？ 第2题 ★★提升 学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？ 第3题 ★★提升 班级购买活页簿与日记本合计32本，花钱74元。活页簿每本1.9元，日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本？ 第4题 ★★提升 龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？ 第5题 ★★提升 小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？ 八、拓展练习 （共5题，建议用时：30分钟） 第1题 ★★★拔高 一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？ 第2题 ★★★拔高 振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？ 第3题 ★★★拔高 一批货物，用大卡车20辆可运完，用小卡车30辆可运完，每辆大卡车比小卡车多运3吨，求货物总重？ 第4题 ★★★★挑战 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共21只，有138条腿和24对翅膀。问：每种小虫各有几只？ 第5题 ★★★★挑战 鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。问：鸡、兔各几只？ 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 答案：鸡20只，兔10只 解析： 假设全是鸡，脚有：2×30 = 60（只） 比实际少：80 - 60 = 20（只） 每只兔比鸡多2只脚 兔的数量：20 ÷ 2 = 10（只） 鸡的数量：30 - 10 = 20（只） 验证：20只鸡40只脚，10只兔40只脚，共80只脚 ✓ 答：鸡有20只，兔有10只。 随堂小练2 答案 答案：普通文化用品3套，彩色文化用品13套 解析： 假设全是彩色文化用品，共需：19×16 = 304（元） 比实际多：304 - 280 = 24（元） 每套普通比彩色便宜：19 - 11 = 8（元） 普通文化用品：24 ÷ 8 = 3（套） 彩色文化用品：16 - 3 = 13（套） 验证：3×11 + 13×19 = 33 + 247 = 280元 ✓ 答：普通文化用品3套，彩色文化用品13套。 随堂小练3 答案 答案：龟30只，鹤70只 解析： 假设全是鹤，鹤腿有：2×100 = 200（只） 鹤腿比龟腿多：200 - 0 = 200（只） 比实际多了：200 - 20 = 180（只） 每把一只鹤换成龟，差距缩小：2 + 4 = 6（只） 龟的数量：180 ÷ 6 = 30（只） 鹤的数量：100 - 30 = 70（只） 验证：70只鹤140条腿，30只龟120条腿，鹤腿比龟腿多20只 ✓ 答：龟有30只，鹤有70只。 随堂小练4 答案 答案：4800千克 解析： 假设只用80只小筐来装。 每只大筐比小筐多装20千克，80只大筐换成80只小筐，会剩下：20×80 = 1600（千克） 装完这1600千克还需要小筐：120 - 80 = 40（只） 每只小筐装：1600 ÷ 40 = 40（千克） 这批水果共：40×120 = 4800（千克） 验证：每只大筐装40+20=60千克，80×60=4800千克 ✓ 答：这批水果有4800千克。 随堂小练5 答案 答案：做对了15道 解析： 假设全做对，得分：5×20 = 100（分） 比实际多了：100 - 60 = 40（分） 每做错一题，少得：5 + 3 = 8（分） 做错的题数：40 ÷ 8 = 5（道） 做对的题数：20 - 5 = 15（道） 验证：15道对得75分，5道错扣15分，共得60分 ✓ 答：小明做对了15道题。 随堂小练6 答案 答案：蜘蛛7只，蜻蜓5只，蝉4只 解析： 第一步：先看腿 假设16只全是6条腿的（蜻蜓+蝉），腿有：6×16 = 96（条） 比实际少：110 - 96 = 14（条） 每只蜘蛛多2条腿 蜘蛛的数量：14 ÷ 2 = 7（只） 6条腿的虫：16 - 7 = 9（只） 第二步：再看翅膀 假设9只全是蝉，翅膀有：1×9 = 9（对） 比实际少：14 - 9 = 5（对） 每只蜻蜓多1对翅膀 蜻蜓的数量：5 ÷ 1 = 5（只） 蝉的数量：9 - 5 = 4（只） 验证：7+5+4=16只，7×8+5×6+4×6=56+30+24=110条腿，5×2+4×1=14对翅膀 ✓ 答：蜘蛛有7只，蜻蜓有5只，蝉有4只。 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：鸡25只，兔75只 解析： 假设全是鸡，脚有：2×100 = 200（只） 比实际少：350 - 200 = 150（只） 每只兔比鸡多2只脚 兔的数量：150 ÷ 2 = 75（只） 鸡的数量：100 - 75 = 25（只） 验证：25只鸡50只脚，75只兔300只脚，共350只脚 ✓ 答：鸡有25只，兔有75只。 第2题 答案：象棋9副，跳棋17副 解析： 假设全是象棋，可供：2×26 = 52（人） 比实际少：120 - 52 = 68（人） 每副跳棋比象棋多：6 - 2 = 4（人） 跳棋的数量：68 ÷ 4 = 17（副） 象棋的数量：26 - 17 = 9（副） 验证：9×2 + 17×6 = 18 + 102 = 120人 ✓ 答：象棋有9副，跳棋有17副。 第3题 答案：活页簿21本，日记本11本 解析： 假设全是活页簿，共需：1.9×32 = 60.8（元） 实际花了74元，实际比假设多花了：74 - 60.8 = 13.2（元） 每买一本日记本（而不是活页簿），就会多花：3.1 - 1.9 = 1.2（元） 所以多花的13.2元对应日记本的数量：13.2 ÷ 1.2 = 11（本） 活页簿的数量：32 - 11 = 21（本） 验证：21×1.9 + 11×3.1 = 39.9 + 34.1 = 74元 ✓ 答：活页簿21本，日记本11本。 第4题 答案：龟30只，鹤70只 解析： 假设全是鹤，鹤腿有：2×100 = 200（只） 鹤腿比龟腿多：200 - 0 = 200（只） 比实际多了：200 - 20 = 180（只） 每把一只鹤换成龟，差距缩小：2 + 4 = 6（只） 龟的数量：180 ÷ 6 = 30（只） 鹤的数量：100 - 30 = 70（只） 验证：70只鹤140条腿，30只龟120条腿，鹤腿比龟腿多20只 ✓ 答：龟有30只，鹤有70只。 第5题 答案：贺年卡5张，明信片9张 解析： 3元5角=3.5元，2元5角=2.5元 假设全是明信片，共需：2.5×14 = 35（元） 比实际少：40 - 35 = 5（元） 每张贺年卡比明信片贵：3.5 - 2.5 = 1（元） 贺年卡的数量：5 ÷ 1 = 5（张） 明信片的数量：14 - 5 = 9（张） 验证：5×3.5 + 9×2.5 = 17.5 + 22.5 = 40元 ✓ 答：贺年卡5张，明信片9张。 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：6个雨天 解析： 先算一共植树几天：112 ÷ 14 = 8（天） 假设全是晴天，可植树：20×8 = 160（棵） 比实际多：160 - 112 = 48（棵） 每个雨天比晴天少植：20 - 12 = 8（棵） 雨天的数量：48 ÷ 8 = 6（个） 验证：2个晴天40棵，6个雨天72棵，共112棵，平均每天14棵 ✓ 答：这几天中共有6个雨天。 第2题 答案：做对了15道 解析： 假设全做对，得分：5×20 = 100（分） 比实际多了：100 - 60 = 40（分） 每做错一题，少得：5 + 3 = 8（分） 做错的题数：40 ÷ 8 = 5（道） 做对的题数：20 - 5 = 15（道） 验证：15道对得75分，5道错扣15分，共得60分 ✓ 答：他做对了15道题。 第3题 答案：180吨 解析： 第一步：假设 假设只用20辆小卡车来装这批货物。 因为每辆大卡车比小卡车多运3吨，所以把20辆大卡车换成20辆小卡车后，总共会少装： 3 × 20 = 60（吨） 也就是说，如果只用20辆小卡车，还剩下60吨货物没装完。 第二步：分析还差多少辆小卡车 原来用小卡车要30辆，现在只用了20辆，还差： 30 － 20 = 10（辆） 这10辆小卡车就是要用来装剩下的60吨货物。 第三步：求每辆小卡车的载重量 每辆小卡车装： 60 ÷ 10 = 6（吨） 第四步：求这批货物的总重量 用小卡车装需要30辆，每辆装6吨，所以总重量： 6 × 30 = 180（吨） 第五步：验证 每辆大卡车比小卡车多运3吨，所以大卡车每辆装： 6 + 3 = 9（吨） 用20辆大卡车装： 9 × 20 = 180（吨） 两种运输方式的总重量相同，都是180吨，验证正确。 答：这批货物共有180吨。 第4题 答案：蜘蛛6只，蜻蜓9只，蝉6只 解析： 第一步：先看腿 假设21只全是6条腿的（蜻蜓+蝉），腿有：6×21 = 126（条） 比实际少：138 - 126 = 12（条） 每只蜘蛛多2条腿 蜘蛛的数量：12 ÷ 2 = 6（只） 6条腿的虫：21 - 6 = 15（只） 第二步：再看翅膀 假设15只全是蝉，翅膀有：1×15 = 15（对） 比实际少：24 - 15 = 9（对） 每只蜻蜓多1对翅膀 蜻蜓的数量：9 ÷ 1 =9（只） 蝉的数量：15 - 9 = 6（只） 验证：6+9+6=21只，6×8+9×6+6×6=48+54+36=138条腿，18+6=24对翅膀 ✓ 答：蜘蛛有6只，蜻蜓有9只，蝉有6只。 第5题 答案：鸡14只，兔18只 解析： 方法：先求总只数，再用假设法 第一步：求总只数 原来100只脚，互换后92只脚，把原来的脚数和互换后的脚数加起来一共：100 + 92 = 192（只）脚 互换前后，每只鸡先算 2 只脚、互换后算 4 只脚；每只兔先算 4 只脚、互换后算 2 只，每只动物合计统计 6 只脚，总脚和 ÷6 = 总头数。 所以每只动物一共算了：2 + 4 = 6（只）脚 总只数：192 ÷ 6 = 32（只） 第二步：用假设法求各多少只 假设全是鸡，脚有：2×32 = 64（只） 比实际少：100 - 64 = 36（只） 每只兔比鸡多2只脚 兔的数量：36 ÷ 2 = 18（只） 鸡的数量：32 - 18 = 14（只） 验证：14只鸡28只脚，18只兔72只脚，共100只脚 ✓ 互换后：18只鸡36只脚，14只兔56只脚，共92只脚 ✓ 答：鸡有14只，兔有18只。 十二、本讲总结（思维导图速记） 📊 （一）知识地图 📋 （二）核心公式速查表 题型 公式 说明 基本型 兔数 = (总脚数 - 2×总头数) ÷ (4-2) 假设全是鸡，先求兔 基本型 鸡数 = (4×总头数 - 总脚数) ÷ (4-2) 假设全是兔，先求鸡 差量型 兔数 = (2×总头数 - 脚数差) ÷ (2+4) 鸡脚比兔脚多，假设全是鸡 鸡数 = (4×总头数 - 脚数差) ÷ (2+4) 兔脚比鸡脚多 倒扣型 错题数 = (满分 - 实际得分) ÷ (得分+扣分) 做错倒扣，差距是加 变型题 先找对应：A→鸡，B→兔 再用基本型公式 ⚠️ （三）避坑清单 1. 设鸡得鸡？错！ 假设全是鸡，先求出来的是兔，不是鸡！ 口诀：设鸡得兔，设兔得鸡。 2. 差量型单只差是2？错！ 差量型题目（无论谁多），单只差是6，不是2！ 因为鸡减2只脚，兔加4只脚，差距缩小6。 3. 倒扣型差距是减？错！ 倒扣型的差距是"得分+扣分"，不是相减！ 因为不仅不得分，还要倒扣分，里外里差两份。 4. 变型题找不到对应？ 先找"两种事物"、"两个总量"，就一定能用鸡兔同笼！ 脚少的对应鸡，脚多的对应兔。 5. 三种动物不会做？ 先把有相同特征的合并，变成两种，分两步用假设法！ 🎯 四、解题小口诀 【鸡兔同笼口诀歌】 鸡兔同笼不用怕， 假设方法是专家。 假设全是鸡和鸭， 算出脚数差多少。 差的除以单只差， 就是兔子的数量。 总头减去兔子数， 就是鸡的数量啦。 最后别忘来验证， 保证正确笑哈哈！ 【变型题口诀】 变型题目不用慌， 找到对应是关键。 谁是鸡来谁是兔， 什么是头什么脚。 找对对应就好办， 假设方法照样用。 倒扣题目要注意， 差距是加不是减。 三种动物分两步， 先合后分巧计算。 —— 本讲结束，加油！你已经掌握了假设法这把神奇的数学钥匙 —— 学科网（北京）股份有限公司 $