奥数培优·第7讲 分类计数与不重不漏专项 讲义-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第7讲 加法原理——分类计数与不重不漏专项讲义前言 教学目标 华罗庚说："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。"在数学的王国里，计数问题是一颗璀璨的明珠。它不仅有趣，而且非常有用！ 你有没有遇到过这样的问题： 从家到学校有好几条路，一共有多少种不同的走法？ 用几种颜色给地图染色，相邻区域不同色，一共有多少种染法？ 掷骰子，两次点数之和为偶数，有多少种可能？ 这些问题看起来很难，但是只要我们掌握了加法原理，就能轻松解决！ 今天，我们就来学习一个神奇的计数方法——分类计数法。学会了它，再复杂的计数问题，你也能有条有理地算清楚！ 准备好了吗？让我们一起探索计数的奥秘吧！ 知识与技能 理解加法原理的定义和适用条件;掌握加法原理与乘法原理的区别；能运用加法原理解决简单的分类计数问题;能运用加法原理与乘法原理综合解决复杂计数问题;掌握"分类不重不漏"的核心原则。 过程与方法 通过观察、比较、归纳，发现加法原理的规律;经历“分类——计数——求和”的学习过程;培养分类讨论的思维习惯;体会“化繁为简、分类处理”的数学思想。 情感态度与价值观 感受数学规律的神奇，激发数学学习兴趣;培养有条理、不重复、不遗漏的思维习惯;体会数学在生活中的应用价值;增强用数学方法解决问题的信心。 教学重难点 重点： 加法原理的定义和适用条件；加法原理与乘法原理的区别 分类计数的方法（不重不漏）；通用解题步骤（分→数→加→验） 难点： 如何正确分类，做到不重复、不遗漏；加法原理与乘法原理的综合运用 复杂问题中的分类标准选择；染色问题、路径问题等综合题型 【高频易错总提示】 1. 分类重复：同一情况被分到了两类中，导致计数重复 2. 分类遗漏：某些情况没有考虑到，导致计数偏少 3. 加法乘法混淆：该用加法时用了乘法，该用乘法时用了加法 4. 分类标准不统一：一会儿按A分类，一会儿按B分类，容易混乱 记住：分类完成一件事用加法，分步完成一件事用乘法！ 一、知识点总结 （一）加法原理的定义 加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m₁种不同方法，在第二类方法中有m₂种不同方法……在第n类方法中有mₙ种不同方法，那么完成这件任务共有： N = m₁ + m₂ + … + mₙ 种不同的方法。 关键：每一类方法都能独立完成这件事，各类方法之间是并列关系。 （二）加法原理 vs 乘法原理 对比项目 加法原理 乘法原理 完成方式 分类完成，每类都能独立完成 分步完成，每步缺一不可 计算方法 各类方法数相加 各步方法数相乘 关键词 或者、要么…要么… 先…再…、然后 举例 从北京到上海，可以坐飞机或火车 从北京到上海再到广州，先飞再坐火车 （三）三大常考题型 题型 特点 解题关键 基础分类型 直接按类别计数，每类独立 找对分类标准，不重不漏 分类+分步法 先分类，每类内部再分步 先大分类，再小分步 复杂讨论型 需要分多种情况讨论 选好分类标准，有序讨论 （四）通用解题四步法（速记：分→数→加→验） 1. 分：分析问题，确定分类标准，把问题分成几类 2. 数：分别计算每一类有多少种方法 3. 加：把各类的方法数加起来 4. 验：检查有没有重复或遗漏，验证答案是否合理 小技巧：分类时要选好标准，保证每一种情况都属于且只属于一类。可以画个表格或树状图来帮助思考。 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 基础分类计数】★基础 【题目】 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？ 【解题思路】 这道题是典型的加法原理应用。从甲地到乙地有三类方法：乘火车、乘汽车、乘轮船。每一类方法都能独立完成从甲地到乙地这件事，所以用加法原理，把三类方法数加起来。 【完整解析】 第一步：分类 从甲地到乙地，有三类交通工具可以选择： 第一类：乘火车 第二类：乘汽车 第三类：乘轮船 第二步：数每类的方法数 乘火车：有4班，共4种走法 乘汽车：有3班，共3种走法 乘轮船：有2班，共2种走法 第三步：相加 根据加法原理，总共有： 4 + 3 + 2 = 9（种） 第四步：验证 每一种交通工具都能独立完成从甲地到乙地，没有重复，也没有遗漏。9种走法是合理的。 答：共有9种不同走法。 随堂小练1 南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？ 方法总结 基础分类计数问题，记住"分→数→加→验"四步： 1. 分：把完成一件事的方法分成几类 2. 数：分别数出每一类有多少种方法 3. 加：把各类方法数加起来 4. 验：检查有没有重复或遗漏 关键：每一类都能独立完成这件事！ 【例2 信号旗分类计数】★★提升 【题目】 旗杆上最多可以挂两面信号旗，现有红色、蓝色和黄色的信号旗各一面，如果用挂信号旗表示信号，最多能表示出多少种不同的信号？ 【解题思路】 这道题需要分类讨论。根据挂信号旗的面数，可以分为两类：只挂一面信号旗、挂两面信号旗。分别算出每类有多少种，再相加。注意：挂两面时，顺序不同表示不同的信号（比如红黄和黄红是不同的）。 【完整解析】 第一步：分类 根据挂信号旗的面数，分为两类： 第一类：只挂一面信号旗 第二类：挂两面信号旗 第二步：数每类的方法数 第一类：只挂一面 有红、黄、蓝三种颜色，所以有3种不同的信号：红、黄、蓝。 第二类：挂两面 挂两面时，顺序不同表示不同的信号。我们可以分步考虑： 第一步：选第一面旗，有3种选择 第二步：选第二面旗，剩下2种选择 根据乘法原理，共有：3 × 2 = 6（种） 分别是：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄 第三步：相加 根据加法原理，总共有： 3 + 6 = 9（种） 第四步：验证 我们可以一一列举出来，确认没有重复和遗漏： 一面旗：红、黄、蓝（3种） 两面旗：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄（6种） 一共9种，正确！ 答：最多能表示出9种不同的信号。 随堂小练2 有1、2、3、4四张数字卡片，每次取两张组成两位数，一共可以组成多少个不同的两位数？ 方法总结 分类+分步综合问题，解题步骤： 1. 先大分类：按某个标准把问题分成几大类 2. 再小分步：每一类内部，如果需要分步完成，用乘法原理 3. 最后相加：把各类的结果加起来 口诀：大类用加法，小步用乘法！ 【例3 骰子和为偶数】★★提升 【题目】 两次掷一枚骰子，两次出现的数字之和为偶数的情况有多少种？ 【解题思路】 两次数字之和为偶数，可以分为两类：两次都是奇数，或者两次都是偶数。分别算出每类有多少种，再相加。每一类内部用乘法原理。 【完整解析】 第一步：分类 两次数字之和为偶数，有两种情况： 第一类：两次都是奇数 第二类：两次都是偶数 （因为：奇+奇=偶，偶+偶=偶，奇+偶=奇） 第二步：数每类的方法数 第一类：两次都是奇数 骰子上的奇数有：1、3、5，共3个 第一次掷出奇数：有3种可能 第二次掷出奇数：有3种可能 根据乘法原理，共有：3 × 3 = 9（种） 第二类：两次都是偶数 骰子上的偶数有：2、4、6，共3个 第一次掷出偶数：有3种可能 第二次掷出偶数：有3种可能 根据乘法原理，共有：3 × 3 = 9（种） 第三步：相加 根据加法原理，总共有： 9 + 9 = 18（种） 第四步：验证 我们可以用另一种方法验证： 两次掷骰子，总共有6 × 6 = 36种情况 和为偶数的情况有18种，和为奇数的情况也应该有18种 18 + 18 = 36，正好是总数，说明我们算对了！ 答：两次出现的数字之和为偶数的情况有18种。 随堂小练3 在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？ 方法总结 奇偶性分类计数问题，解题关键： 1. 分析奇偶性：先弄清楚什么情况下结果是奇数/偶数 2. 按奇偶分类：按数字的奇偶性进行分类 3. 分别计数：每类内部用乘法原理计数 4. 相加求和：用加法原理把各类加起来 记住：奇+奇=偶，偶+偶=偶，奇+偶=奇！ 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 【拓展1 染色问题分类讨论】★★★拔高 【题目】 用五种颜色给下图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ （五个区域：A、B、C、D、E，其中A与B、C、D相邻，B与A、C、E相邻，C与A、B、D、E相邻，D与A、C、E相邻，E与B、C、D相邻） A B C D E 【解题思路】 这道题需要分类讨论。因为区域A和区域E不相邻，所以它们的颜色可以相同，也可以不同。我们按"A和E颜色相同"和"A和E颜色不同"分成两类，分别计算，再相加。 【完整解析】 第一步：分类 按区域A和区域E的颜色关系，分为两类： 第一类：A与E颜色相同 第二类：A与E颜色不同 第二步：数每类的方法数 第一类：A与E颜色相同 我们按顺序染色：A → B → C → D A：有5种颜色可选 B：与A不同色，有4种颜色可选 C：与A、B都不同色，有3种颜色可选 D：与A、C都不同色，有3种颜色可选（因为E和A同色，D只要不和A、C同色就行） 根据乘法原理，共有： 5 × 4 × 3 × 3 = 180（种） 第二类：A与E颜色不同 我们按顺序染色：A → E → B → C → D A：有5种颜色可选 E：与A不同色，有4种颜色可选 B：与A、E都不同色，有3种颜色可选 C：与A、B、E都不同色，有2种颜色可选 D：与A、C、E都不同色，有2种颜色可选 根据乘法原理，共有： 5 × 4 × 3 × 2 × 2 = 240（种） 第三步：相加 根据加法原理，总共有： 180 + 240 = 420（种） 第四步：验证 我们可以检查一下分类是否完整：A和E要么同色，要么不同色，没有第三种情况，所以分类是完整的，没有遗漏。 答：共有420种不同的染色方法。 随堂小练4 用四种颜色给四个区域A、B、C、D染色，相邻区域不同色。其中A与B、C相邻，B与A、C、D相邻，C与A、B、D相邻，D与B、C相邻。问：共有多少种不同的染色方法？ 方法总结 染色问题分类讨论，解题步骤： 1. 找分类点：找到有特殊关系的两个区域（如不相邻的两个区域） 2. 分两大类：按这两个区域颜色相同/不同分成两大类 3. 每类分步算：每一类内部，按顺序染色，用乘法原理 4. 最后相加：把两类的结果加起来 关键：选好分类标准，确保分类不重不漏！ 【拓展2 连续数字分类计数】★★★拔高 【题目】 用1，2，3，4这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是1的五位数有多少个？ 【解题思路】 "至少有连续三位是1"可以分为三类：连续五位是1、恰有连续四位是1、恰有连续三位是1。分别算出每类有多少个，再相加。注意：分类时要做到不重复、不遗漏。 【完整解析】 第一步：分类 "至少有连续三位是1"，按连续1的位数，分为三类： 第一类：连续五位都是1 第二类：恰有连续四位是1 第三类：恰有连续三位是1 第二步：数每类的方法数 第一类：连续五位都是1 只有11111这1个。 第二类：恰有连续四位是1 连续四位是1，有两种情况： 前四位是1，第五位不是1：第五位可以是2、3、4，共3种 后四位是1，第一位不是1：第一位可以是2、3、4，共3种 共：3 + 3 = 6（个） 第三类：恰有连续三位是1 恰有连续三位是1，有三种情况： 第1、2、3位是1，第4位不是1，第5位任意：第4位有3种（2、3、4），第5位有4种，共3×4=12个 第2、3、4位是1，第1位不是1，第5位不是1：第1位有3种，第5位有3种，共3×3=9个 第3、4、5位是1，第2位不是1，第1位任意：第2位有3种，第1位有4种，共4×3=12个 共：12 + 9 + 12 = 33（个） 第三步：相加 根据加法原理，总共有： 1 + 6 + 33 = 40（个） 第四步：验证 我们可以检查一下分类是否有重复： 连续五位是1：不会出现在其他类中 恰有连续四位是1：不会出现连续五位，也不会只有三位 恰有连续三位是1：不会出现四位或五位 三类之间没有重叠，分类正确！ 答：至少有连续三位是1的五位数有40个。 随堂小练5 用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？ 方法总结 "至少"型分类计数问题，解题步骤： 1. 按程度分类：按"最多"或"最少"的程度，从高到低分成几类 2. 分别计数：每一类分别计算，注意边界条件 3. 检查重复：确保各类之间没有重叠 4. 相加求和：把各类的结果加起来 口诀：至少问题分类算，从高到低不重复！ 【拓展3 路径问题分类讨论】★★★拔高 【题目】 下图中每个小方格的边长都是1。一只小虫从直线AB上的O点出发，沿着横线与竖线爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O点）。如果小虫爬行的总长是3，那么小虫有多少条不同的爬行路线？ 【解题思路】 这道题需要分类讨论。小虫爬行的第一步有四种情况：向左、向右、向上、向下。我们可以按第一步的方向分类，分别算出每类有多少条路线，再相加。 【完整解析】 第一步：分类 按小虫第一步的方向，分为四类： 第一类：第一步向左 第二类：第一步向右 第三类：第一步向上 第四类：第一步向下 第二步：数每类的方法数 先看一个规律： 如果小虫在AB上，爬2步后回到AB上，有6条路线 如果小虫在与AB相邻的直线上，爬2步后回到AB上，有4条路线 第一类：第一步向左 第一步向左后，小虫还在AB上（因为左右移动不改变上下位置）。 还剩2步，要回到AB上，有6条路线。 第二类：第一步向右 和向左一样，第一步向右后，小虫还在AB上。 还剩2步，要回到AB上，有6条路线。 第三类：第一步向上 第一步向上后，小虫在与AB相邻的直线上（往上一格）。 还剩2步，要回到AB上，有4条路线。 第四类：第一步向下 和向上一样，第一步向下后，小虫在与AB相邻的直线上（往下一格）。 还剩2步，要回到AB上，有4条路线。 第三步：相加 根据加法原理，总共有： 6 + 6 + 4 + 4 = 20（条） 第四步：验证 我们可以用另一种方法验证： 小虫爬3步，每步有4种选择（上下左右），总共有4×4×4=64条路线。 最后停在AB上的路线有20条，这个数量是合理的。 答：小虫有20条不同的爬行路线。 随堂小练6 一只小虫从O点出发，沿格线爬行，每次爬1格，可以上下左右爬。如果它爬行的总长度是2，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？ 方法总结 路径问题分类讨论，解题步骤： 1. 按第一步分类：按第一步的方向或位置分成几大类 2. 找规律：先找出简单情况的规律（如2步的情况） 3. 分别计算：每一类分别计算路线数 4. 相加求和：把各类的结果加起来 关键：第一步分类后，后面的步骤就有规律可循了！ 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 分类重复】★★提升 【题目】 在 1~10 的自然数里，是 2 的倍数或是 3 的倍数的数一共有多少个？ 常见错误 有同学这样算： 2的倍数有：2、4、6、8、10，共5个 3的倍数有：3、6、9，共3个 5 + 3 = 8（种） "答案：8种" 错在哪里？ 分类重复了！ 6既是2的倍数，也是3的倍数，它被算了两次！ 直接相加会导致重复计数。 正确解法 方法：先加再减（容斥原理） 2的倍数：5个 3的倍数：3个 既是2的倍数又是3的倍数（即6的倍数）：6，共1个 所以总共有：5 + 3 - 1 = 7（种） 分别是：2、3、4、6、8、9、10，共7个，正确！ 记住：如果两类有重叠，不能直接相加，要减去重复的部分！ 【易错题2 分类遗漏】★★提升 【题目】 用1、2、3三个数字可以组成多少个不同的三位数？（数字不能重复） 常见错误 有同学这样算： "百位有3种，十位有3种，个位有3种，3×3×3=27个" 错在哪里？ 遗漏了"数字不能重复"这个条件！ 数字不能重复的话，选了百位的数字，十位就不能再选了。 正确解法 百位：有3种选择（1、2、3） 十位：剩下2个数字，有2种选择 个位：剩下1个数字，有1种选择 共：3 × 2 × 1 = 6（个） 分别是：123、132、213、231、312、321，共6个，正确！ 记住：做题时一定要仔细看题目条件，"可以重复"和"不能重复"差别很大！ 【易错题3 加法乘法混淆】★★提升 【题目】 从北京到上海有3条路，从上海到广州有2条路。从北京经过上海到广州，一共有多少种不同的走法？ 常见错误 有同学这样算： "3 + 2 = 5（种）" "答案：5种" 错在哪里？ 加法和乘法搞混了！ 这道题是"分步完成"：先从北京到上海，再从上海到广州，两步缺一不可，应该用乘法原理。 加法原理是"分类完成"，每一类都能独立完成。 正确解法 第一步：从北京到上海，有3种走法 第二步：从上海到广州，有2种走法 根据乘法原理，共有： 3 × 2 = 6（种） 我们可以一一列举： 北京→上海路线1→广州路线1 北京→上海路线1→广州路线2 北京→上海路线2→广州路线1 北京→上海路线2→广州路线2 北京→上海路线3→广州路线1 北京→上海路线3→广州路线2 共6种，正确！ 记住：分类完成用加法，分步完成用乘法！ 判断方法：每一类都能独立完成吗？能→加法；每一步都缺一不可吗？是→乘法。 五、趣味挑战题 【挑战题 神奇的数字组合】★★★★挑战 同学们，你们知道吗？用1、2、3、4这四个数字，可以组成很多不同的四位数。 🌟 挑战一： 如果数字不能重复，一共可以组成多少个不同的四位数？ 🌟 挑战二： 在这些四位数中，有多少个是偶数？ 🌟 挑战三： 在这些四位数中，有多少个大于2000？ 🌟 思考题： （1）如果数字可以重复，一共可以组成多少个不同的四位数？ （2）如果数字可以重复，其中有多少个是偶数？ （3）如果数字可以重复，其中有多少个大于2000？ 六、一题多解精选 【经典题 两位数中数码和为偶数】★★提升 【题目】 在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？ 解法一：分类枚举法（推荐） 思路：两位数的十位和个位数字之和为偶数，说明两个数字同奇或同偶。 步骤： 第一类：十位和个位都是奇数 十位是奇数：1、3、5、7、9，共5种 个位是奇数：1、3、5、7、9，共5种 共：5 × 5 = 25（个） 第二类：十位和个位都是偶数 十位是偶数：2、4、6、8，共4种（注意：十位不能是0） 个位是偶数：0、2、4、6、8，共5种 共：4 × 5 = 20（个） 根据加法原理，共有： 25 + 20 = 45（个） 解法二：总数一半法 思路：两位数一共有90个（从10到99），其中数码和为奇数的和数码和为偶数的应该各占一半。 步骤： 两位数总数：99 - 10 + 1 = 90（个） 因为奇偶是对称的，所以数码和为偶数的占一半： 90 ÷ 2 = 45（个） 解法三：按十位分类法 思路：按十位数字的奇偶性分类。 步骤： 十位是奇数（1、3、5、7、9）：共5种 要使和为偶数，个位必须是奇数 个位是奇数：1、3、5、7、9，共5种 共：5 × 5 = 25（个） 十位是偶数（2、4、6、8）：共4种 要使和为偶数，个位必须是偶数 个位是偶数：0、2、4、6、8，共5种 共：4 × 5 = 20（个） 共：25 + 20 = 45（个） 小建议：第一种方法最基础，容易理解；第二种方法最快，但需要理解奇偶对称性。建议大家优先掌握第一种方法，其他方法可以用来验证答案。 七、基本练习 （共4题，建议用时：15分钟） 第1题 ★基础 南京去上海可以乘火车、乘飞机、乘汽车和乘轮船。如果每天有20班火车、6班飞机、8班汽车和4班轮船，那么共有多少种不同的走法？ 第2题 ★★提升 光明小学四、五、六年级共订300份报纸，每个年级至少订99份报纸。问：共有多少种不同的订法？ 第3题 ★★提升 将10颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法？ 第4题 ★★提升 在所有的两位数中，两位数码之和是偶数的共有多少个？ 八、拓展练习 （共3题，建议用时：20分钟） 第1题 ★★★拔高 用五种颜色给右图的五个区域染色，每个区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色。问：共有多少种不同的染色方法？ （五个区域：A、B、C、D、E，其中A与B、C、D相邻，B与A、C、E相邻，C与A、B、D、E相邻，D与A、C、E相邻，E与B、C、D相邻） 第2题 ★★★拔高 用1，2，3这三种数码组成四位数，在可能组成的四位数中，至少有连续两位是2的有多少个？ 第3题 ★★★拔高 下图中每个小方格的边长都是1。有一只小虫从O点出发，沿图中格线爬行，如果它爬行的总长度是3，那么它最终停在直线AB上的不同爬行路线有多少条？ 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 共有38种不同的走法。 解析：乘火车20种、乘飞机6种、乘汽车8种、乘轮船4种，根据加法原理，共有： 20 + 6 + 8 + 4 = 38（种） 随堂小练2 答案 一共可以组成12个不同的两位数。 解析：十位有4种选择（1、2、3、4），选完十位后，个位剩下3种选择。根据乘法原理，共有： 4 × 3 = 12（个） 分别是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43 随堂小练3 答案 共有45个。 解析：两位数码之和为偶数，说明两个数字同奇或同偶。 第一类：十位和个位都是奇数 十位是奇数：1、3、5、7、9，共5种 个位是奇数：1、3、5、7、9，共5种 共：5 × 5 = 25（个） 第二类：十位和个位都是偶数 十位是偶数：2、4、6、8，共4种（十位不能是0） 个位是偶数：0、2、4、6、8，共5种 共：4 × 5 = 20（个） 根据加法原理，共有：25 + 20 = 45（个） 随堂小练4 答案 共有48种不同的染色方法。 解析：按顺序染色：A → B → C → D A：有4种颜色可选 B：与A不同色，有3种颜色可选 C：与A、B都不同色，有2种颜色可选 D：与B、C都不同色，有2种颜色可选 根据乘法原理，共有： 4 × 3 × 2 × 2 = 48（种） 随堂小练5 答案 至少有连续两位是2的四位数有21个。 解析：按连续2的位数分类： 第一类：连续四位都是2 只有2222这1个。 第二类：恰有连续三位是2 前三位是2，第四位不是2：有2种（1、3） 后三位是2，第一位不是2：有2种（1、3） 共：2 + 2 = 4（个） 第三类：恰有连续两位是2 第1、2位是2，第3位不是2，第4位任意：第3位2种，第4位3种，共2×3=6个 第2、3位是2，第1位不是2，第4位不是2：第1位2种，第4位2种，共2×2=4个 第3、4位是2，第2位不是2，第1位任意：第2位2种，第1位3种，共3×2=6个 共：6 + 4 + 6 = 16（个） 根据加法原理，共有： 1 + 4 + 16 = 21（个） 随堂小练6 答案 最终停在直线AB上的不同爬行路线有6条。 解析：小虫爬2步，停在AB上的情况有： 左→左：还在AB上 左→右：回到AB上 右→左：回到AB上 右→右：还在AB上 上→下：回到AB上 下→上：回到AB上 共6条路线。 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：38种 【解析】 从南京到上海，有四类交通工具可以选择： 第一类：乘火车，有20种走法 第二类：乘飞机，有6种走法 第三类：乘汽车，有8种走法 第四类：乘轮船，有4种走法 根据加法原理，共有： 20 + 6 + 8 + 4 = 38（种） 答：共有38种不同的走法。 第2题 答案：10种 【解析】 每个年级至少订99份，我们可以先给每个年级订99份，这样还剩： 300 - 99×3 = 300 - 297 = 3（份） 问题转化为：把3份报纸分给三个年级，每个年级可以分0份或更多，有多少种分法？ 分类讨论： 第一类：3份都给同一个年级 有3种分法：都给四年级、都给五年级、都给六年级。 第二类：2份给一个年级，1份给另一个年级 选哪个年级得2份：3种选择 选哪个年级得1份：剩下2个年级，2种选择 共：3 × 2 = 6（种） 第三类：每个年级各1份 只有1种分法。 根据加法原理，共有： 3 + 6 + 1 = 10（种） 验证：我们可以一一列举： (99,99,102)、(99,102,99)、(102,99,99)、 (99,100,101)、(99,101,100)、 (100,99,101)、(100,101,99)、 (101,99,100)、(101,100,99)、 (100,100,100) 共10种，正确！ 答：共有10种不同的订法。 第3题 答案：8种 【解析】 把10颗相同的珠子分成三份，不计顺序（比如1、2、7和2、1、7算同一种）。 我们按从小到大的顺序列举： 第一份1颗： 1、1、8 1、2、7 1、3、6 1、4、5 共4种。 第一份2颗： 2、2、6 2、3、5 2、4、4 共3种。 第一份3颗： 3、3、4 共1种。 第一份4颗及以上： 4、4、2（和2、4、4重复），所以没有新的了。 根据加法原理，共有： 4 + 3 + 1 = 8（种） 分别是：(1,1,8)、(1,2,7)、(1,3,6)、(1,4,5)、(2,2,6)、(2,3,5)、(2,4,4)、(3,3,4) 答：共有8种不同的分法。 第4题 答案：45个 【解析】 两位数码之和为偶数，说明两个数字同奇或同偶。 第一类：十位和个位都是奇数 十位是奇数：1、3、5、7、9，共5种 个位是奇数：1、3、5、7、9，共5种 共：5 × 5 = 25（个） 第二类：十位和个位都是偶数 十位是偶数：2、4、6、8，共4种（十位不能是0） 个位是偶数：0、2、4、6、8，共5种 共：4 × 5 = 20（个） 根据加法原理，共有： 25 + 20 = 45（个） 验证：两位数一共有90个（从10到99），奇偶各占一半，90÷2=45，正确！ 答：两位数码之和是偶数的共有45个。 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：420种 【解析】 第一步：分类 按区域A和区域E的颜色关系，分为两类： 第一类：A与E颜色相同 第二类：A与E颜色不同 第二步：数每类的方法数 第一类：A与E颜色相同 按顺序染色：A → B → C → D A：有5种颜色可选 B：与A不同色，有4种颜色可选 C：与A、B都不同色，有3种颜色可选 D：与A、C都不同色，有3种颜色可选 根据乘法原理，共有： 5 × 4 × 3 × 3 = 180（种） 第二类：A与E颜色不同 按顺序染色：A → E → B → C → D A：有5种颜色可选 E：与A不同色，有4种颜色可选 B：与A、E都不同色，有3种颜色可选 C：与A、B、E都不同色，有2种颜色可选 D：与A、C、E都不同色，有2种颜色可选 根据乘法原理，共有： 5 × 4 × 3 × 2 × 2 = 240（种） 第三步：相加 根据加法原理，共有： 180 + 240 = 420（种） 答：共有420种不同的染色方法。 第2题 答案：21个 【解析】 第一步：分类 "至少有连续两位是2"，按连续2的位数，分为三类： 第一类：连续四位都是2 第二类：恰有连续三位是2 第三类：恰有连续两位是2 第二步：数每类的个数 第一类：连续四位都是2 只有2222这1个。 第二类：恰有连续三位是2 前三位是2，第四位不是2：有2种（1、3） 后三位是2，第一位不是2：有2种（1、3） 共：2 + 2 = 4（个） 第三类：恰有连续两位是2 第1、2位是2，第3位不是2，第4位任意：第3位2种，第4位3种，共2×3=6个 第2、3位是2，第1位不是2，第4位不是2：第1位2种，第4位2种，共2×2=4个 第3、4位是2，第2位不是2，第1位任意：第2位2种，第1位3种，共3×2=6个 共：6 + 4 + 6 = 16（个） 第三步：相加 根据加法原理，共有： 1 + 4 + 16 = 21（个） 验证：用排除法 总共可以组成：3×3×3×3 = 81个四位数 没有连续两位是2的有60个（用递推法可得） 至少有连续两位是2的有：81 - 60 = 21个，正确！ 答：至少有连续两位是2的有21个。 第3题 答案：20条 【解析】 第一步：分类 按小虫第一步的方向，分为四类： 第一类：第一步向左 第二类：第一步向右 第三类：第一步向上 第四类：第一步向下 第二步：数每类的路线数 先看规律： 如果小虫在AB上，爬2步后回到AB上，有6条路线 如果小虫在与AB相邻的直线上，爬2步后回到AB上，有4条路线 第一类：第一步向左 第一步向左后，小虫还在AB上（左右移动不改变上下位置）。 还剩2步，要回到AB上，有6条路线。 第二类：第一步向右 和向左一样，第一步向右后，小虫还在AB上。 还剩2步，要回到AB上，有6条路线。 第三类：第一步向上 第一步向上后，小虫在与AB相邻的直线上（往上一格）。 还剩2步，要回到AB上，有4条路线。 第四类：第一步向下 和向上一样，第一步向下后，小虫在与AB相邻的直线上（往下一格）。 还剩2步，要回到AB上，有4条路线。 第三步：相加 根据加法原理，共有： 6 + 6 + 4 + 4 = 20（条） 答：小虫有20条不同的爬行路线。 十二、趣味挑战题参考答案 🌟 挑战一：数字不能重复，一共可以组成多少个不同的四位数？ 答案：24 个 详细解析： 用 1、2、3、4 四个数字组成四位数，数字不能重复。 分步思考： 第一步（千位）：可以选 1、2、3、4，共 4 种 选择 第二步（百位）：千位选走了 1 个数字，还剩 3 个数字，共 3 种 选择 第三步（十位）：又选走了 1 个数字，还剩 2 个数字，共 2 种 选择 第四步（个位）：只剩最后 1 个数字了，共 1 种 选择 根据乘法原理，共有： 4 × 3 × 2 × 1 = 24（个） 验证： 我们可以按千位分类列举： 千位是 1：1234、1243、1324、1342、1423、1432 → 6 个 千位是 2：2134、2143、2314、2341、2413、2431 → 6 个 千位是 3：3124、3142、3214、3241、3412、3421 → 6 个 千位是 4：4123、4132、4213、4231、4312、4321 → 6 个 共：6 × 4 = 24 个 ✅ 🌟 挑战二：在这些四位数中，有多少个是偶数？ 答案：12 个 详细解析： 偶数的个位数字必须是偶数。在 1、2、3、4 中，偶数有 2 和 4，共 2 个。 方法一：按个位分类 第一类：个位是 2 个位：固定是 2，1 种选择 千位：剩下 1、3、4 三个数字，3 种选择 百位：还剩 2 个数字，2 种选择 十位：还剩 1 个数字，1 种选择 共：1 × 3 × 2 × 1 = 6（个） 第二类：个位是 4 个位：固定是 4，1 种选择 千位：剩下 1、2、3 三个数字，3 种选择 百位：还剩 2 个数字，2 种选择 十位：还剩 1 个数字，1 种选择 共：1 × 3 × 2 × 1 = 6（个） 根据加法原理，共有： 6 + 6 = 12（个） 验证： 个位是 2 的 6 个：1342、1432、3142、3412、4132、4312 个位是 4 的 6 个：1234、1324、2134、2314、3124、3214 共 12 个，正确！✅ 🌟 挑战三：在这些四位数中，有多少个大于 2000？ 答案：18 个 详细解析： 方法一：按千位分类 大于 2000 的四位数，千位必须是 2、3 或 4。 千位是 2：百位 3 种、十位 2 种、个位 1 种，共 3×2×1=6 个 千位是 3：同理，6 个 千位是 4：同理，6 个 根据加法原理，共有： 6 + 6 + 6 = 18（个） 方法二：排除法（更简单） 总共有 24 个四位数 小于 2000 的：千位必须是 1，有 3×2×1=6 个 所以大于 2000 的有：24 - 6 = 18 个 两种方法结果一样，说明答案正确！✅ 🤔 思考题（1）：数字可以重复，一共可以组成多少个不同的四位数？ 答案：256 个 详细解析： 数字可以重复，意味着每一位都可以从 1、2、3、4 中任选。 千位：4 种选择（1、2、3、4） 百位：4 种选择（可以和千位相同） 十位：4 种选择 个位：4 种选择 根据乘法原理，共有： 4 × 4 × 4 × 4 = 256（个） 小知识： 这就是 "可重复排列" 问题，n 个元素取 m 个可重复排列，公式是 n^m。 这里 n=4，m=4，所以是 4⁴ = 256 个。 🤔 思考题（2）：数字可以重复，其中有多少个是偶数？ 答案：128 个 详细解析： 偶数的个位必须是偶数（2 或 4），共 2 种选择。 分步思考： 个位：必须是 2 或 4，共 2 种 选择 千位：可以是 1、2、3、4，共 4 种 选择 百位：4 种选择 十位：4 种选择 根据乘法原理，共有： 4 × 4 × 4 × 2 = 128（个） 验证： 总共有 256 个四位数，其中偶数应该占一半（因为个位奇偶各占一半）。 256 ÷ 2 = 128 个，正好和我们算的一样！✅ 🤔 思考题（3）：数字可以重复，其中有多少个大于 2000？ 答案：192 个 详细解析： 大于 2000 的四位数，千位必须是 2、3 或 4，共 3 种选择。 分步思考： 千位：可以是 2、3、4，共 3 种 选择 百位：4 种选择 十位：4 种选择 个位：4 种选择 根据乘法原理，共有： 3 × 4 × 4 × 4 = 192（个） 验证： 总共有 256 个四位数。 小于 2000 的：千位必须是 1，有 1×4×4×4=64 个。 大于 2000 的：256 - 64 = 192 个。 两种方法结果一致，正确！✅ 📊 答案汇总表 题目 条件 答案 挑战一 数字不重复，总个数 24 个 挑战二 数字不重复，偶数个数 12 个 挑战三 数字不重复，大于 2000 18 个 思考题（1） 数字可重复，总个数 256 个 思考题（2） 数字可重复，偶数个数 128 个 思考题（3） 数字可重复，大于 2000 192 个 💡 解题小技巧 1. 排列问题：数字不重复时，用乘法原理一步步算 2. 可重复排列：每一位都有 n 种选择，m 位就是 n^m 3. 偶数问题：从个位开始考虑，因为个位决定了奇偶性 4. "大于某数" 问题：从最高位开始考虑，或者用排除法 5. 验证答案：用两种不同的方法算，结果一致就更有把握啦！ 十三、本讲总结（思维导图速记） 🗺️ 知识地图 📋 核心公式速查表 类型 方法 公式/要点 加法原理 分类计数 N = m₁ + m₂ + … + mₙ 乘法原理 分步计数 N = m₁ × m₂ × … × mₙ 分类+分步 先分类，再分步 大类用加法，小类用乘法 排列（不重复） 从n个中取m个排列 P(n,m) = n × (n-1) × … × (n-m+1) 组合（不重复） 从n个中取m个组合 C(n,m) = P(n,m) ÷ m! 可重复排列 n个元素取m个可重复 n^m 种 容斥原理 两类有重叠 总数 = A类 + B类 - 既是A又是B ⚠️ 避坑清单 ❌ 最容易错的5个地方： 1.分类重复：同一情况被分到了两类中，导致计数偏多 避坑方法：选好分类标准，确保每一种情况只属于一类 2.分类遗漏：某些情况没有考虑到，导致计数偏少 避坑方法：按顺序分类，从小到大或从大到小，不要跳 3.加法乘法混淆：该用加法时用了乘法，该用乘法时用了加法 避坑口诀：分类完成用加法，分步完成用乘法 判断标准：每一类都能独立完成吗？能→加法；每一步都缺一不可吗？是→乘法 4.分类标准不统一：一会儿按A分类，一会儿按B分类，容易混乱 避坑方法：全程用同一个分类标准，不要中途换 5.忽略特殊条件：比如"数字不能重复"、"首位不能为0"等 避坑方法：读题时把关键条件圈出来，做题时时刻提醒自己 🎯 解题小口诀 【加法原理口诀】 加法原理真奇妙，分类计数方法好； 每类都能完成事，加在一起就是了。 分类标准要选好，不重不漏很重要； 先分类来再分步，大类加来小类乘。 【加法vs乘法区分口诀】 分类完成用加法，分步完成用乘法； 类类独立是加法，步步相关是乘法。 判断方法很简单，就看能不能独立； 每类都能完成事，加法原理来帮你。 【解题四步口诀】 一分二数三加四验， 分类标准要明确； 不重不漏是关键， 验证一下更保险。 —— 本讲结束，继续加油哦！💪 —— 学科网（北京）股份有限公司 $