湖南株洲市醴陵市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题

**基本信息** 醴陵市一中高一下学期期末数学试卷，通过复数、立体几何等知识，以四棱锥证明、测量问题等设计，考查空间观念、推理能力与应用意识，适配高一期末综合评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数象限、充分条件、三角函数定义|基础概念辨析，如复数几何意义| |多选题|3/18|立体几何动点、解三角形结论|多选项分层，如正方体动点体积最值| |填空题|3/15|向量最值、黄金分割、测量问题|文化与应用结合，如黄金分割计算| |解答题|5/77|复数纯虚数、立体几何证明、解三角形综合|综合能力考查，如四棱锥面面垂直证明|

2026高一下学期期末检测 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 8 0 c A B B ABC BD 题号 11 答案 ABD 12.4 13.2V2 14.60 15.(1)因为5=2+，所以5=2-i,所以5名=(2-i1+m)=2+2mi-i-m=2+m)+(2m-1i, [2+m=0 因为3·22是纯虚数，所以2m-1≠0，解得m=-2, 所以2=1-21，则名+32=3-i,所以3+=V32+(-1=1而 (2)复数子，在复平面上对应的点为4(2,1，B(,-2）,则B=(-1-3), 因为四边形08C是复平面内的平行四边形，所以0c=丽=(1-3)，所C(1,-), 则点C对应的复数为-1-3i. 16.(1)解法一：由ā=(4，-2)可得同=V42+(-2}=25】 因为=a+0-)5,且a1c,a万=-8， 所以-a=[a+0-r)6]a=a2+0-)a6=20x-81-y)=0 解得弓 m=- 5 解法二：设 B=(m,n) ’依题意可得m2+n2=5,解得m=-1,或 =- 4m-2n=-8,n=2 当6=-12)时.C=a+0-6=x(4,-2)+1--12)=(65x-1,2-4w), 当5=-(5房时，=a+0-5=4-2+0-53-}号3 2 ①当b=(-1,2)时，c=(5x-1,2-4x),由a1,可得4×(5x-1)+8x-4=0,解得x=7; ②6=号有.8-5景有 由后1e可得4为+(2管子-0，郎-号 2 综上，x= （②)解法-：因为8-2万与共线，所以可设0-26=证，即0-26=a+20-5 2x=1 则有2(1-x)=-2,解得1=x=-1,故c=-a+26: 由=c2=(-a+26=-4a-6+46=20-4×(-8)+4×5=72,可得=65， 又a+6=Va+万=层2+2a-6+F=V20+2x(8)+5=3. 而(a+b)c=(a+6)(a+26)=-+a-6+262-20-8+10=-18 故osa+6,d- (a+B)& -18=-2 a+b同3x6W2=-2. 解法二：由（山）知，①当5=(-，2)时，=(5x-1,2-4)）,a-26=(66) 因为-26与共线，所以6x(5x-1)-6x2-4)=0 解得x=1, 所以：=(66'a+6=0y则osa+6, (a+b)-18V2 a+b3x622: 因为-25与8u号得号》号（导引0g. g-g-时a号 2 综上，a+b与c的夹角的余弦值为2· 22 2 4 sin2cos 2 2 咖2r+ 4 4 4 +号cos2x=sm2r+引 令2版-受2x+骨≤2版+受eZ,解得倍5≤+合keZ, 2 3 21 氏以单调递区间为过+江D+@ (2)由(1)可得 传8}+}mrws2】 x=0,x=π asinx-cosx=±1<2 时， 恒成立， 2+cosx a≤ 2+cosx 若x∈(Q,,即a≤snx恒成立，只需要sinx即可， 2+cosx sinx 2sin~cos 2 2 2 2 sin 令1三2am2.因为 x 为可 所以=ame0+o),所以sn2!22 2+cosx 3+123 t 当e0+w）时， 3t、 y= 元+523x *2=3 对于函数”2t2V2t 3t 当且仅当2i2,即1=√3时等号成立， 故=v5,则a≤5 所以sV5 18.(1) 由PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,得PA⊥BD, 连接BE,由BCI/DE且BC=DE, 所以四边形BCDE为平行四边形， 又DE⊥CD,BC=CD=1, 所以平行四边形BCDE为正方形，所以BD⊥EC, 又由BC//AE且BC=AE, 所以四边形BCEA为平行四边形， 则ABIIEC,所以BD⊥AB, 又PAOAB=A,PA,ABC平面PAB, 所以BD⊥平面PAB, 由BDC平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAB: B E D (2)由PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD, 又CD⊥AD,PA0AD=A,PA,ADC平面PAD, 所以CD⊥平面PAD,又PDc平面PAD,所以CD⊥PD, 故∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，即∠PDA=45, 在Rt△PAD中，PA=AD=2,作AM⊥PB,垂足为M, 由(I)知，平面PBD⊥平面PAB,平面PBD∩平面PAB=PB,AMC平面PAB, 所以AM⊥平面PBD,则PM为直线AP在平面PBD上的投影， 所以∠APM为直线AP与平面PBD所成的角， aPAB中，4B=CE=N2,PA=2,PB=V6,所以AM=TA1B=222 PB√63， 2W3 在 中，sin∠APM=AM-3=5, Rt△AMP AP 2 3 3 即直线AP与平面PBD所成角的正弦值为3 19.(1)因为 所以a(tan60°-cosC)=ccos4,即(V5-cosC）=ceo4 在△ABC中由正弦定理得： sin4(3-cosC)=sinCcos4 3sinA=sinAcosC+sinCcosA 则 所以5sn1=s加(4+C）,即N5sin4=simB,由正弦定理得b=5a 由5及余弦定理得o6=+QbQ2+25a-3a1门 4 2ac —=20: c 2 2 b=3a (2)由 得A为锐角，则当n1最大时0sA最小， 1+心-2+e2axA6 2bc 2ac 3c 23a3c23a 3 当且仅当低25a时，即e=到时取最小价，化时m4=-os看- 3, M=2v3sinA=2 故 (3 )()=2sin 2x+3)2tsinx-2cost2 x4’2恒成立， }s,sinr=tam5xe天） 因为t>0,所以t-1+cosx 2, 4’2恒成立， 设)=an芳业xe任 "2,当4'2)时，h(x)是增函数，则 8 π 2tan。 8 又m41-tan2元，设m=n”,侧 ，解得 8 8m2+2m-1=0m=V2-1 所以5-1，因为，>0所以≥5+ 绝密★启用前 醴陵市第一中学高一下学期期末考试试题 数 学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1．复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若角的终边过点，则（   ） A． B．4 C．6 D．8 4．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．已知球O的半径R为2，一母线长与圆锥底面直径相等的圆锥位于球内，圆锥顶点在球面上，底面与球面相接，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 6．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 7．在中，内角所对的边分别为，已知，，，则（   ） A． B． C． D． 8．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则直线与直线的夹角为 B．三棱锥体积的最大值为 C．存在，使得平面 D．若，则三棱锥外接球的表面积为8π 10．已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（   ） A．若，且有一解，则 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则为等腰三角形 D．若，，则的最大值为 11．已知的外接圆圆心为，且，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知平面向量满足，则的最大值是______. 13．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则___________. 14．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知复数，，且是纯虚数. (1)求的值及； (2)设复数，在复平面上对应的点为，，若四边形是复平面内的平行四边形，求点对应的复数. 16．已知向量，，，． (1)若，求实数的值； (2)若与共线，求与的夹角的余弦值． 17．已知． (1)求的单调递增区间； (2)若对任意的恒成立，求的取值范围． 18．如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中． (1)若，求的值； (2)当取最大值时，记，求M； (3)在（2）的条件下设，若时，对于任意的均有恒成立，求t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $