【2026 暑期预习・分层讲练】 第四课 因式分解法 2026-2027 学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层设计覆盖基础应用到综合探究，以题载法构建因式分解法解一元二次方程的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础题夯实|14题|直接解方程、根的概念应用|从因式分解法基本原理到简单应用，强化运算能力| |中档题突破|4题|含参数方程、根的判别式证明|结合代数推理，发展推理意识，衔接几何应用| |困难题探究|2题|换元法、参数取值范围|通过新定义运算与综合问题，提升模型意识与创新意识|

【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第四课 因式分解法（答案与解析）基础提升中考拓展三合一 《2026年6月29日初中数学作业》参考答案 题号 3 4 6 19 答案 B B C D 1．， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先移项将方程化为一边为0的形式，再提取公因式因式分解，令每个因式为0即可求出方程的根． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 则或 解得，． 2．， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解： 化简得：， ， 或， ，． 3．B 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 4．B 【知识点】判断点所在的象限、因式分解法解一元二次方程 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， ∴ 或 ， 解得 ，， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 5．(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）根据配方法求解方程即可； （2）根据因式分解法求解方程即可． 【详解】（1）解：方程变形得：， 开方得：， 解得：，； （2）解：移项得：， 分解因式得：， 所以或， 解得：，． 6．C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】先通过因式分解法求出一元二次方程的两个根，再计算两根之和即可得到答案． 【详解】解：， 或， 解得：， ． 7．或 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】首先对因式分解得，然后可以求出x与y的关系式． 【详解】解：， ， 或 或 8．1 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】此题考查了解一元二次方程，新定义运算，根据新运算的定义，将方程转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：根据题意得， 代入得，． ∴ ∴ 解得，． 故答案为：1． 9． ， ， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了解一元二次方程．利用因式分解法解一元二次方程；利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，； ， ， ， ， ， 解得，． 故答案为：，；，． 10． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解方程，得，，推出矩形对角线的长为； 【详解】解：解方程，得，， ∴矩形对角线的长为． 故答案为：． 11．10 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程因式分解，三角形三边的关系． 先利用因式分解法解方程得到，，再利用三角形三边的关系得到等腰三角形的腰为4，底边长为2，然后计算它的周长． 【详解】解：， 或， 所以，， 因为， 所以等腰三角形的腰为4，底边长为2， 所以三角形的周长为． 故答案为：10． 12．， 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 令，则整理为，由题意知，的解是，，即或，计算求解即可． 【详解】解：令， ∴整理为， ∴， ∵关于的一元二次方程的解是，， ∴的解是，， ∴或， 解得，， 故答案为：，． 13． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，再根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 当时，三边为3，3，7，不能构成三角形， 当时，三边为3，5，7，能构成三角形． ∴这个三角形的周长为； 故答案为：15． 14．2或8 【知识点】新定义下的实数运算、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．先根据新定义得出方程，再分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴或， 解得，， 故答案为：2或8． 15．(1)证明：对于一元二次方程，，，， ． ∵无论取何实数，都有， ∴， ∴， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)，方程的另一个根为． 【知识点】由一元二次方程的解求参数、因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明判别式恒大于0即可证明结论； （2）先将已知根代入原方程求出的值，再解一元二次方程得到另一个根． 【详解】（1）略； （2）解：把代入原方程，得， 即， 解得． 将代入原方程，得， 因式分解得， 解得，， 因此方程的另一个根为． 16．(1)1 (2) (3)证明：设一元二次方程的两根为、， ∴， ∴，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， ∴， ，即， ， ∴，， 即， ∴， ，， 即， ， 设，则, ，即为直角三角形． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、判断三边能否构成直角三角形、整式的加减运算、等式的性质1 【分析】（1）由可得，即可得出， （2）根据周长的定义得出，根据线段的和差关系得出，即可得出； （3）设一元二次方程的两根为、，因式分解法解方程得，，根据方程有两个相等的实数根得出，结合得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：与的周长相等， ， ∴， ∵为边上一点， ∴， ∴， ． （3）解：略 17．(1)或 (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、由一元二次方程的解求参数、根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）将已知根代入原一元二次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值； （2）利用一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个实数根时，判别式大于等于，据此列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵一元二次方程， ∴判别式 ， ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴或； 当时，，方程有解，符合题意； 当时，，方程有解，符合题意； （2）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， 解得． 18．解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 原方程为， 移项，得， 提取公因式，得， 整理得， 则 或 ， 解得，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】小明的错误是忽略了可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以会漏掉这个根，正确方法为移项后用因式分解法求解． 【详解】略． 19．D 【知识点】求不等式组的解集、因式分解法解一元二次方程 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 20．(1)， (2)或或或 【知识点】换元法解一元二次方程、绝对值非负性 【分析】本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解，绝对值的非负性及正整数解的枚举． （1）观察到方程中反复出现（含绝对值），因此设，原式变为，解这个一元二次方程后，需结合的条件筛选有效解，再回代，通过绝对值的定义求出x的值； （2）利用换元法，观察到方程中反复出现，设，方程转化为关于m的一元二次方程：，解这个方程后，结合m为正整数的条件筛选有效解，根据，通过枚举正整数对得到所有解． 【详解】（1）解：设，原式变为：， ∴， ， ， ， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：，． （2）解：设，原式为， ∴， ， ， ， ， 解得：，， ∵x和y都是正整数， ∴， ∴x和y的解为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2026 暑期预习・分层讲练】2026-2027 学年人教版九年级数学上册 第四课 因式分解法（原卷）基础提升中考拓展三合一 一、基础题夯实 1．方程的根是________． 2．解方程：． 3．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 4．保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．解下列方程： (1)． (2)． 6．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 7．给定实数，满足，若，则之间的关系是_____． 8．对任意实数a，b定义新运算：，如：．若，则x的值为________． 9．一元二次方程的解是______；一元二次方程的根为______． 10．一个矩形的两边长分别是方程的两个根，这个矩形的一条对角线的长是______． 11．已知等腰三角形的底边长和腰长恰好是方程的两根，则等腰三角形的周长为______． 12．已知关于的一元二次方程的解是，，则另一个关于的方程的解是_____． 13．一个三角形的两边长分别为3和7，第三边长是方程的一个根，则这个三角形的周长是_____． 14．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为，根据这个规则，若，则x的值为___________． 二、中档题突破 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根为2，求的值和方程的另一个根． 16．已知不等边的三条边分别为，，． (1)若，求的值； (2)已知为边上一点，连接，若与的周长相等，求的长； (3)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，且，求证：为直角三角形． 17．已知关于的一元二次方程． (1)若是方程的一个根，求的值； (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． 18．小明同学解方程：的过程如下： 小明：两边同除以，得，第一步 则．第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第__________步开始出现错误；并写出你的解答过程． 三、困难题探究 19．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 作业第1页，共2页 作业第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $