2026年暑期九年级分层练（人教版）——解直角三角形及其应用

**基本信息** 以分层训练构建解直角三角形知识体系，从概念到应用形成完整逻辑链，突出几何直观与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |锐角三角函数|2题|基础概念辨析与计算|从三角函数定义切入，夯实概念理解| |解直角三角形|10题|含网格、正方形等背景的直角与非直角三角形求解|由直角到非直角，体现辅助线转化思想| |实际应用|31题|覆盖俯角仰角、坡度、方向角等6类情境，含跨学科与项目式问题|从简单测量到复杂建模，培养用数学语言表达现实世界的能力|

( 张学远新中考 · 个性化学伴 )2026年八升九数学暑期训练 ( 张学远新中考 · 个性化学伴 )八年级暑期巩固练 ( 2026暑期九年级分层练（人教版） ——解直角三角形及其应用 ) 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 解直角三角形及其应用 A基础分点练 考向1 锐角三角函数 1．已知：∠A为锐角，且sinA，则tanA的值为_________． 【答案】 2．（2026·天津·中考真题）的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 考向2 解直角三角形 类型1 直角三角形 3．（2026·云南·中考真题）在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图， 中，，，， ，由勾股定理得． 4．（2026·广东广州·二模）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图可知，为直角三角形，， 网格小正方形边长为 1， ，，由勾股定理得，． 5．（2026·广东深圳·三模）如图，中，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，，，是直角三角形，且，. 6．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 【答案】 【解析】，，，又，四边形是平行四边形，，，，在中，，，． 7．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 【答案】 【解析】在正方形中，，，，，即，，，中，． 8．（2026·浙江温州·二模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（、、，）和中间一个小正方形组成．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】四边形是正方形，，.，，由图可知点在线段上，.在中，，． 类型2 非直角三角形 9．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，过点作于，，，在中，． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，∴，，，∵，即，∴是直角三角形，，∴． 11．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，如图，设，∵四边形和是正方形，，∴，，，∴，，∵、分别是正方形、的对角线，∴，，∴，∴在中，． 考向3 解直角三角形的实际应用 类型1 俯角、仰角类 12．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，水平视线与地面平行，，在 中，，，，． 13．（2026·湖南·中考真题）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点作于点G，∵，∴四边形是矩形，∴∵，∴在中，，∴，∴，∴． 14．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】 【解析】如图，过点作，垂足为，∴，∴四边形为矩形，∴，在中，，，在中，，，，龟山电视塔的高度约为． 15．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，，，，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 【答案】解：已知，，，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：此建筑的高约为． 16．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米） 参考数据：，，，，，． 【答案】解：设米， 在中，， ． 在中，， ． ， ， 解得． 答：观测点到塔的水平距离约是米． 17．（2026·甘肃陇南·一模）“实验是获取真知的关键途径”．如图，某校实验楼上悬挂了一块高为6米的标语牌，小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离，小明在点处测得标语牌底部点处的仰角，小亮在点处测得标语牌顶部点处的仰角，经测量，，测角仪的支架高，已知，点在同一条直线上，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求点到地面的距离．（参考数据：，） 【答案】解：如图：由题意可知，，四边形，四边形均为矩形，则． ，， 设，则， ． 在中，， ． 即，解得 ． 答：点到地面的距离约为． 18．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 【答案】解：在中，（米）， 在中，（米）， 由题意可知，四边形为矩形， ∴米， ∴（米） 答：山高为744米． 19．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 【答案】解：过点作于点M，过点B作于点，则米，， 由题意得， 在中，，即 ∴（米）， 在中，，即 ∴（米） ∵米， ∴（米） 答：桥的长度约为米． 20．（2026·河北沧州·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． （1）求支柱的高； （2）求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为，交于点， ，，， 四边形和四边形均为矩形， ，， 在中，，， ， ，， 支柱的高为； （2）解：在中，，，， ，， 在中，，， ，， ， ， 顶棚M处离地面的高度的长为． 21．（2026·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，，，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 【答案】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则四边形，是矩形， 依题意，，，，，， ∴， 设，则， ∴， 解得，∴， ∴， ∴的面积 ， 答：矩形广告牌的面积约为平方米 类型2 坡度（坡比）类 22．如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 【答案】1 【解析】∵斜面的坡度为，∴，∴，∵，∴，∵太阳能板的斜面长度为2米，∴米． 23．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 【答案】解：一定能，理由如下： 在中，，， ， ， ， 该机器人一定能爬上斜坡． 24．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） （1）求索塔桥面以上部分的高度； （2）求索塔的高度． 【答案】（1）解：由题意得，米，，， ∵， ∴（米）； （2）解：如图，作于点Q，则四边形是矩形， ∴，米， ∵斜面的坡度，∴， ∴（米），∴米， ∴米． 25．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 【答案】解：过点作于，过点作于，交于点． 由题意可得，∴， ∴四边形为矩形，故， 在中，米，， （米） ∴米． 在中，米，， （米） 小山高度（米）． 答：这座小山的高度米． 26．（2026·河南新乡·三模）暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． （1）求小红一家步行上升的垂直高度； （2）求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ． 答：小红一家步行上升的垂直高度约为． （2）如图，过点作于点， ，， ， ∴四边形为矩形， ． ， ． 在中，， ， ． 答：缆车的行驶路线的长约为． 类型3 方向角类 27．（2026·湖南长沙·三模）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 【答案】 【解析】由题意得海里，，，，∴，∴在中，（海里）即P处与B处的距离约是海里． 28．（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】解：由题意可得，，，， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ，间的距离约为． 29．（2026·河南平顶山·三模）机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】解：过点B作交的延长线于点D，如图所示，则． 由题意，可知，． 在中，． ∵，， ∴． ∴． 在中，， ∴ ∴ 答：A，C两点间的距离约为． 30．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 【答案】解：过点的正北方向作于点，交于点，过点作于点，设的正北方向上一点，如图所示， ，， ． ，， 海里，海里， 在中，，， 海里，海里． ，， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 海里， 在中，，则海里， ，则海里． 海里， 在中，海里． 海里，甲船航行速度为10海里/时，甲和乙的行驶时间相同， 小时， 海里， 海里/时． 乙船的航行速度大约是海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C． 类型4 实物建模类 31．（2026·吉林长春·一模）五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【解析】如图，令和交于，，，，，，，． 32．（2026·广东广州·二模）图为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图．使用时，支撑脚放置于水平桌面，用于支撑手机．若，，，，则点到的距离约为________）．（结果精确到，参考数据：，） 【答案】 【解析】如图，过点作 ，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，，四边形是矩形，，在中，，，，，，，在中，， ，， ，点到的距离约为 ． 33．（2026·河北保定·三模）如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 【答案】 【解析】如图，过作于G，∵，，，∴，∴，根据题意知，∴，∵，∴，在中，，∴． 34．宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 【答案】解：由题意，在中，，，， ， ， ∴档案盒的厚度为． 35．某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求这次绘制的两条平行线与间的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 【答案】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴与间的距离为， 在中， ∵，， ∴ ∴与间的距离约为． 36．如图是某城市地标性建筑，图案呈三角形状，数学兴趣小组利用课余时间去测量该建筑的高度，经过了解和测量得到如下数据，从点看点的仰角是，从点看点的仰角为，，，且、、、、各点都在同一个平面内．求建筑最高点离地面的高度．（参考数据：）． 【答案】解：分别过两点作于，于，过作于， ∴四边形为矩形，∴， 在中，，，∴， 在中，，， ∵，∴，∴， ， 答：建筑最高点离地面的高度为． 37．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． （1）求的长； （2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 【答案】（1）解：如图，在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：如图，设的圆心为，连接， ∵圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米， ∴米， ∵点是的中点， ∴米，， 设的半径为米，则米， 在中，， ∴，解得， 答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为米． 38．（2026·山西·中考真题）项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告． 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构． 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井． 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段为中间层菱形井较长的对角线（点，在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点，在同一水平直线上，且点，，，在同一竖直平面内． 数据 在点处测得点的仰角为，米；在点处测得点的仰角为，米． 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线的长（结果精确到0.1米，参考数据：）． 【答案】解：过点作于点，过点作于点， ∴，则四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， 在中，， ， ， ， ， （米）． 答：该藻井中间层菱形井对角线的长约为米． 39．（2026·江苏南京·三模）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 【答案】（1）解：在中，“视线角”为，，，， ． 答：眼睛与屏幕的距离约为； （2）解：如图，延长交于点， 则，， 调整前，． 在中，， ，，即， 故此时不是正确坐姿． 当时，． 在中，，， 调整后，，． 答：桌面应下调才能使肘部形成的“手肘角”为． 类型5 跨学科类 40．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 【答案】3 【解析】∵BC＝3米，斜坡AB的坡度是1：，∴AC＝3米，∴AB3（米），则物体所经过的路程为3米． 41．材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 我们把入射角的正弦值和折射光线与法线夹角的正弦值之比称为折射率（），即 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，已知光线从空气进入水中时的折射率为．请依据相关材料解决下列问题： （1）________； （2）求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1）解：∵我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率，即，已知光线从空气进入水中时的折射率为，． ∴， ， 故答案为； （2）解：∵， ∴在中，， ∵， ， 答：的长约为． 42．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 【答案】（1）证明：， ∴根据光的反射定律可知． ． ∵，． 是等边三角形； （2）①解：∵，平面镜绕点顺时针旋转到位置， ∴根据光的反射定律可知， ∴； ②解：如图②，过点P作于F， 由（1）知，由①知， ∴． 由（1）知是等边三角形，又知厘米， ∴(厘米)， 又∵，∴，(厘米)， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴， 在中，， ∴(厘米)， ∴(厘米)，即光点向下移动的距离的长为厘米． 类型6 其他 43．（2026·江苏南京·三模）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面尺，第二次露出水平面尺，已知两次与水平面的夹角分别是与，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离． 【答案】解：如图，过点作水平面的垂线，交水面于， 设竹竿的长度为尺，则尺，尺， 由题意可知，，， ∴，， ∴，解得， ∴． 答：竹竿的长度为尺，水底固定处到水平面的距离为尺． 44．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． 【答案】解：方案一：过点作于点， ∵，， ∴在中，， 在中，， ∵，， ∴，解得， ∴这段河道的宽度为． 方案二：过点作于点，交于点， ∵，∴，，∴， ∵，，， ∴，解得， ∴， 答：这段河道的宽度为． B能力提升练 45．（2026·广东深圳·三模）由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】如图，过点C作于H．∵，∴，，∴，∴．∴污渍部分内容为． 46．（2026·广东韶关·二模）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取格点，连接，，由平行四边形的判定和性质，可得，故，由勾股定理的逆定理得到，在中，求出即可得到解． 【解析】如图，取格点，连接，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，． 47．（2026·山西临汾·三模）将一副三角尺按如图所示的位置放置，已知，与交于点，则线段的长为____________． 【答案】 【解析】在中，，，．在中，，，．点在，上，，．过点作于点．设．在中，，，，．在中，，，．，．解得．． 48．（2026·宁夏银川·三模）“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台的距离恰好为，则轿厢所经过的路径（即劣弧）长度为_______m．（结果保留） 【答案】 【解析】设摩天轮的圆心为，半径为，由题意可知，最高点离水面平台的距离为，圆心到的距离为，∴．过点作水平线，过点B作于点C，如下图，∵点B离水面平台的距离为，圆心到的距离为，∴，在中，，，∴，∴．∵点为最低点，∴，∴，∴劣弧的长度为． 49．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： （1）如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； （2）如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 【答案】（1）该坡道不符合标准要求，理由如下： 在中，， ∴, 解得， 而， ∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求； （2）小红设计的方案图符合标准，理由如下： 过点作于点， 由题意得，在中，，， ∴， ∴坡道符合标准； ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴坡道符合标准， 又∵，满足地面要求， ∴小红设计的方案图符合标准． 50．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． （1）求该轮船的航行速度； （2）求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 【答案】（1）解：由题意，得 ∴， ∵上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处， ∴ 如图，作于点，则， 在中，，∴， 在中，由勾股定理，得， 故该轮船的航行速度为； 答：该轮船的航行速度为； （2）解：如图，作于点， ∵点到的距离是到的距离的2倍， ∴设，则， 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）； ∴； 故点，间的距离为. 51．（2026·江西·中考真题）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） （1）任务一：计算点离水平地面的高度； （2）任务二：计算_____________，______________； （3）任务三：计算土坑的深度． 【答案】（1）解：如图，连接，过点作交于，交于，则． ，， ，． 在中，， 即点离水平地面的高度约为． （2）解：如图， ∵，，∴， 又∵，∴， ∴， 同理可得， ∴． （3）解：由题意得四边形是矩形，则， 在中，，． ， ，， ，， ． 在中，， ， 即土坑的深度约为． 52．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． 【分析】（1）根据题求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解； （2）先求得，进而解得出，根据等角的余角相等得出，即可求解； （3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解． 【答案】（1）解：依题意，，， ∴， ∵，∴， ∵，∴； （2）解：由题意得，，，， ， ， 在中，， ，，解得， ， 在中， ，， ，， 答：此时左前轮的转向角的度数约为； （3）解：如图，连接，设，交于点， 当最大时，点经过点，此时， 依题意，， 设，则，， 在中，， ∴，解得， ∴，， 在中，， ∴； 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点作垂直于道路右侧， 设道路宽为，依题意，， ∴， ∴， 综上所述，． C素养强化练 53．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣． 【背景阐述】 已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）． 求证： 证明：不妨设， 则在矩形中，． 故，即． 因为，所以． 因为，所以． 故，从而． 而在中，． …… 【特例探试】 （1）利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：） 【推理验证】 （2）根据上述推导，补充完整证明过程，求证：． 【分析】（1）根据和求解即可； （2）根据题中思路，利用相似的性质表示出，从而表示出，，根据平行性质得出，再根据即可证明． 【答案】（1）解： ． （2）补充证明：∴，， ，， ∵四边形是矩形， ，，， ，， ， ． ( 0 1 )老师备课、家长伴学、学生提高 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 张学远新中考 · 个性化学伴 )2026年八升九数学暑期训练 ( 张学远新中考 · 个性化学伴 )八年级暑期巩固练 ( 2026暑期九年级分层练（人教版） ——解直角三角形及其应用 ) 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 解直角三角形及其应用 A基础分点练 考向1 锐角三角函数 1．已知：∠A为锐角，且，则tanA的值为_________． 2．（2026·天津·中考真题）的值等于（     ） A． B． C． D． 考向2 解直角三角形 类型1 直角三角形 3．（2026·云南·中考真题）在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东广州·二模）如图在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则（     ） A． B． C． D． 5．（2026·广东深圳·三模）如图，中，，，．则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 7．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形中，为边上一点，连接，．若，，则___________． 8．（2026·浙江温州·二模）如图，正方形由四个全等的直角三角形（、、，）和中间一个小正方形组成．若，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 类型2 非直角三角形 9．（2026·山东德州·中考真题）如图，在中，，，则的值为（） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（     ） A． B． C． D． 11．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形和正方形，点在的延长线上．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 考向3 解直角三角形的实际应用 类型1 俯角、仰角类 12．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中处探测到地平面目标，此时从探测器上看目标的俯角，探测器飞行的高度，则探测器到目标的距离约为（     ）（其中，计算结果精确到） A． B． C． D． 13．（2026·湖南·中考真题）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙与 垂直，门可绕旋转，是门与门吸的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置）， 于点．已知，，，且，则门吸离墙的距离为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升至距水平地面的处，测得龟山电视塔顶端的仰角为，底端的俯角为，则龟山电视塔的高度约是_________（结果取整数，参考数据：，，）． 15．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下： 活动主题 测量建筑物的高度 实物图和测量示意图 测量说明 （1）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （2）测角仪在处测得建筑物顶的仰角为； （3）点，，位于同一水平线上，测出的长，测角仪的高，． 测量数据 ，，， 参考数据 ，，，，， 请根据以上数据求此建筑物高的长．（结果保留整数） 16．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图，设观测点到塔的水平距离为（点，，在同一条直线上），，在点分别测得塔顶的仰角、塔底的仰角，查阅资料可知塔的高度米．根据以上信息，请你求出观测点到塔的水平距离．（结果精确到米） 参考数据：，，，，，． 17．（2026·甘肃陇南·一模）“实验是获取真知的关键途径”．如图，某校实验楼上悬挂了一块高为6米的标语牌，小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部到地面的距离，小明在点处测得标语牌底部点处的仰角，小亮在点处测得标语牌顶部点处的仰角，经测量，，测角仪的支架高，已知，点在同一条直线上，点在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内．求点到地面的距离．（参考数据：，） 18．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚处测得山腰处的仰角为，，间的距离为400米，在山腰处测得山顶处的仰角为，，间的距离为600米．求山高．（参考数据：，，．计算结果取整数．） 19．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥 ．为确定跨湖桥的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为90米，同时测得桥头点A处的俯角为；从点C处沿方向水平飞行300米到达点D处，测得桥头点B处的俯角为，求桥的长度（结果精确到1米）．（参考数据：，，，） 20．（2026·河北沧州·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1），其侧面的示意图如图所示，其中线段代表水平地面，点，位于地面；测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为，处的俯角为． （1）求支柱的高； （2）求顶棚处离地面的高度．（参考数据：，，） 21．（2026·山东烟台·中考真题）【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 活动过程 测量过程 如图，矩形广告牌的边为米，与水平地面垂直，支柱长米，且垂直于地面．无人机从点起飞，以米秒的速度竖直向上飞行秒到达点，此时测得点的俯角为．点的俯角为（图中各点均在同一平面内）． 模型建构 参考数据 ，，，，，． 问题解决 求矩形广告牌的面积（结果精确到1平方米）． 类型2 坡度（坡比）类 22．如图，太阳能板的斜面长度为2米，斜面的坡度为，支撑杆垂直于地面（），则的长是________米． 23．（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某台机器人能轻松爬上坡角不超过的斜坡．如图，坡角为的斜坡长，铅直高度长，．该机器人一定能爬上斜坡吗？请判断并说明理由． （参考数据：，） 24．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔相距300米的点A观测塔顶M的仰角为，斜面的坡度，点A，B，C，M，N在同一平面内，是桥面，是水平线，，．（计算结果均保留根号） （1）求索塔桥面以上部分的高度； （2）求索塔的高度． 25．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座小山．他们由山脚A处出发，先沿坡角为的山坡行走到达B处，再沿坡角为的山坡行走200m到达山顶C处．估计这座小山的高度．（参考数据：、，，结果保留整数） 26．（2026·河南新乡·三模）暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山．如图，他们从山底处出发，先步行到达处，再从处坐缆车到达山顶处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，，，，在同一平面内． （1）求小红一家步行上升的垂直高度； （2）求缆车的行驶路线的长．（结果精确到．参考数据：，，，） 类型3 方向角类 27．（2026·湖南长沙·三模）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P处与B处的距离约是_____海里．（精确到海里，参考数据：，，） 28．（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点，表示，在的北偏东方向上．为了测量，间的距离，综合实践小组在观测点处测得在的正北方向，沿着北偏东方向行走至另一观测点，测得在的正西方向，在的北偏西方向上，平面示意图如图所示．已知，间的距离为，求，间的距离（精确到）．参考数据：，，，，，． 29．（2026·河南平顶山·三模）机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情．如图2，在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东方向直行至点B，然后从点B沿南偏西方向直行至点C，若点C在点A的正东方向，求A，C两点间的距离（结果精确到．参考数据：，，，）． 30．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C直线航行运送货物．已知港口A位于港口B北偏西的方向上，港口C位于港口A北偏东的方向上，海里，海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C（结果保留根号）．（参考数据：，，，，，） 类型4 实物建模类 31．（2026·吉林长春·一模）五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者．某爱好者搭建一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②），对称轴是垂直于地面的支杆所在的直线，撑开的遮阳面和的长均为米．若的度数为，则此“天幕”的宽度是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 32．（2026·广东广州·二模）图为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图．使用时，支撑脚放置于水平桌面，用于支撑手机．若，，，，则点到的距离约为________）．（结果精确到，参考数据：，） 33．（2026·河北保定·三模）如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中，，侧面示意图如图2所示，其中，当抬起把手放水时，D，F分别到达点，处，且，则点到的距离约为________．（结果精确到，取0.98，取0.17，取5.7） 34．宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒与竖直放置的档案盒的夹角，，档案盒长．帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档案盒的厚度（参考数据：，，）． 35．某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具——界尺，它在界画绘制时用以作出平行线．图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构．受此启发，越越同学制作了如图2的简易作平行线工具（，，，的宽度忽略不计），已知连杆，，在某次绘制时，测得．求这次绘制的两条平行线与间的距离．（结果精确到）（参考数据：，） 36．如图是某城市地标性建筑，图案呈三角形状，数学兴趣小组利用课余时间去测量该建筑的高度，经过了解和测量得到如下数据，从点看点的仰角是，从点看点的仰角为，，，且、、、、各点都在同一个平面内．求建筑最高点离地面的高度．（参考数据：）． 37．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有根柱子，每两根柱子之间的距离为米（如图），组长站在最中间柱子正下方，背对车站向正前方走了米到达点，转身测得、两点的仰角分别是和（不计测角仪的高度）（如图）． （1）求的长； （2）求正大门穹顶圆弧所在圆的半径． （结果保留整数．参考数据：，，，，，．） 38．（2026·山西·中考真题）项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告． 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构． 造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井． 测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图示 图1为藻井仰视平面图，其中线段为中间层菱形井较长的对角线（点，在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点，在同一水平直线上，且点，，，在同一竖直平面内． 数据 在点处测得点的仰角为，米；在点处测得点的仰角为，米． 结果 … 活动反思 … 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线的长（结果精确到0.1米，参考数据：）． 39．（2026·江苏南京·三模）现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”为（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手肘角”为，如图1所示．（参考数据：，，，，，，） （1）如图2，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”为，时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离，大臂，小臂水平放在桌面上，桌面到地面的距离，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”为？ 类型5 跨学科类 40．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为________米． 41．材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射． 我们把入射角的正弦值和折射光线与法线夹角的正弦值之比称为折射率（），即 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点，测得，．若，，三点在同一条直线上，已知光线从空气进入水中时的折射率为．请依据相关材料解决下列问题： （1）________； （2）求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 42．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点位于竖直墙面上，平面镜与墙面平行，从点射出一束激光，经过平面镜的反射，在墙面上形成一个光点，所在直线垂直于水平面．入射光线与平面镜的夹角．（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角） （1）求证：是等边三角形； （2）如图②，将图①中的平面镜绕点顺时针旋转到位置，入射光线经过平面镜的反射后，在墙面上形成光点，点在直线上． ①_________°； ②若厘米，求光点向下移动的距离的长．（结果保留根号） 类型6 其他 43．（2026·江苏南京·三模）一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面尺，第二次露出水平面尺，已知两次与水平面的夹角分别是与，求竹竿的长度与水底固定处到水平面的距离． 44．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达．某数学兴趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 测量过程 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，； 2．测量，的度数； 3．测量，两点之间的距离． 1．在河道一侧的岸边选取两个观测点，，分别在，的延长线上选取点，，使得； 2．测量，两点之间的距离，，两点之间的距离，与之间的距离． 测量数据 ，，． ，，． 备注 1．点是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点； 2．图中所有点均在同一平面内； 3．参考数据：，，． 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点到的距离）． B能力提升练 45．（2026·广东深圳·三模）由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在中，，，，求的长”．小南查找了书本提供的答案：，通过计算得知污渍部分的内容是（    ） A． B．1 C． D． 46．（2026·广东韶关·二模）如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，、、、都在格点处，与相交于点，则的值为（     ） A． B． C． D． 47．（2026·山西临汾·三模）将一副三角尺按如图所示的位置放置，已知，与交于点，则线段的长为____________． 48．（2026·宁夏银川·三模）“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为．某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B，此时B到水平台的距离恰好为，则轿厢所经过的路径（即劣弧）长度为_______m．（结果保留） 49．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道． 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于．如图①是小红所在学校的无障碍坡道． 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度米，坡角．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计． 任务： （1）如图②，根据已知数据，求出铅直高度的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由； （2）如图③，受地面条件限制，该坡道方向能用的水平宽度只有米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在处安装支柱米，在处留米的通道，入口为点，经过两个坡道与再到达点，且米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：，，） 50．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点，在点的正东方向上有两个观测点，，且，相距．某日上午8点，测得一艘轮船位于点的北偏西方向上的处，且与相距，并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点的北偏东方向上的处，且，相距 ，此时点到的距离是到的距离的2倍． （1）求该轮船的航行速度； （2）求点，间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 51．（2026·江西·中考真题）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 截面示意图    操作步骤 1．在水平地面上选定一个激光发射点，使位于土坑上底面直径所在的直线上； 2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方； 3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最右端处； 4．在线段上确定一点，使得从处发出的激光经反射镜处反射后恰好到达坑底最左端处． （以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内） 测量数据 ，，，，． 参考数据 ，，，． 根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到） （1）任务一：计算点离水平地面的高度； （2）任务二：计算_____________，______________； （3）任务三：计算土坑的深度． 52．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】 （1）小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离），前轮转向角即，则旋转半径_____． 【类比探究】 （2）小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）． 如图3，某款家用汽车宽约为，轴心距约为．转弯时，若右前轮的转向角即，求此时左前轮的转向角的度数． （参考数据：，，，，） 【综合实践】 （3）如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心，与直角拐点共线位置时，其俯视图如图5所示．若路宽均为，车辆左侧与实线的距离为．现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出的范围． C素养强化练 53．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式的证明产生浓厚兴趣． 【背景阐述】 已知：如图所示，在矩形中，点在边上，连接，过点作交边于点（点不与，重合），连结．记，（其中，均为锐角，且）． 求证： 证明：不妨设， 则在矩形中，． 故，即． 因为，所以． 因为，所以． 故，从而． 而在中，． …… 【特例探试】 （1）利用“两角和的正切公式”求的近似值．（参考数据：） 【推理验证】 （2）根据上述推导，补充完整证明过程，求证：． ( 0 1 )老师备课、家长伴学、学生提高 学科网（北京）股份有限公司 $2026年 八升九 数学 翻 2026暑期九年级分层练（人教版) 解直角三角形及其应用 张学远新中考·个性化学伴 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 解直角三角形及其应用 A基础分点练 考向1锐角三角函数 1.己知：∠A为锐角，且sinA=多则taM的值为 2.(2026天津.中考真题)v2sin30°-cos45°的值等于() A.1-V2 B.0 C.1-2 2 D.V2 考向2解直角三角形 类型1直角三角形 3.(2026云南中考真题)在Rt△ABC中，∠C=90,若BC=V2,anB=5,则AB=(） A.君 ®.9 C.V5 D. 4.（2026广东广州·二模)如图在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均 在格点上，则sinA=() B A. B.g c D. 5.(2026广东深圳三模)如图，△ABC中，AB=25,BC=7,CA=24.则sinB的值为() 24 25 B A. B.24 5 c 0.9 6.(2026河北中考真题)某楼梯装有护栏，其侧面如图所示.其中AB II CD,BD1DE于点 老师备课、家长伴学、学生提高 02 张学远新中考·个性化学伴 ◆ 2026年八升九数学暑期训练 D,AC1DE于点E,若∠BAC=60°，AB=4m,则CE= m. A D E 7.(2026广西.中考真题)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE,BE.若AB=4, tan∠DAE= ,则BE= D B 8.(2026浙江温州·二模)如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE、△BCF、 △CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成.若AE=3,GH=1,则tanEAB的值为() B A.3 B台 c. 0. 类型2非直角三角形 9.(2026山东德州.中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,则cosB的值为 () A. B.g c. D. 10.（25-26八年级下山东泰安，期末)如图，点A,B,C都在正方形网格的格点上，则sinA 的值是() 老师备课、家长伴学、学生提高 03 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 B A.月 B.v5 C.2 D.V5 11.（2026陕西，中考真题)如图，正方形ABCD和正方形CEFG,点E在BC的延长线上.若CE= 2BC,则tanzAFC的值为() G E C A.2 B.Z C.5 5 D. 5 考向3解直角三角形的实际应用 类型1俯角、仰角类 12.(2026黑龙江绥化，中考真题)如图，有一小型科学探测器在空中A处探测到地平面目标 B,此时从探测器上看目标B的俯角=30°，探测器飞行的高度AC=60v3,则探测器到目 标B的距离AB约为()（其中V3≈1.732，计算结果精确到0.1） B A.207.8m B.207.9m C.208.8m D.208.9m 13.（2026湖南中考真题)门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC与AB垂直，门CD可 绕C旋转，F是门CD与门吸EF的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF1AB于 点E.已知AC=a,EF=b,∠ACF=a,且a>b,则门吸EF离墙AC的距离AE为() 老师备课、家长伴学、学生提高 04 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 a 门 墙 D uucuim 墙 E A.a.tana B.(a-b)sina C.(a-b)cosa D.(a-b)tana 14.(2026湖北武汉.中考真题)如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城 市地标，在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB的高度.具体过程 如下：如图2，将无人机上升至距水平地面100m的C处，测得龟山电视塔顶端A的仰角为50.5°， 底端B的俯角为45°，则龟山电视塔的高度约是 m(结果取整数，参考数据： sin50.5°≈0.772，cos50.5°≈0.636，tan50.5°≈1.213). 4秀849 50.5° 100m B 地面 图1 图 15.（2026四川广安，中考真题)某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如 下： 活动主题 测量建筑物的高度 D 实物图和测 量示意图 Aa」 B.S (1)测角仪在G处测得建筑物顶D的仰角为a: 测量说明 (2)测角仪在F处测得建筑物顶D的仰角为β： (3)点G,F,E位于同一水平线上，测出AB的长，测角仪的高AG,BF. 测量数据 AG=BF=CE=1.6m,a=35°，B=50°，AB=9.8m 参考数据 sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64， 老师备课、家长伴学、学生提高 05 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 tan50°≈1.19 请根据以上数据求此建筑物高DE的长，（结果保留整数） 16.（2026甘肃天水.中考真题)如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之 高测远”的古法，此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关 键在于观测者巧妙借用测远目标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算.某数学兴趣小 组的成员在黄河南岸的A处观测到黄河北岸的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平 距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测量，于是他们借助“用高上之高测远 的古法，设计了如下解决方案：如图2，设观测点A到塔CD的水平距离为AB（点B,C,D在 同一条直线上)，CD1AB,在点A分别测得塔顶C的仰角LCAB=16.73°、塔底D的仰角 ∠DAB=14.01°，查阅资料可知塔的高度CD=17米.根据以上信息，请你求出观测点A到塔 CD的水平距离AB.(结果精确到1米) 参考数据：sin14.01°≈0.24，cos14.01°≈0.97，tan14.01°≈0.25，sin16.73°≈0.29， cos16.73°≈0.96，tan16.73°≈0.30 B 图1 图2 老师备课、家长伴学、学生提高 06 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 17.(2026甘肃陇南.一模)“实验是获取真知的关键途径”.如图，某校实验楼上悬挂了一块 高为6米的标语牌CD,小明和小亮准备在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离DH, 小明在点E处测得标语牌底部点D处的仰角∠DEN=31°，小亮在点F处测得标语牌顶部点C处 的仰角∠CFN=45°，经测量，AB=10m,测角仪的支架高AE=BF=1.2m,已知CH1 AH,EA1AH,FB1AH,点A,B,H在同一条直线上，点C,D,N,H在同一条直线上，图中所有 点均在同一平面内.求点D到地面的距离DH.(参考数据：tam31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈ 0.86) D田 田 E3145° N 田 B H 18.(2026四川甘孜中考真题)“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理 是将难以一次性完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度.某数 学兴趣小组测量一座山的高度，在山脚A处测得山腰B处的仰角为53°，A,B间的距离为400 米，在山腰B处测得山顶C处的仰角为45°，B,C间的距离为600米.求山高CD.(参考数据： sim53°≈青cos53°≈V2≈1.414.计算结果取整数.) B45 53 A 老师备课、家长伴学、学生提高 07 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 19.(2026四川眉山中考真题)人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷.如 图，在公园内的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的 跨湖桥AB·为确定跨湖桥AB的长度，无人机在桥上方点C处，测得点C距地面的高度为 90米，同时测得桥头点A处的俯角为60：从点C处沿AB方向水平飞行300米到达点D处， 测得桥头点B处的俯角为42°，求桥AB的长度（结果精确到1米）.（参考数据：sin42°≈0.67， cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，V3≈1.73) 60ò 42D 阅览室A B 篮球场 20.(2026河北沧州·三模)某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚（如图1)，其 侧面的示意图如图2所示，其中AB线段代表水平地面，点A,B位于地面：测得主立柱的一段 AC=2m,支柱EF的底端F到A的距离AF=1m,在C处分别测得E处的仰角为45°，M处的仰 角为26.5°，B处的俯角为30°. M 26.5 3 B 图1 图2 (1)求支柱EF的高： (2)求J顶棚M处离地面的高度MB.(参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈ 0.50) 老师备课、家长伴学、学生提高 08 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 21. (2026山东烟台中考真题)【综合与实践】 活动主题 测算矩形广告牌的面积 测量工具 皮尺、无人机、计时器、计算器等 如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11米，BC与水平地面垂直，支柱EF长6.4 测量 米，且垂直于地面.无人机从N点起飞，以3米/秒的速度竖直向上飞行8 过程 秒到达M点，此时测得C点的俯角为67.4°.D点的俯角为36.9°（图中各点 均在同一平面内). 活动 水平线G--材 过程 棋型 建构 参考 sin67.4°≈0.92，cos67.4°≈0.38，tan67.4°≈2.40，sin36.9°≈0.60， 数据 cos36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75 问题解决 求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确到1平方米）· 类型2坡度（坡比）类 22.如图，太阳能板的斜面长度AB为2米，斜面的坡度为1：√3，支撑杆AC垂直于地面(AC1 BC),则AC的长是 米 B 老师备课、家长伴学、学生提高 09 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 23.(2026湖北中考真题)近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源 等领域应用广泛.某台机器人能轻松爬上坡角不超过35°的斜坡.如图，坡角为∠A的斜坡AB 长10m,铅直高度BC长4.7m,∠C=90°.该机器人一定能爬上斜坡AB吗？请判断并说明理 由. (参考数据：sin28°≈0.47，sin35°≈0.57) B 24,(2026四川凉山中考真题)如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN 相距300米的点A观测塔顶M的仰角为30°，斜面AN的坡度i=1:5,点A,B,C,M,N在 同一平面内，AB是桥面，CN是水平线，AB II CN,AB1MN.(计算结果均保留根号) M A30 15 N C.- 水平线 (1)求索塔桥面以上部分MB的高度； (2)求索塔MN的高度. 老师备课、家长伴学、学生提高 010 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 25.（2026四川达州中考真题)在某次“重走革命先辈路"的主题教育活动中，九(6)班同 学需要翻越一座小山.他们由山脚A处出发，先沿坡角为42的山坡行走300m到达B处， 再沿坡角为30的山坡行走200m到达山顶C处.估计这座小山的高度.（参考数据：sin42°≈ 0.67、cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数) B 26.（2026河南新乡.三模)暑假期间，小红一家到某生态旅游区登山.如图，他们从山底A 处出发，先步行300m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角a=15°， 缆车的行驶路线BC与水平面的夹角B=45°，这座山的高度CD=320m,A,B,C,D在同一 平面内. (1)求小红一家步行上升的垂直高度： (2)求缆车的行驶路线BC的长.（结果精确到1m.参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27，v2≈1.41) D 老师备课、家长伴学、学生提高 011 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 类型3方向角类 27.(2026湖南长沙.三模)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东40°方向，距离灯塔80海 里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，此时，P 处与B处的距离约是 海里.（精确到0.1海里，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77， tan40°≈0.84) NA 409 -----B 28.（2026安徽中考真题)湖中有两个小岛，分别用点A,B表示，B在A的北偏东37°方向 上.为了测量A,B间的距离，综合实践小组在观测点C处测得A在C的正北方向，沿着北偏东 56°方向行走至另一观测点D,测得A在D的正西方向，B在D的北偏西53°方向上，平面示意图 如图所示.已知C,D间的距离为660m,求A,B间的距离（精确到0.1m).参考数据：sin56°≈ 0.83,c0s56°≈0.56，sin53°≈0.80，c0s53°≈0.60，sin37°≈0.60，c0s37°≈0.80. 北 东 B 379 53 56o 老师备课、家长伴学、学生提高 012 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 29.(2026河南平顶山三模)机器人竞走比赛（图1）是对机器人运动控制、环境适应等技 术的极限测试，能推动技术迭代，还能普及科技知识，点燃大众对前沿科技的热情.如图2， 在某次比赛中，机器人从点A沿北偏东45°方向直行120m至点B,然后从点B沿南偏西28° 方向直行至点C,若点C在点A的正东方向，求A,C两点间的距离（结果精确到0.1m.参 考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，V2≈1.41). 北 东 28 图1 图2 30.(2026新疆中考真题)如图，甲、乙两艘货船分别从港口A和港口B同时出发向港口C 直线航行运送货物.己知港口A位于港口B北偏西18.4°的方向上，港口C位于港口A北偏 东53°的方向上，AB=100v10海里，AC=500海里，甲船航行速度为10海里/时，乙船的 航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C(结果保留根号)·（参考数 据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin18.4°≈， cos18,4≈3，tanl8,4°≈3 北 西 →东 南 18.4 老师备课、家长伴学、学生提高 013 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 类型4实物建模类 31.(2026吉林长春.一模)五一假期，长春西湖公园迎来了一批露营爱好者.某爱好者搭建 一种“天幕”（如图①），其截面示意图是轴对称图形（如图②)，对称轴是垂直于地面的支 杆AB所在的直线，撑开的遮阳面AC和AD的长均为3.8米.若∠CAD的度数为a,则此“天幕 的宽度CD是() B ① ② A.3.8sina米 B.3.8 cosa米 C.7.6sin米 D.7.6c0s米 32.（2026广东广州二模)图1为一款常见的桌面手机支架，其侧面支撑结构可简化为图2.使 用时，支撑脚BN放置于水平桌面，AC用于支撑手机.若∠B=62°，∠A=56°，AB=8cm, AC=6cm,则点C到BN的距离约为 cm).（结果精确到0.1cm,参考数据：sin62°≈ 0.883,c0s62°≈0.469) 图1 图2 33.(2026河北保定.三模)如图1为某种水龙头关闭时的状态，其中∠FDA=∠DAB=90, AD=5cm,侧面示意图如图2所示，其中∠FAD=60°，当抬起把手放水时，D,F分别到达 点D,F'处，且∠FAF'=50°，则点F'到AB的距离约为 cm.（结果精确到0.1cm,sin80° 取0.98，cos80°取0.17，tan80°取5.7) 图1 图2 34.宇同学课间去老师办公室，发现老师的办公桌上放着部分同学的档案盒，其中10个竖直 放置，左边一个向右侧倾斜靠着其他10个放置，档案盒CD与竖直放置的档案盒的夹角 老师备课、家长伴学、学生提高 014 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 ∠DCB=37°，DF=71cm,档案盒长CD=35cm.帮助小宇同学用学过的数学知识计算出档 案盒的厚度（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75). 35.某些中国古代文献中记载了一种传统作画工具一一界尺，它在界画绘制时用以作出平行 线.图1为界尺的实物图，从机械原理看，界尺实际上是一个平面连杆机构.受此启发，越 越同学制作了如图2的简易作平行线工具(AB,BC,CD,DA的宽度忽略不计)，己知连杆ABI CD,AB=CD=16cm,在某次绘制时，测得∠DCB=42°.求这次绘制的两条平行线AD与BC 间的距离.（结果精确到0.1cm)(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74) B 图1 图2 36.如图是某城市地标性建筑，图案呈三角形状，数学兴趣小组利用课余时间去测量该建筑 的高度，经过了解和测量得到如下数据，从点A看点C的仰角是70°，从点C看点B的仰角为30°， AC=20m,BC=30m,且M、N、A、B、C各点都在同一个平面内.求建筑最高点B离地面MN 老师备课、家长伴学、学生提高 015 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 的高度.（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75). C30° 70 M N 37.（2026四川宜宾中考真题)宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽.某校九年级学习小组带 着皮尺和测角仪来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧， 圆弧下面有25根柱子，每两根柱子之间的距离为4米（如图2)，组长站在最中间柱子EC 正下方，背对车站向正前方走了20米到达F点，转身测得D、E两点的仰角分别是50.3°和58 (不计测角仪的高度)（如图3）· C B 图1 图2 图3 (1)求DE的长； (2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径， (结果保留整数.参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin50.3°≈0.77， c0s50.3°≈0.64，tan50.3°≈1.20.） 老师备课、家长伴学、学生提高 016 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 38. (2026山西.中考真题)项目式学习 项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件.下图为山西某古建 筑大殿内顶部的藻井.某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内 藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告. 项目主题 藻井的调查与测算 驱动任务 调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩 工艺 的三层结构， 调查 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方 造型 形井、菱形井、菱形井， 对象 中间层菱形井中较长对角线的长 图1为藻井仰视平面图，其中线段AB为中间层菱形井较长的对角线 活动 (点A,B在同一水平直线上)；图2为测量方案示意图，其中测量 过程 点C,D在同一水平直线上，且点A,B,C,D在同一竖直平面内. 图示 可B 测算 图1 图2 在点D处测得点A的仰角为60°，AD=6米；在点C处测得点B的仰角 数据 为45°，CD=11米. 结果 活动反思 请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长（结果精确到0.1米，参考数据：V3≈ 1.73). 老师备课、家长伴学、学生提高 017 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 39.(2026江苏南京三模)现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰 酸颈痛.使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角"α为20°（望向屏 幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角)，小臂水平放在桌面上；肘部形成的“手 肘角"B为100°，如图1所示.（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin80°≈ 0.98,cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin69°≈0.93) D E A-I0 H 图1 图2 图3 (1)如图2，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角"a为20°，BC=24cm时，求眼睛与屏 幕的距离为多少厘米.（结果精确到1cm) (2)如图3，肩膀到水平地面的距离DG=100cm,大臂DE=30cm,小臂水平放在桌面EF 上，桌面到地面的距离FH=72cm,通过计算判断此时是不是正确坐姿.若是，请说明理由： 若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角"B为100°？ 类型5跨学科类 40.如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为i=1:√2，如果它把物体送到离地面3 米高的地方，那么物体所经过的路程为 米 1)B 老师备课、家长伴学、学生提高 018 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 41.材料阅读： 光从空气斜射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射 我们把入射角α的正弦值和折射光线与法线夹角B的正弦值之比称为折射率(n)，即n=血c sinβ 法线！空气 0 水 如图，矩形ABCD为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O,折射后照到水槽底部 的点Q,测得∠N0Q=37°，NC=11cm.若P,0,C三点在同一条直线上，已知光线从空气 进入水中时的折射率为请依据相关材料解决下列问题： (1)sin/POM= (2)求0C的长.（结果精确到0.1cm:参考数据：sin37°≈号cos37°≈专tan37°≈孕 42.（2026江苏苏州中考真题)如图①，点O位于竖直墙面上，平面镜AB与墙面平行，从 点O射出一束激光，经过平面镜AB的反射，在墙面l上形成一个光点C,OC所在直线垂直于水 平面.入射光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA=60°.（根据光的反射定律可知：反射光线与 镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角) 老师备课、家长伴学、学生提高 019 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 (1)求证：△0PC是等边三角形： (2)如图②，将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到AB′位置，入射光线0P经过平 面镜的反射后，在墙面l上形成光点E,点E在直线OC上. ①L0PE=; ②若0C=60厘米，求光点向下移动的距离CE的长.（结果保留根号） B 图① 图② 类型6其他 43.(2026江苏南京三模)一支竹竿插在水底固定处，第一次露出水平面3尺，第二次露出 水平面4尺，已知两次与水平面的夹角分别是53°与62°，求竹竿的长度与水底固定处到水平 面的距离. (sin53°≈专，sin62°≈) 4尺/3尺 水平面 6253 B水底固定处 老师备课、家长伴学、学生提高 020 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 44. (2026陕西.中考真题)渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502km.某数学兴 趣小组开展测量渭河河道宽度的实践活动.他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直 的河道开展活动，记录如下： 活动主题 测量渭河某段河道的宽度 活动方案 方案一 方案二 测量示意图 1.在河道一侧的岸边选取两个观测点 1.在河道一侧的岸边选取两个观测点 B,C,分别在AB,AC的延长线上选 B,C; 取点D,E,使得DE IBC: 测量过程 2.测量LABC,∠ACB的度数； 2.测量B,C两点之间的距离，D,E 3.测量B,C两点之间的距离. 两点之间的距离，BC与DE之间的距离 h. ∠ABC=45°，∠ACB=63.4°，BC= BC=120m,DE=150m, 测量数据 120m. h=20m. 1.点A是为了测量河道的宽度， 在河道另一侧的岸边选取的参照点： 备注 2.图中所有点均在同一平面内： 3.参考数据：sin63.4°≈0.89，c0s63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00 请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A到BC的距离）· h4h密金 老师备课、家长伴学、学生提高 021 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 B能力提升练 45.(2026广东深圳三模)由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如 图，在△ABC中，∠A=30°，tanB AC=2V3,求AB的长”.小南查找了书本提供的 答案：AB=5,通过计算得知污渍部分的内容是() A.9 B.1 c.9 D. 46.（2026广东韶关，二模)如图，在方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D 都在格点处，AB与CD相交于点P,则sinzAPC的值为() A.V2 B.9 C. D.1 47.(2026山西临汾三模)将一副三角尺按如图所示的位置放置，已知∠ACB=∠D=90,∠A= 60°，∠CBD=45°，BC=6,AB与CD交于点E,则线段CE的长为 D 48.（2026宁夏银川三模)“银川阅海欢乐岛”摩天轮是银川目前最高的观景摩天轮，其示意 图如图所示.该摩天轮高123m(即最高点离水面平台MW的距离)，圆心O到MN的距离为 63m.某轿厢从最低点A出发顺时针旋转至点B,此时B到水平台MW的距离恰好为93m,则 轿厢所经过的路径（即劣弧AB)长度为 m.（结果保留π) B 老师备课、家长伴学、学生提高 022 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 49.(2026贵州中考真题)项目课题：设计无障碍坡道， 项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20.如 图①是小红所在学校的无障碍坡道. (坡度一坟面的铅直高度 ”坡面的水平宽度 项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC=4.8米，坡角LBAC=14°.为检测该坡道是否符 合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计. F 图① 图② 图③ 任务： (1)如图②)，根据已知数据，求出铅直高度BC的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要 求，并说明理由； （2)如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20米.小红设计了一个 “回转坡道"的方案示意图：在F处安装支柱DF=0.8米，在E处留EC=2米的通道，入口为点E, 经过两个坡道ED与DB再到达点B,且EF=16米.在满足地面限制条件下，小红设计的方案图 是否符合标准？如果符合，请说明理由：如果不符合，请提出修改建议.（参考数据：tan14°≈ 0.25,sin14≈0.24，c0s14°≈0.97) 老师备课、家长伴学、学生提高 023 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 50.(2026四川泸州中考真题)如图，某海岸线上有一观测点A,在点A的正东方向上有两个 观测点c,D,且A,C相距20 nmile..某日上午8点，测得一艘轮船位于点A的北偏西30°方向上 的B处，且与A相距20 nmile,并沿固定方向匀速行驶，上午12点测得该轮船位于点c的北偏东 30°方向上的E处，且C,E相距60 nmile,此时点D到E的距离是D到c的距离的2倍. (1)求该轮船的航行速度： (2)求点D,E间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值)· 51.(2026江西中考真题)为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习 的镜面反射法进行测量，具体研究方法与过程如表： 具体问题 利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度 主要工具 无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺 水平线- 反射镜 截面示意图 B/D 老师备课、家长伴学、学生提高 024 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 1.在水平地面上选定一个激光发射点A,使A位于土坑上底面直径DE所在的直 线上： 2.操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方： 3.调整反射镜与水平线的夹角8，使得从A处发出的激光经反射镜C处反射后恰 操作步骤 好到达坑底最右端F处： 4.在线段AD上确定一点B,使得从B处发出的激光经反射镜C处反射后恰好到达 坑底最左端G处， (以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内) 测量数据 AB=18m,DE=12m,∠CAB=30°，∠CBD=60°，0=22.5°. 参考数据 sim75°≈0.966，c0s75°≈0.259，tan75°≈3.732，V3≈1.732. 根据以上信息，完成下列任务.（结果精确到0.01m) (1)任务一：计算点c离水平地面的高度： (2)任务二：计算∠GCF= °，∠BCG= (3)任务三：计算土坑的深度. 52.(2026江苏连云港.中考真题)【生活观察】 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽 象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后轮 的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离)AB=1.5m,前轮转向角θ即∠CBD=30°，则旋转半径 OB=m. 老师备课、家长伴学、学生提高 025 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 【类比探究】 (2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定 的转向角行驶.与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象 为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）· 如图3，某款家用汽车宽AB约为2m,轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角即∠ECF= 20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH的度数 （参考数据：tan20.6°≈吾tan26.6°≈sin20.6°≈名，tan33.6°≈子tan18.5°≈) 【综合实践】 (3)如图4，汽车在直角处进行转弯.若(2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C, D与直角拐点Q共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为5m,车辆左侧与实线PQ的距 离为1m.现右前轮欲以固定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线）， 请直接写出sine的范围 FE B A 图1 图2 图3 5m D 777777777777777☑ 3m P 2m 图4 图5 老师备课、家长伴学、学生提高 026 张学远新中考·个性化学伴 2026年八升九数学暑期训练 C素养强化练 53.(2026浙江温州三模)某小组对两角和的正切公式tam(a+) ama+aB的证明产生浓厚 1-tana.tanβ 兴趣. 【背景阐述】 已知：如图所示，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE,过点E作EF L AE交CD边于点F(点 F不与C,D重合)，连结AF.记LBAE=,∠EAF=B（其中au,B均为锐角，且aW+B<90°)· D a+B B E 求证：tan(a+B)= tana+tanB 1-tana-tanB 证明：不妨设AB=1, 则在矩形ABCD中，∠B=∠C=90. 故am-器-5即BE=tana. 因为EF1AE,所以LAEB+∠CEF=90°. 因为∠AEB=90°-a,所以∠CEF=a. 故△EGCF~△AB,从而器-需-需 而在Rt△ABF中，E=anB. AE … 【特例探试】 (1)利用“两角和的正切公式"求tan72的近似值.（参考数据：tan27°≈0.5) 【推理验证】 (2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：tan(a+B)=ama+ag 1-tana-tanB 老师备课、家长伴学、学生提高 027