29.1.2 过三点的圆（分层作业·练题型）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 分层清晰，从基础巩固到思维拔高，覆盖外心概念、性质、反证法等核心知识点，通过阶段检测与中考真题衔接，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|外心概念辨析、确定、坐标及半径计算，反证法基础|以选择、填空题为主，结合阶段检测题，强化单一知识点理解| |B组能力进阶|外心性质综合应用，确定圆的条件实际情境题|融入网格作图、动态几何，提升空间观念与问题解决能力| |C组思维拔高|外心位置与三角形形状关系，反证法逻辑推理|含探究性问题，如“等弦圆”定义应用，发展创新意识| |拓展链接中考|中考真题及模拟题，如外心与二次函数综合题|对接中考考点，培养数学语言表达与综合应用能力|

分层作业 29.1.2 过三点的圆 目 录 A组 巩固过关 题型01外心概念的辨析 题型02外心的确定 题型03求外心的坐标 题型04求三角形外接圆的半径 题型05外心性质的应用 题型06确定圆的条件 题型07列举反证法的反例 题型08用反证法证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 外心概念的辨析题型01 1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 2．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 外心的确定题型02 5．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A．B．C． D． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 7．（2026·河南商丘·二模）如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)以为直径作，与交于点Q，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长度． 求外心的坐标题型03 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 求三角形外接圆的半径题型04 10．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 11．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 外心性质的应用题型05 12．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 14．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点C的位置变化而变化 确定圆的条件题型06 15．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 16．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 列举反证法的反例题型07 18．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 19．已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 用反证法证明题型08 21．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）用反证法证明命题：“若，且，则”． 22．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，求证：．（用反证法证明） 23．（25-26七年级下·福建福州·期末）根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） (2)在中，若，求证：． 24．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论时，可假设（     ） A． B． C． D．与不平行 25．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 26．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 28．（2026·河南平顶山·一模）如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 29．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 30．（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 31．（25-26七年级下·上海虹口·期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点、，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 (1)证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点， 所以____________（                        ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． (2)证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点作直线，则． 因为， 所以（                          ）， 因为， 所以_________________（                         ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 32．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过四条） (1)在图1中，确定的外心； (2)在图1中，画出线段的垂直平分线； (3)在图2中，确定一个不与点重合的格点，使得； (4)在图2中，在边上确定一点，使． 33．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．三个角都小于或等于 B．三个角都大于或等于 C．三个角都小于 D．三个角都大于 34．已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 35．（25-26七年级下·北京昌平·期末）某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 36．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 37．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（   ） A． B． C． D． 38．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，则________°；设点是该抛物线对称轴上的一点，若，则点的坐标为_______． 39．（2026·江苏连云港·三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 40．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 41．（2026·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在等边三角形中，，是边上的一点，且，连接，求的面积； 问题解决 （2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地用来种植花卉，并在其中修一条观赏小路（小路的宽度不计），点在边上．若要求：，．请问是否存在满足上述条件的面积最大的？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 42．（2026·广东茂名·二模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 43．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 44．（2026·江苏连云港·中考真题）下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 45．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 46．（2026·安徽·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 试卷第2页，共44页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 29.1.2 过三点的圆 目 录 A组 巩固过关 题型01外心概念的辨析 题型02外心的确定 题型03求外心的坐标 题型04求三角形外接圆的半径 题型05外心性质的应用 题型06确定圆的条件 题型07列举反证法的反例 题型08用反证法证明 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 外心概念的辨析题型01 1．对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 2．（2025·江苏南京·中考真题）下列图形中，一定有外接圆的是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】A 【分析】本题考查了外接圆．外接圆是指多边形的所有顶点都在同一个圆上．三角形一定有外接圆，因为三角形的三条垂直平分线交于一点（外心），该点到各顶点距离相等，四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵任何三角形的三条垂直平分线都交于一点（外心）,且外心到三个顶点的距离相等， ∴ 三角形一定有外接圆， 四边形、五边形、六边形不一定有外接圆，只有特殊的多边形（如圆内接多边形）才有， 故选：A 3．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）以下命题：①经过三点一定可以作一个圆；②优弧一定大于劣弧③相等的弦所对的弧也相等；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；其中错误的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了圆的相关概念以及三角形外心的性质，解题的关键是准确掌握圆的确定、弧的大小比较、弦与弧的关系以及三角形外心的定义． 根据圆的确定条件、优弧与劣弧的定义、弦与弧的关系以及三角形外心的性质，对每个命题进行分析判断，统计错误命题的个数． 【详解】命题①：经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，若三点在同一直线上，则不能作圆，所以该命题错误； 命题②：在同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，缺少“同圆或等圆”的条件，该命题错误； 命题③：在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧（优弧和劣弧）分别相等，缺少“同圆或等圆”的条件，该命题错误； 命题④：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，该命题正确． 综上，错误的命题有①②③，共3个， 故选：B． 4．如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外心，根据外心的形成和性质直接判断即可． 【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，该点是到三角形三个顶点的距离相等， 如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于． 故选：C 外心的确定题型02 5．（25-26九年级上·山东日照·期中）根据图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定的外心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外心的定义． 根据三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点进行求解即可． 【详解】解：∵三角形外心是三角形三条垂直平分线的交点， ∴四个选项中只有A选项作图方法是垂直平分线的尺规作图， 故选：A． 6．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的外心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外心的定义，根据三角形三边垂直平分线相交于一点，这一点叫做它的外心，据此解答即可求解，掌握三角形的外心的定义是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得，，，， ∴， ∴点是的外心， 故选：． 7．（2026·河南商丘·二模）如图，在中，，，，P是的中点，用无刻度直尺和圆规作图并解答问题． (1)以为直径作，与交于点Q，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求的长度． 【答案】(1)如图所示，即为所求 (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点O，再以O为圆心，为半径作圆，与交于点Q，连接； （2）由勾股定理求出，证明，根据相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：由（1）可知，为的直径， ， 在中，，，， ， 是的中点， ， ，， ， ，即， ． 求外心的坐标题型03 8．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的外心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的外心，熟练掌握三角形的外心是解题的关键；根据三角形的外心可分别作出线段的垂直平分线，它们的交点即为三角形的外心，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：的外心坐标是； 故选B． 9．（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）在平面直角坐标系中的位置如图所示，．其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图： (1)将绕点逆时针旋转得到； (2)求出（1）中旋转过程点经过的路径长； (3)连接，的外心坐标是_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查作图﹣旋转变换，弧长公式，勾股定理，三角形外心的定义，熟练掌握旋转和三角形外心的定义是解答本题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）连接，利用勾股定理求出，再旋转角为，利用弧长公式计算即可； （3）利用网格的特征作的中垂线，交于点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：由题意，得，且旋转角为， 则点经过的路径长为； （3）解：如图所示，作的中垂线，交于点， 则的外心坐标为， 故答案为：． 求三角形外接圆的半径题型04 10．在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 11．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 外心性质的应用题型05 12．如图，已知点是的外心，，连接，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外心的性质以及圆周角定理，掌握“三角形的外心是其外接圆的圆心”、“同弧所对的圆心角的度数是圆周角的两倍”知识点是解题的关键． 由已知点是的外心，说明点是外接圆的圆心，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：点是的外心，， 是圆周角，是同弧所对的圆心角， ． 故选：C． 13．（2025·河北邯郸·三模）对于题目：“已知：点O为的外心，，求的度数．”小亮的解答：画出以及它的外接圆，连接，，如图，由，得．下列判断正确的是（　　） A．小亮的求解不正确，或 B．小亮的求解正确 C．小亮的求解不正确，应该等于 D．小亮的求解不正确，的度数不固定 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理以及外心的性质，运用了分类讨论思想，讨论是锐角三角形还是钝角三角形是解决本题的关键． 本题涉及圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，注意的是，需讨论是锐角三角形还是钝角三角形求解即可． 【详解】解：当是锐角三角形时，如图， 已知点O为的外心，连接，， 此时是圆心角，是圆周角，且， 即； 当是钝角三角形时，如图， 同样连接，，， 此时可得， 则四边形为圆的内接四边形， 所以， 总结，小亮只考虑了锐角三角形的情况，求解不正确，或． 故选：A． 14．（25-26九年级上·福建南平·期末）如图，在直角三角形中，，点D在外接圆上，且平分，则的大小为（   ） A． B． C． D．随点C的位置变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的外接圆，圆周角定理，根据角平分线的定义，得到，根据圆周角定理得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵点D在外接圆上， ∴； 故选B． 确定圆的条件题型06 15．（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 【详解】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 16．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段检测）已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 17．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）当，，三点可以确定一个圆，求n的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了确定圆的条件及坐标与图形的性质，三点能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线的解析式，然后点C不满足求得的直线即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴若点在直线上， 则有， ∴当点，，三点可以确定一个圆时，则n需要满足的条件为， 所以n取值范围是． 列举反证法的反例题型07 18．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需要假设原命题结论不成立，原命题结论为“是负数”，即， ∴假设结论不成立，即为不是负数，可得． 19．已知中，求证．若用反证法证这个结论，应首先假设（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设待证结论不成立，即假设结论的反面成立，据此即可确定答案． 【详解】解：本题要证明的结论是，其反面为， ∴ 应首先假设． 20．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（     ） A．有两个锐角都不大于 B．只有一个锐角不大于 C．有两个锐角都大于 D．只有一个锐角大于 【答案】C 【详解】∵用反证法证明命题，需要先假设结论的反面成立． 原结论为“直角三角形中至少有一个锐角不大于”， “至少有一个不大于”的否定为“全部都大于”， 又∵直角三角形有且仅有两个锐角， ∴应假设两个锐角都大于． 用反证法证明题型08 21．（25-26七年级下·江苏无锡·阶段检测）用反证法证明命题：“若，且，则”． 【答案】证明：假设， 当时，， ∴与条件矛盾； 当时，， ∴与条件矛盾； ∴原假设不成立，原命题成立． 【分析】假设，分两种情况分析，当时，当时，分别验证即可． 【详解】略 22．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）在中，，，求证：．（用反证法证明） 【答案】见解析． 【分析】假设，通过三角形内角和定理可得，所以，与相矛盾，从而求证． 【详解】证明：假设， ∵， ∴， ∴， ∴，与相矛盾， ∴不成立， ∴． 23．（25-26七年级下·福建福州·期末）根据题意，完成下列各题 (1)证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） (2)在中，若，求证：． 【答案】(1)已知：在中，， 求证：， 证明：过点A作于点D， 则， 在和中， ， ∴， ∴． (2)证明∶假设不成立，则有， (1)假设，则，与矛盾， ∴不成立； (2)假设， 过A作，D在线段内， 则， ∵，， ∴， 这是和矛盾的， ∴不成立， ∴只能． 【分析】（1）根据题意写出已知，求证，然后过点A作于点D，证明，即可得出． （2）利用反证法证明即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：略． 24．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）如图，用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”这个结论时，可假设（     ） A． B． C． D．与不平行 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，第一步应假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立， 原命题的结论是“两条直线不平行”，其反面是“两条直线平行”，据此可得答案． 【详解】解：用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行” 时，首先要假设结论不成立， ∵ 原命题的结论是“两条直线不平行” ， ∴ 其反面是“两条直线平行”， ∴首先要假设． 25．如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 26．（2026·山东德州·一模）如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．（2026·河北石家庄·二模）如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 28．（2026·河南平顶山·一模）如图， 是圆内接三角形，为圆的直径． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． (2)过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．若，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)解：点即为所求， (2)证明：如图，过点的直线交的延长线于点，为边的中点，连接，，．并作， 是直径， ， 是的中点， ，即， ， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【分析】（1）因为是直径，所以找到的中点即是圆心； （2）根据题干画出图形，同时根据圆的圆周角性质和垂径定理及推论可以得出四边形是矩形，若，则，平行且等于，所以四边形是平行四边形． 【详解】（1）略 （2）略 29．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，中， (1)用直尺和圆规作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求的外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图，复杂作图、等腰三角形的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得的外接圆． （2）连接并延长，交于点D，连接，可得，即可得，，在中，根据勾股定理得，，设的外接圆的半径为x，则，，在中，根据勾股定理得，，代入求出x的值即可． 【详解】（1）解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆， 则即为所求． （2）解：连接并延长，交于点D，连接， 得， ， 在中，根据勾股定理得，， 设的外接圆的半径为x， 则，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得 的外接圆的半径为． 30．（2026·河北保定·三模）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 31．（25-26七年级下·上海虹口·期末）用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”．反证法是数学中常用的一种证明方法，其步骤是：（1）先假设求证的结论是错误的；（2）由此推导出与已知定义、公理、定理或条件等相矛盾的结果；（3）从而否定开始的假设，肯定先前求证的结论的正确性． 如图，已知：直线、被直线所截，分别交、于点、，， 求证：． 把以下证明过程补充完整 (1)证法一：如图1，假设直线与直线不平行，且与相交于点， 所以____________（                        ）， 所以____________ ，这与“”矛盾， 故假设不成立，所以． (2)证法二：如图2，假设直线与直线不平行，那么可以过点作直线，则． 因为， 所以（                          ）， 因为， 所以_________________（                         ）， 这与“”矛盾，故假设不成立，所以． 【答案】(1)；三角形内角和等于；； (2)两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等 【分析】根据反证法的基本步骤，结合三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 32．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，，，三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．（每个问题的画线不得超过四条） (1)在图1中，确定的外心； (2)在图1中，画出线段的垂直平分线； (3)在图2中，确定一个不与点重合的格点，使得； (4)在图2中，在边上确定一点，使． 【答案】(1) 的外心如图所示： (2)线段的垂直平分线如图所示； (3) 点如图所示： (4) 点如图所示． 【分析】（1）利用三角形斜边中线的性质知，与中间格线的交点为外心； （2）构造正方形，则是线段的垂直平分线； （3）构造圆内接四边形，则； （4）构造正方形，则，记与格线的交点为，连接交于点，则． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）解：∵，， 又∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是圆内接四边形， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 33．（25-26八年级下·浙江台州·期末）用反证法证明命题“在三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（    ） A．三个角都小于或等于 B．三个角都大于或等于 C．三个角都小于 D．三个角都大于 【答案】C 【详解】解：∵用反证法证明命题，第一步需假设原结论不成立 原命题结论为“在三角形中，至少有一个内角大于或等于” ∴该结论的反面为“三角形的三个内角都小于” 因此应先假设三个内角都小于． 34．已知点、为抛物线 （a为常数， ）上的两点，当 ， 时（     ） A．若 ，则 B．若，则 C．若 ，则 D．若，则 【答案】B 【分析】先求得抛物线对称轴为，开口向上，点离对称轴越远函数值越大，且恒大于，A取反例，两点在对称轴右侧，由右侧随增大而增大得，判定A错误；B要恒成立需所有到轴距离均大于，时满足该条件，则无法保证，判定B正确；C取反例，离对称轴更远得，与结论矛盾，判定C错误；D取反例，满足但，与结论矛盾，判定D错误． 【详解】解：∵抛物线 ， ， ∴抛物线开口向上，对称轴为 ， 又∵ ， ， ∴， 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，函数值越大，同时在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大， 对于A：取 ，此时 ， ，两点都在对称轴右侧， 随增大而增大，得，故A错误，该选项不符合题意； 对于B：要使恒成立，需保证所有满足条件的，到对称轴的距离都大于所有到对称轴的距离， 当时：，所有都在对称轴左侧，且到对称轴的距离都大于； 在到之间，结合，任意到对称轴的距离恒大于任意到对称轴的距离， 因此所有离对称轴更远，恒成立， 反之，若，则会出现离对称轴更远的情况，无法保证， 因此“若，则”成立，故B正确，该选项符合题意； 对于C：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都大于，到对称轴的距离都小于， 根据开口向上“距离越远值越大”的规律，可得与结论矛盾，故C错误，该选项不符合题意； 对于D：取，此时在到之间（对称轴左侧），在到之间（对称轴右侧）， 到对称轴的距离都小于，到对称轴的距离都大于，因此<，但此时，与结论矛盾，故D错误，该选项不符合题意． 35．（25-26七年级下·北京昌平·期末）某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（     ） A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小 C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小 【答案】B 【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项． 【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件： 1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙； 2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙； 3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋； ∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。 ∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大， ∴ 乙的年龄大于丙的年龄； 又∵ 乙比前锋年龄小， ∴ 前锋年龄大于乙的年龄； 得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小． 综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确． 36．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有两个不相等的有理根，则a，b，c不可能全为奇数”时，应先假设（     ） A．a，b，c全为偶数 B．a，b，c至多有一个奇数 C．a，b，c全为奇数 D．a，b，c至多有两个奇数 【答案】C 【分析】反证法证明命题时，需先假设原命题的结论不成立，只需对原结论进行否定即可得到所求假设． 【详解】解：∵反证法证明命题时，第一步要假设原命题的结论不成立，命题需证明的结论为：，，不可能全为奇数， ∴该结论的否定为：，，全为奇数，即应先假设，，全为奇数． 37．（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）已知，点C满足，作射线，使得，作于点H，则长的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，切线的性质定理，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由四边形是矩形，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求得，从而可得，于是可得，从而可求得长的最大值． 【详解】解：作的外接圆，圆心为点，连接， ∵，， ∴是圆的直径， ∴， 作于点，于点， 则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ∴长的最大值是， 故选：A． 38．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，连结，，则________°；设点是该抛物线对称轴上的一点，若，则点的坐标为_______． 【答案】 或 【分析】利用交点式求得抛物线的解析式，进而求得C的坐标，通过解直角三角形求得，由，得到，即，求得抛物线的对称轴，设对称轴与x轴的交点为，则，连接，则是等边三角形，，故符合题意，作等边三角形的外接圆，交直线于另一点，求得三角形外心M的坐标，然后求得，利用圆周角定理即可判断符合题意． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于两点， 函数解析式为， 令，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 二次函数的图象与x轴交于两点， 抛物线的对称轴为直线， 设对称轴与x轴的交点为，则，连接， ， 是等边三角形， ， 符合题意， ∴， ∴， 作等边三角形的外接圆，交直线于另一点， 垂直平分， M在轴上，， 连接， M是等边的外心， ， ， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得： 解得 ∴直线的解析式为， 直线平行于y轴， 当时， ∴， ， 符合题意， 综上，点P的坐标为或． 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，数形结合是解题的关键． 39．（2026·江苏连云港·三模）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为10的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为______． 【答案】 【分析】根据题意画出相应的图形，利用圆周角定理、直角三角形的边角关系以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 如图，与等腰直角的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等， ∵同一个圆中，弦相等则弦心距相等， ∴等弦圆的圆心到等腰直角三条边的距离相等，故圆心就是等腰直角的内心， ∴当过时，且在等腰直角三角形的三边上截得的弦相等，即，此时最大， 过点分别作弦的垂线，垂足分别为，连接， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得：， 即， 在中，， ∴． 40．（2026·甘肃平凉·一模）定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 41．（2026·陕西·模拟预测）问题提出 （1）如图1，在等边三角形中，，是边上的一点，且，连接，求的面积； 问题解决 （2）如图2，某园区管理员准备规划一块平行四边形的土地用来种植花卉，并在其中修一条观赏小路（小路的宽度不计），点在边上．若要求：，．请问是否存在满足上述条件的面积最大的？若存在，求出其最大面积；若不存在，请说明理由．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在，最大面积为 【分析】（1）过点作于点，根据三线合一的性质求出，根据勾股定理求出，然后根据三角形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形的性质求出，连接，可求出，判断点在的外接圆的优弧（不含）上运动，则当，即时，最大，此时为等边三角形，根据三角形面积公式求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作于点， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）存在． ∵在中，， ∴，且， ∴． 如图，连接， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∵， ∴点在的外接圆的优弧（不含）上运动，如图所示， ∴当，即时，最大，此时为等边三角形， ∴的最大值 ∴面积的最大值为：， 综上可知，存在满足条件的面积最大的平行四边形，其最大面积为． 42．（2026·广东茂名·二模）问题提出 (1)如图①，在中，，，求面积的最大值______． 问题探究 (2)如图②，点是上任意一点，点在外，已知，，是等边三角形，求的面积最大值； 问题解决 (3)如图③，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在上方作，使，连接，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大，如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，，得出为等边三角形，则，，求出，则由三角形面积公式可得出答案； （2）如图所示，以为边作等边，连接，可证，可得，点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上其在点的上方时，的面积的最大值，根据等边三角形，含角的直角三角形的性质可求出，的值，根据三角形的面积即可求解． （3）如图，作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，推出点在半径为的上，由此即可解决问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 【详解】（1）解：作出的外接圆，连接，，当的边上的高经过点O时，面积最大， 如图，过点O作，并延长交圆于点，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 即面积的最大值. （2）解：如图所示，以为边作等边，连接，    ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，且，， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心的圆上，且半径，过点作于点，即是的垂直平分线，当点在上且在点的上方时，的面积取得最大值， ∴在中，，，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， （3）解：∵，， ∴，， 如图，连接，作，使得，，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即（定长）， ∵点是定点，是定长， ∴点在半径为的上， 过点作，交于点，则当点D在点的上方时，的面积取得最大值， ∵， ∴， ∴． 43．（2026·福建南平·二模）如图，二次函数（其中）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 (1)点B的坐标为______，点C的坐标为_______； (2)若点D为的外心，判断的形状并说明理由； (3)若点D为的外心，与的面积之比为，求二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2)解：是等腰直角三角形， 理由：由（1）知点，点，点， ∴，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵点D为的外心， ∴，即是的内接三角形，如图： ∴， ∴是等腰直角三角形； (3) 【分析】（1）在中，分别令，，即可求解； （2）由（1）知点，点，点，可得，易证是等腰直角三角形，且，根据点D为的外心，得到是的内接三角形，利用圆周角定理可得即可说明； （3）由（2）得是等腰直角三角形，易证，结合已知可得，求出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得，即， 解得，， ∴点，点， 在中，令得， 点； （2）略 （3）解：由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ， ∵点，点，点， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； ∴二次函数的表达式为． 44．（2026·江苏连云港·中考真题）下列命题为真命题的是（     ） ①若，则；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5的整数，能被5整除； ④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等． A．①②⑤ B．③④ C．④⑤ D．①③ 【答案】B 【详解】解：逐个判断命题： ①若，则，例如，满足但，①是假命题； ②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题； ③末尾数字是5的整数可表示为 ，其中为整数，该数是5的倍数，能被5整除，③是真命题； ④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题； ⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相等但不全等，⑤是假命题； 综上真命题为③④． 45．（2025·江苏徐州·中考真题）“连弧纹镜”为战国至两汉时期备受推崇的铜镜设计，通常由六到十二个连续的等弧连成一圈，构成了别具一格的装饰图案．图1为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”，纹饰中有八个连续的弧连成一圈．图2为另一件连弧纹镜（残件）的示意图． (1)若将图2中的连弧纹镜补全，则该铜镜应为“_______连弧纹镜”； (2)请用无刻度的直尺与圆规，补全图2中所有残缺的弧，使其“破镜重圆”．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)七 (2) 如图所示，即为所求， 【分析】此题考查确定圆的条件、垂径定理等知识． （1）连接一段等弧两端点构造弦，在圆上依次截取相同长度的弦，即可得到答案； （2）先确定两个同心圆的圆心，补全两个同心圆，再依次找到等弧的圆心，即可补全等弧． 【详解】（1）七 （2）略 46．（2026·安徽·中考真题）项目式学习 【项目主题】 一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为． 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数．本项目只研究形如的勾股数． 【规律探究】 分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 序号 2 1 1 3 1 2 2 3 4 1 4 2 5 3 6 … … … … 【规律应用】 根据上表规律，请完成下列问题： (1)，对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____； (2)勾股数对应的_____，_____； (3)序号为15的勾股数是（_____，_____，_____）． 【项目拓展】 (4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明． 【答案】(1)24，10，26，7 (2)6，1 (3)11，60，61 (4)不正确， 理由：当，时，，序号为； 当，时，，序号为； ∵，， ∴序号从10增加到11时，的值减小， ∴他的猜想不正确． 【分析】（1）根据表格中的规律求解即可； （2）根据题干中勾股数的定义可得，，，把、两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入求解即可； （3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为组，然后根据题意得出，求出k的值，即可求解； （4）举反例说明即可． 【详解】（1）解∶当，时，，，， ∴，对应的勾股数是，序号为7； （2）解：根据题意，得，，， ∴，即， 又， ∴， 把代入，得， 解得， ∴勾股数对应的，； （3）解：由表格知，当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； 当时，符合题意的勾股数有组； …… 当（的整数）时，符合题意的勾股数有组； 此时一共有组勾股数， 当时，解得或（舍去）， ∴序号为15时，，， ∴，，， 序号为15的勾股数是； （4）略 试卷第2页，共44页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $