重难点01 二元一次方程组应用题专项（13大题型讲义）2025-2026学年人教版七年级数学下册

重难点01 二元一次方程组应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二元一次方程组应用题解题基本步骤 知识点二 二元一次方程组应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 根据实际问题列二元一次方程 题型2 方案选择问题 题型3 行程问题 题型4 工程问题 题型5 数字问题 题型6 年龄问题 题型7 分配问题 题型8 销售利润问题 题型9 和差倍分问题 题型10 几何问题 题型11 图表信息问题 题型12 古代问题 题型13 开放性问题 常考考点 命题风向 1. 实际场景建模能力：从文字、图表、古文等题干中提取两组独立等量关系，正确设元并列出二元一次方程组，是本专题核心基础考点。 2. 经典题型公式应用：覆盖行程、工程、销售利润、分配配套、数字、年龄、和差倍分、几何图形八大类题型，掌握对应数量关系公式与方程构建逻辑。 3. 方案选择与优化：结合限定条件列举可行方案，通过方程组求解验证方案合理性，对比总成本、总收益选出最优方案，是中档题核心考点。 4. 解题流程规范：掌握 “审 — 设 — 列 — 解 — 验 — 答” 六步解题法，重点落实结果的实际意义检验（正整数、取值范围等）与书写规范。 5. 信息转化能力：从表格、折线图、条形图等图表信息，以及古代数学问题的文言表述中，提炼有效数量关系，完成数学建模。 · 基础命题：以单一情境的列方程组、基础计算为主，题干等量关系清晰直白，多以选择题、填空题形式考查列方程，或解答题基础应用，侧重核心公式与建模基础的掌握。 · 综合命题：多题型、多知识点融合考查，常将销售利润与方案选择结合、行程与分段计费结合，或融入图表数据，考查多步推理与综合运算能力，以解答题中档题为主。 · 素养命题：以真实生活情境、传统文化（古代算术题）、开放性设计题为载体，弱化固定套路，侧重考查数学建模、逻辑推理与实际应用核心素养，贴合中考命题的生活化、创新化趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册核心重难点，是一元一次方程应用的延伸与升级，也是后续分式方程、不等式应用、函数应用的重要基础，在初中代数体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答，分值占比 12%–18%；中考中属于方程模块高频考点，多以中档解答题呈现，分值 8–10 分。 · 高频考法：销售利润问题、行程问题、方案选择问题、图表信息题考查频次最高；古代数学问题常作为创新题型出现；和差倍分、分配问题多以基础题形式考查。 · 失分规律：等量关系找错、单位不统一、忽略实际意义检验、方案分类不全、解题步骤跳步是主要失分点；其中方案选择类问题的分类讨论不完整、多解漏解是拉开分差的核心题型 知识点一 二元一次方程组应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，找准题目中两组独立的等量关系，抓取题目关键条件与数量句式； （2）设：一般直接设两个关键未知量为x、y，根据题意合理设元，规范书写单位； （3）列：根据挖掘出的两组等量关系，列出对应的二元一次方程组； （4）解：利用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出两个未知数的值； （5）验：检验计算结果是否准确，同时验证结果是否符合生活实际意义（正数、整数、取值范围等）； （6）答：规范书写完整答案，对应题目问题作答。 知识点二 二元一次方程组应用题主要涉及的公式 （一）行程问题 行程问题基本数量关系:速度×时间=路程。单位不同时，先统一单位。 1.相遇问题 相遇路程=速度和×时间 双方所走的路程之和=总路程 2.追及问题 追及路程=速度差×时间 两者行程差=开始时相距的路程 3.行船问题 船顺水速度=船静水速度+水速 船逆水速度=船静水速度-水速 （二）利润问题 ①　利润问题基本数量关系: ②　利润=售价-成本 ③　销售额=单价×数量 ④　利润率=利润/成本（进价）×100%; ⑤　售价=标价×折扣; ⑥　利润=进价×利润率. （三）工程问题 工程问题基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间 1. 合作工程 合作总效率=各主体工作效率之和 合作工作总量=合作总效率×合作工作时间 2. 常规设定 无具体工作总量时，通常将总工作量记为单位“1”，单主体工作效率=1÷单独完成工作的时长 （四）数字问题 1. 多位数数值表示 两位数数值=10×十位数字+个位数字 三位数数值=100×百位数字+10×十位数字+个位数字 2. 数位对调规律 两位数交换十位与个位数字后，新数与原数的差值=9×|十位数字-个位数字| （五）年龄问题 1. 核心规律：两人的年龄差始终保持不变 2. 年龄推算公式 n年后的年龄=当前年龄+n n年前的年龄=当前年龄-n （六）分配与配套问题 1. 盈亏分配 物品总数量=每份分配量×份数+剩余量（盈） 物品总数量=每份分配量×份数-缺少量（亏） 2. 配套比例 若甲、乙两种部件按 m:n 组装成一套成品，则 甲部件总数量×n = 乙部件总数量×m （七）和差倍分问题 基本数量关系： 总量=甲量+乙量 相差量=较大量-较小量 甲量=乙量×倍数 甲量=乙量×对应分率 （八）几何图形问题 1. 周长类 长方形周长=2×(长+宽) 正方形周长=4×边长 2. 面积类 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长² 三角形面积=½×底×高 3. 核心等量 图形拼接、裁剪、变形前后，总长度（如铁丝总长）、总面积保持不变 题型1 根据实际问题列二元一次方程 【例1】某车间工人加工同一种零件，若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额少个；若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额多个．设车间共有名工人，当日定额为个零件，则下列方程组符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】《九章算术》“甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲乙持钱各几何？”意为：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱．请问甲乙两人各带了多少钱？设甲带钱，乙带钱，即可列出二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】某校举办师生茶话会．若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人没有座位．设参加茶话会的师生共人，共准备了张桌子，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长尺，绳索长尺，可列方程组（      ） A． B． C． D． 题型2 方案选择问题 【例2】七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元，钢笔的单价为5元，则购买方案有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式训练2-1】小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【变式训练2-2】综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该景区有A，B两场历史演出活动，且购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元，购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多 素材2 考虑场地和安全原因，要求A演出、B演出两种门票都要购买，且该班购买A演出的门票要多于B演出的门票 问题解决 (1)请分别求出A演出和B演出的门票单价； (2)若购买门票的总预算为600元（全部花完），且要使购买门票的总数量尽量的多，请你设计一种最佳购买方案． 【变式训练2-3】项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 题型3 行程问题 【例3】已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【变式训练3-2】某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【变式训练3-3】某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 题型4 工程问题 【例4】某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练4-1】一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【变式训练4-2】骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【变式训练4-3】夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 题型5 数字问题 【例5】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值为（     ） A． B．0 C．3 D．5 【变式训练5-1】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 【变式训练5-3】已知△是由△经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： △ △ (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ， ，坐标为 ； (2)若是△内部一点，则经过平移后得到的对应点的坐标为，求的值． 题型6 年龄问题 【例6】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【变式训练6-1】爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【变式训练6-2】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【变式训练6-3】在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 题型7 分配问题 【例7】用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身6个，或制作盒底8个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料30张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-3】某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图1所示的长方形和正方形纸板做成如图所示的竖式和横式两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求这一天加工两种纸盒时，的所有可能的值． 题型8 销售利润问题 【例8】小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【变式训练8-1】某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2】一家小型超市的账目记录显示，第一天卖出4支牙刷和5盒牙膏，收入72元；第二天，以同样的价格卖出同样的牙刷3支和牙膏4盒，收入54元，店长在查账时发现这个记录有误． (1)请说明这个记录有误的理由； (2)通过进一步核查发现，两次的收入没有错误，在四项卖出数量的数据中也只有一项数据的记录有误，其他数据的记录都是正确的，若牙刷和牙膏的售价都是整数，请直接指出哪一项数据的记录可能有误，并写出正确的数据． 【变式训练8-3】某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 (1)若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 题型9 和差倍分问题 【例9】土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练9-1】某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【变式训练9-2】现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示： 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F 第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ 题型10 几何问题 【例10】如图，在长方形中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽的长度为（     ） A． B． C． D． 【变式训练10-1】如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案，若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为（    ） A． B． C．20 D．23 【变式训练10-2】某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【变式训练10-3】综合与探究 我们曾探究过二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应这个二元一次方程的解，所以我们把这条直线就叫做这个二元一次方程的图象． 【问题探究】 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，直线是二元一次方程的图象，直线是二元一次方程的图象． (1)请阅读并填空： ①求A点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与x轴相交于点A，所以A点的纵坐标为0（即），将代入中，求得x的值，从而得到点A的坐标为__________； ②求C点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与y轴相交于点C，所以C点的横坐标为0（即），将代入中，求得y的值，从而得到点C的坐标为__________； 【问题迁移】 (2)点D在直线上，若三角形的面积是6，求点D的坐标； 【问题拓展】 (3)在（2）的条件下，当点D在x轴上方时，过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接并延长交y轴于点F，求点F的坐标； 题型11 图表信息问题 【例11】在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式训练11-1】代数式，的值随、的取值变化而变化，它们部分对应值如表所示．利用表中信息求方程组的解为（     ） … 0 1 2 5 … … 1 2 6 … … 4 1 2 1 … … 3 1 2 2 … A． B． C． D． 【变式训练11-2】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数的和均相等，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练11-3】 某地出租车的收费标准如下（设行驶里程为千米）： 收费项目 收费标准 起步价（当时） 元 里程费（当时） 的部分，2元/千米 的部分，3元/千米 等候费（按等时收费） 元/分钟（不足1分钟按1分钟计费） “等时”指出租车在计费过程中因拥堵、红灯、乘客临时要求停车等原因导致的非行驶状态时间．例如：“等时”表示等时为0小时4分39秒，此时等候费按5分钟计费． (1)若且等时0分钟，则车费为 元；（用含的代数式表示） (2)若且等时3分钟，则车费为 元；（用含、的代数式表示） (3)下图为某游客在当地乘坐出租车的两张发票，根据相关信息，求、的值． 题型12 古代问题 【例12】《九章算术》中记载有这样一个问题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙持钱各几何？其意思是：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问：甲与乙各多少钱？若设甲的钱数为，乙的钱数为，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 【变式训练12-1】我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干?”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱?设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【变式训练12-2】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余一辆车；若每 2 人共乘一车，最终有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？设有个人，辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【变式训练12-3】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐人，则人需要步行；若每辆车都坐人，则两辆车是空的．问：车与人各多少？设有辆车、人，根据题意，列方程组得________________． 题型13 开放性问题 【例13】小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【变式训练13-1】在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … A队 16 13 B队 16 13 C队 16 13 D队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，A队胜C队，C队胜D队，则哪两队会被降级？为什么？ 【变式训练13-2】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【变式训练13-3】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，开水的温度为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）． 求该学生接的温水、开水的体积分别是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 二元一次方程组应用题专项 01 考向领航 → 锚考向，明权重，联考点，定方向 02 知识建构 → 梳核心，破难点，搭框架，织体系 知识点一 二元一次方程组应用题解题基本步骤 知识点二 二元一次方程组应用题主要涉及的公式 03 题型攻坚 → 归题型，研母题，悟思路，善迁移 题型1 根据实际问题列二元一次方程 题型2 方案选择问题 题型3 行程问题 题型4 工程问题 题型5 数字问题 题型6 年龄问题 题型7 分配问题 题型8 销售利润问题 题型9 和差倍分问题 题型10 几何问题 题型11 图表信息问题 题型12 古代问题 题型13 开放性问题 常考考点 命题风向 1. 实际场景建模能力：从文字、图表、古文等题干中提取两组独立等量关系，正确设元并列出二元一次方程组，是本专题核心基础考点。 2. 经典题型公式应用：覆盖行程、工程、销售利润、分配配套、数字、年龄、和差倍分、几何图形八大类题型，掌握对应数量关系公式与方程构建逻辑。 3. 方案选择与优化：结合限定条件列举可行方案，通过方程组求解验证方案合理性，对比总成本、总收益选出最优方案，是中档题核心考点。 4. 解题流程规范：掌握 “审 — 设 — 列 — 解 — 验 — 答” 六步解题法，重点落实结果的实际意义检验（正整数、取值范围等）与书写规范。 5. 信息转化能力：从表格、折线图、条形图等图表信息，以及古代数学问题的文言表述中，提炼有效数量关系，完成数学建模。 · 基础命题：以单一情境的列方程组、基础计算为主，题干等量关系清晰直白，多以选择题、填空题形式考查列方程，或解答题基础应用，侧重核心公式与建模基础的掌握。 · 综合命题：多题型、多知识点融合考查，常将销售利润与方案选择结合、行程与分段计费结合，或融入图表数据，考查多步推理与综合运算能力，以解答题中档题为主。 · 素养命题：以真实生活情境、传统文化（古代算术题）、开放性设计题为载体，弱化固定套路，侧重考查数学建模、逻辑推理与实际应用核心素养，贴合中考命题的生活化、创新化趋势。 考情解码： · 模块地位：本专题是七年级下册核心重难点，是一元一次方程应用的延伸与升级，也是后续分式方程、不等式应用、函数应用的重要基础，在初中代数体系中具备承上启下的关键作用。 · 考频与分值：日常月考、期中期末考试必考，题型覆盖选择、填空、解答，分值占比 12%–18%；中考中属于方程模块高频考点，多以中档解答题呈现，分值 8–10 分。 · 高频考法：销售利润问题、行程问题、方案选择问题、图表信息题考查频次最高；古代数学问题常作为创新题型出现；和差倍分、分配问题多以基础题形式考查。 · 失分规律：等量关系找错、单位不统一、忽略实际意义检验、方案分类不全、解题步骤跳步是主要失分点；其中方案选择类问题的分类讨论不完整、多解漏解是拉开分差的核心题型 知识点一 二元一次方程组应用题解题基本步骤 （1）审：弄清题意，梳理题目中的已知量、未知量，找准题目中两组独立的等量关系，抓取题目关键条件与数量句式； （2）设：一般直接设两个关键未知量为x、y，根据题意合理设元，规范书写单位； （3）列：根据挖掘出的两组等量关系，列出对应的二元一次方程组； （4）解：利用代入消元法或加减消元法求解方程组，得出两个未知数的值； （5）验：检验计算结果是否准确，同时验证结果是否符合生活实际意义（正数、整数、取值范围等）； （6）答：规范书写完整答案，对应题目问题作答。 知识点二 二元一次方程组应用题主要涉及的公式 （一）行程问题 行程问题基本数量关系:速度×时间=路程。单位不同时，先统一单位。 1.相遇问题 相遇路程=速度和×时间 双方所走的路程之和=总路程 2.追及问题 追及路程=速度差×时间 两者行程差=开始时相距的路程 3.行船问题 船顺水速度=船静水速度+水速 船逆水速度=船静水速度-水速 （二）利润问题 ①　利润问题基本数量关系: ②　利润=售价-成本 ③　销售额=单价×数量 ④　利润率=利润/成本（进价）×100%; ⑤　售价=标价×折扣; ⑥　利润=进价×利润率. （三）工程问题 工程问题基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间 1. 合作工程 合作总效率=各主体工作效率之和 合作工作总量=合作总效率×合作工作时间 2. 常规设定 无具体工作总量时，通常将总工作量记为单位“1”，单主体工作效率=1÷单独完成工作的时长 （四）数字问题 1. 多位数数值表示 两位数数值=10×十位数字+个位数字 三位数数值=100×百位数字+10×十位数字+个位数字 2. 数位对调规律 两位数交换十位与个位数字后，新数与原数的差值=9×|十位数字-个位数字| （五）年龄问题 1. 核心规律：两人的年龄差始终保持不变 2. 年龄推算公式 n年后的年龄=当前年龄+n n年前的年龄=当前年龄-n （六）分配与配套问题 1. 盈亏分配 物品总数量=每份分配量×份数+剩余量（盈） 物品总数量=每份分配量×份数-缺少量（亏） 2. 配套比例 若甲、乙两种部件按 m:n 组装成一套成品，则 甲部件总数量×n = 乙部件总数量×m （七）和差倍分问题 基本数量关系： 总量=甲量+乙量 相差量=较大量-较小量 甲量=乙量×倍数 甲量=乙量×对应分率 （八）几何图形问题 1. 周长类 长方形周长=2×(长+宽) 正方形周长=4×边长 2. 面积类 长方形面积=长×宽 正方形面积=边长² 三角形面积=½×底×高 3. 核心等量 图形拼接、裁剪、变形前后，总长度（如铁丝总长）、总面积保持不变 题型1 根据实际问题列二元一次方程 【例1】某车间工人加工同一种零件，若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额少个；若每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额多个．设车间共有名工人，当日定额为个零件，则下列方程组符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种加工情况的等量关系分别列方程，即可得到正确答案． 【详解】解：设车间共有名工人，当日定额为个零件， 每名工人每日加工个零件，当日总加工量比当日定额少个，总加工量为， ， 每名工人每日加工8个零件时，当日总加工量比当日定额多18个，总加工量为， ， ∴符合题意的方程组为． 【变式训练1-1】《九章算术》“甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲乙持钱各几何？”意为：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱．请问甲乙两人各带了多少钱？设甲带钱，乙带钱，即可列出二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题目给出的两个等量关系分别列出关于和的二元一次方程，再对应选项即可解答． 【详解】解：设甲带钱，乙带钱， 根据第一个条件：甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱，可列方程得， 根据第二个条件：乙得到甲所有钱的三分之二后，乙共有钱，可列方程得， 故联立可得二元一次方程组为． 【变式训练1-2】某校举办师生茶话会．若每桌坐12人，则空出一张桌子；若每桌坐10人，还有10人没有座位．设参加茶话会的师生共人，共准备了张桌子，可列方程组（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意分析第一种情况： ∵每桌坐12人时，空出一张桌子， ∴实际使用的桌子数为张，总人数等于每桌人数乘实际使用桌子数，可得． 第二种情况： ∵每桌坐10人时，还有10人没有座位， ∴已经就坐的人数为，总人数减去未就坐的10人等于已经就坐的人数，可得． 因此可列方程组． 【变式训练1-3】《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长尺，绳索长尺，可列方程组（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设竿长尺，绳索长尺， ∵ 绳索量竿时，绳索比竿长尺， ∴ ， ∵ 将绳索对折后量竿，对折后绳索长度为，此时比竿短尺， ∴ ， ∴对应的方程组为． 题型2 方案选择问题 【例2】七年级某班为了奖励学习进步的学生，花费35元购买了笔记本和钢笔两种奖品，其中笔记本的单价为3元，钢笔的单价为5元，则购买方案有（     ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】B 【分析】设购买笔记本本，钢笔支，均为正整数，根据总花费列二元一次方程，结合两种奖品都需购买，即x，y均为正整数，找出所有符合条件的解即可得到购买方案的数量． 【详解】解：设购买笔记本本，钢笔支，均为正整数， 根据题意列方程得：， 整理得， ∵是正整数， ∴是3的正整数倍，且， 当时，，符合条件， 当时，，不是整数，不符合条件， 当时，，不是整数，不符合条件， 当时，，符合条件， 当时，，不是整数，不符合条件， 当时，，不是整数，不符合条件， 因此共有2种符合条件的购买方案． 【变式训练2-1】小芳用50元购买单价5元的笔记本和单价2元的圆珠笔（两种都要买），钱刚好用完，则她购买方案共有（     ）． A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【分析】先设未知数，根据总费用列出方程，再结合两种商品都要买的条件，找出所有符合要求的正整数解，即可得到购买方案的数量． 【详解】设购买笔记本本，圆珠笔支，其中均为正整数， 由题意得： 整理得： ∵为正整数， ∴是整数， 又是奇数， ∴必为偶数， ∵， ∴， 解得， 结合是正偶数，可得的取值为，共种，即共有种购买方案． 【变式训练2-2】综合与实践 如何设计购买方案？ 素材1 某班同学暑假要去某景区参加“非遗传承，研学之旅”活动，已知该景区有A，B两场历史演出活动，且购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元，购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多 素材2 考虑场地和安全原因，要求A演出、B演出两种门票都要购买，且该班购买A演出的门票要多于B演出的门票 问题解决 (1)请分别求出A演出和B演出的门票单价； (2)若购买门票的总预算为600元（全部花完），且要使购买门票的总数量尽量的多，请你设计一种最佳购买方案． 【答案】(1)A演出门票单价为30元，B演出门票单价为50元 (2)最佳购买方案为购买A演出门票15张，B演出门票3张 【分析】（1）设A演出的门票单价为a元，B演出的门票单价为b元，根据“购买2张A演出门票比1张B演出门票多10元，购买5张A演出门票和3张B演出门票的费用一样多”列方程组求解即可； （2）设购买A演出的门票x张，购买B演出的门票y张，其中x，y为正整数，根据题意列出二元一次方程，结合实际取合适的解，即可． 【详解】（1）解：设A演出的门票单价为a元，B演出的门票单价为b元，根据题意得： ， 解得：， 答：A演出门票单价为30元，B演出门票单价为50元； （2）解：设购买A演出的门票x张，购买B演出的门票y张，其中x，y为正整数，且，根据题意得： ， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴共有2种购买方案，张或张， ∴要使购买门票的总数量尽量的多， ∴最佳购买方案为购买A演出门票15张，B演出门票3张． 【变式训练2-3】项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． 题型3 行程问题 【例3】已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需12小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为13小时，那么甲乙两地的公路长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设从甲到乙的上坡路长为，下坡路长为， 由题意得， 两式相加，得，解得， 故甲乙两地公路长为. 【变式训练3-1】甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（     ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为，同向而行需分甲速度大于乙速度、乙速度大于甲速度两种情况讨论，结合路程关系列方程求解. 【详解】解：设A、B两地距离为，甲的速度为，乙的速度为. ∵相向而行后相遇， ∴， 整理得. 同向而行分两种情况： ① 甲速度大于乙速度，甲追乙，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， ∴甲走完全程的时间为， ② 乙速度大于甲速度，乙追甲，后相遇， ∴， 整理得. 联立， 两式相加得， 解得， 代入得， ∴甲走完全程的时间为； 【变式训练3-2】某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件 (2)快递车的总配送路程是330千米 【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得： ， 解得：， 每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件； （2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得： 解得：， 快递车的总配送路程是330千米． 【变式训练3-3】某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 【分析】（1）设交换前行驶了，交换后又行驶了．根据题意列出方程组即可； （2）方程组变形后求出方程组的解即可； （3）设交换前行驶了千米，求出前轮磨损和后轮磨损即可作出判断． 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 题型4 工程问题 【例4】某水池有编号为①，②，③，④，⑤的5个水管，有的是进水管，有的是出水管．已知所开的水管号与水池灌满的时间如下表： 水管编号 ①② ②④ ③④ ③⑤ ⑤① 时间（小时） 3 12 6 4 10 则单独开一条水管，最快注满水池的水管编号为（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、，根据题意列出方程组，求解即可得解，理解题意，正确列出方程组是解此题的关键． 【详解】解：设进水效率为正，出水的效率为负，设水池容量为，水管①、②、③、④、⑤的效率分别为、、、、， 由题意可得：， 解得：， 故水管①、②、③为进水管，水管④、⑤为出水管， ∵， ∴最快注满水池的水管编号为③， 故选：C． 【变式训练4-1】一份工作，甲、乙合作20天后乙再单独做8天才完成．若甲的效率提高，乙的效率提高，合作20天就可完成全部工作，则甲单独完成这份工作需（    ） A．28天 B．34天 C．48天 D．58天 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的，根据工作总量=工作效率×工作时间，结合“甲、乙合作天后，乙再单独做天才完成；提高工作效率后，甲、乙合作天就可完成全部工作”，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出的值，再将其代入即可求出结论． 【详解】解：设总工程为，甲每天完成总工程的，乙每天完成总工程的， 依题意得：， 解得：， ∴， ∴甲独做这件工作天可以完成． 故选：B． 【变式训练4-2】骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 【变式训练4-3】夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答． 【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台， 依题意得 解得 答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 题型5 数字问题 【例5】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值为（     ） A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用三阶幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，列出关于，的二元一次方程组，求解得到，的值后计算即可得到答案． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴． 【变式训练5-1】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用幻方的性质，即每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等进行分析即可． 【详解】解；如图： 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 则有，解得， 所以． 【变式训练5-2】一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为29． 【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设原来两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y， 依题意有， 解得， 答：原来两位数为29． 【变式训练5-3】已知△是由△经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如表所示： △ △ (1)观察表中各对应点坐标的变化，并填空： ， ，坐标为 ； (2)若是△内部一点，则经过平移后得到的对应点的坐标为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由平移前后点的坐标确定平移方式，再由平移方式确定平移后点的坐标； （2）先由平移方式得到二元一次方程组，然后解方程组，再求解立方根． 【详解】（1）解：∵， ∴向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到， ，， ∴横坐标，纵坐标，． （2）解：由（1）知向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到， ∴向左平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到 ∴， 解得， ∴． 题型6 年龄问题 【例6】一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 【变式训练6-1】爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 【变式训练6-2】一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 【变式训练6-3】在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 题型7 分配问题 【例7】用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是铁皮总张数为56，二是桶身数量与桶底数量相等正好配套，据此即可得到符合题意的方程组． 【详解】解：设用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，根据题意得 ． 【变式训练7-1】劳技课上学生用铁皮制作收纳盒，每张铁皮可制作盒身6个，或制作盒底8个，一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒．现有材料30张铁皮，设用张制作盒身，张制作盒底，恰好配套制成收纳盒．则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据铁皮总张数和配套的数量关系即可列出相应方程组，关键是明确盒底数量应为盒身数量的2倍． 【详解】解：∵共有30张铁皮，张制作盒身，张制作盒底， ∴， ∵一个盒身与两个盒底配成一个收纳盒，即盒底总数量是盒身总数量的2倍，盒身总数量为，盒底总数量为， ∴， ∴可得方程组． 【变式训练7-2】某工厂生产大型汽油桶，汽油桶由两个圆形铁片和一个长方形铁片构成现工厂共有名工人，其中每名工人每天可制作圆形铁片个或长方形铁片个为了使每天生产的铁片数量刚好配套成油桶，应如何安排工人进行生产？设安排人制作圆形铁片，人制作长方形铁片，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是总工人人数为42，二是配套时2个圆形铁片配1个长方形铁片，即圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍，据此整理得到方程组． 【详解】∵安排x人制作圆形铁片，y人制作长方形铁片，总共有42名工人， ∴， ∵每个油桶需要2个圆形铁片和1个长方形铁片，刚好配套时，圆形铁片总数量是长方形铁片总数量的2倍， 又∵x人每天生产圆形铁片共个，y人每天生产长方形铁片共个， ∴， 等式两边同时除以2，整理得， ∴可得方程组． 【变式训练7-3】某工厂承接了一批纸箱加工任务，用图1所示的长方形和正方形纸板做成如图所示的竖式和横式两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完． (1)若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； (2)该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求这一天加工两种纸盒时，的所有可能的值． 【答案】(1)做成个竖式纸箱和个横式纸箱； (2)在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 【分析】（1）设加工了个竖式纸箱和个横式纸箱，根据有正方形纸板张，长方形纸板张，列方程组求解； （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，可得：，根据，，为正整数，可知为的倍数，再根据的取值范围求出的所有可能值． 【详解】（1）解：设加工了个竖式纸箱和个横式纸箱， 根据题意可得：， 解得：， 答：做成个竖式纸箱和个横式纸箱； （2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 由题意得：， 整理可得：， ，，为正整数， 为的倍数，   又， 满足条件的的值为，，，， 答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，． 题型8 销售利润问题 【例8】小明在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量及费用如表： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购买 6 5 1140 第二次购买 3 7 1110 第三次购买 9 8 1062 若A、B的折扣相同，则商店的折扣是（    ） A．5折 B．6折 C．7折 D．8折 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设A的标价为x元，B的标价为y元，根据第一次和第二次购买的总价建立方程组求出A、B的标价；然后设商店是打a折出售，由打折销售的数量关系建立方程求出其解即可． 【详解】解：设A的标价为x元，B的标价为y元， 由题意，得, 解得：， 所以，A的标价为90元，B的标价为120元． 设商店是打a折出售这两种商品，由题意得，， 解得：． 答：商店是打6折出售这两种商品的． 故选：B． 【变式训练8-1】某商场销售某种商品，当按定价销售时、每件可获利45元；当按定价的八折销售时、销售8件所获利润与将定价降低35元销售12件所获利润相同．若设该商品的进价为x元、定价为y元，则x，y满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出代数式，正确列出方程是解题的关键．根据利润关系建立方程：按定价销售时每件利润为；按八折销售8件利润与降价35元销售12件利润相等． 【详解】解：∵按定价销售，每件获利45元， ∴. ∵按定价八折销售，每件利润为，销售8件利润为. ∵定价降低35元销售，每件利润为，销售12件利润为. ∵两者利润相同， ∴. ∴方程组为， 故选：C. 【变式训练8-2】一家小型超市的账目记录显示，第一天卖出4支牙刷和5盒牙膏，收入72元；第二天，以同样的价格卖出同样的牙刷3支和牙膏4盒，收入54元，店长在查账时发现这个记录有误． (1)请说明这个记录有误的理由； (2)通过进一步核查发现，两次的收入没有错误，在四项卖出数量的数据中也只有一项数据的记录有误，其他数据的记录都是正确的，若牙刷和牙膏的售价都是整数，请直接指出哪一项数据的记录可能有误，并写出正确的数据． 【答案】(1)原记录计算得到牙膏单价为0元，不符合实际意义，因此该记录有误，理由如下： 设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得： ，解得：，故不符合实际意义； ∴这个记录有误； (2)两种可能情况：①第一天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为6；②第二天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为2 【分析】（1）设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：，进而求解即可； （2）根据题意可分两种情况：①假设第一天卖出的记录无误，说明第二天卖出的记录有误，②假设第一天卖出的记录有误，说明第二天卖出的记录无误，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：假设第一天卖出的记录无误，说明第二天卖出的记录有误，设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：， ∴， ∵都为整数，且牙刷和牙膏的售价都是整数， ∴或或，相对应的值为或或， 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（符合题意）； 当，时，假设第二天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 假设第一天卖出的记录有误，说明第二天卖出的记录无误，设每盒牙膏的价格为元，每支牙刷的价格为元，由题意得：， ∴， ∵都为整数，且牙刷和牙膏的售价都是整数， ∴或或或，相对应的值为或或或， 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 当，时，假设第一天卖出牙刷支，牙膏盒，则有：，解得：（符合题意）； 当，时，假设第一天卖出牙膏盒，牙刷支，则有：，解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述：两种可能情况：①第一天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为6；②第二天卖出牙刷的数量记录有误，正确数据为2． 【变式训练8-3】某文具店开展校园助学优惠活动，七（2）班采购书签与卡通笔两种文具，书签每个4元，卡通笔每个2元．文具店推出两项优惠政策： 方案一 采购书签数量超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买卡通笔满50个时，立减10元 (1)若班委购买了书签和卡通笔共80个，其中书签数量超过30个，一共花费244元，则班委购买了书签、卡通笔各多少个？ (2)现有班费266元全部用于购买这两种文具，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)班委购买了书签50个、卡通笔30个 (2)共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个 【分析】（1）设班委购买了书签个、卡通笔个，根据班委购买了书签和卡通笔共80个，共花费244元建立方程组求解即可； （2）设购买书签（）个，卡通笔（）个，根据购买费用为266元建立方程，求出方程的解即可得到答案． 【详解】（1）解：设班委购买了书签个、卡通笔个， 由题意得： 解得， 答：班委购买了书签50个、卡通笔30个． （2）解：设购买书签（）个，卡通笔（）个， 由题意得， ∴． ∵，是正整数，且，， ∴或或， 答：共有3种购买方案：方案1：购买书签35个、卡通笔70个；方案2：购买书签40个、卡通笔62个；方案3：购买书签45个、卡通笔54个． 题型9 和差倍分问题 【例9】土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量”、“交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻”，分别列出方程，对比选项得到正确答案． 【详解】解：由6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量，可得方程． 由交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻得， 因此所列方程组为． 【变式训练9-1】某企业计划投入资金用于技术升级与植树造林以实现碳中和目标．已知技术升级每投入1万元可减少碳排放3吨；植树造林每投入1万元可吸收碳排放2吨．若投入10万元，共实现碳排放净减少量28吨，则技术升级和植树造林分别投入（     ） A．8万元，2万元 B．2万元，8万元 C．6万元，4万元 D．5万元，5万元 【答案】A 【分析】设技术升级投入万元，植树造林投入万元，根据总投入资金和总碳排放净减少量列方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设技术升级投入万元，植树造林投入万元， ∵总投入为万元，总碳排放净减少量为吨， ∴可得方程组， 解得， ∴技术升级投入万元，植树造林投入万元． 【变式训练9-2】现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲袋原有银子比乙袋多6两，可得第一个等量关系：，从甲袋取7两放入乙袋后，甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两，根据“此时乙袋银子是甲袋的2倍”，可得第二个等量关系：；联立得到方程组即可 【详解】∵甲袋原有银子比乙袋多6两， ∴ 变形得； ∵从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍， 此时甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两， ∴； 可得 【变式训练9-3】手工陶艺坊制作陶杯和陶碗，陶土用量（单位：）及成品率（成品率）如下表所示： 类别 原材料 成品率 陶杯 陶土E 陶碗 陶土F 第一次制作，共得到陶杯和陶碗成品80件；第二次制作，陶杯陶土E用量是第一次的2倍，陶碗陶土F用量是第一次的3倍，共得到成品190件．第一次制作时，陶土E和陶土F的用量分别是多少？ 【答案】第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为 【分析】设第一次两种陶土的用量分别为未知数，根据两次成品总数量的条件列出方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：设第一次制作时，陶土E的用量为，陶土F的用量为． 根据题意可得， 整理方程组得， 将，得， ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 即方程组的解为， 答：第一次制作时，陶土E的用量是，陶土F的用量是． 题型10 几何问题 【例10】如图，在长方形中，放入6个形状大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则小长方形的宽的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设小长方形的长为，宽为，利用长方形的对边相等，可得出关于，的二元一次方程组，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，则，， 即， 根据题意，得， 解得， 即. 【变式训练10-1】如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案，若图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为（    ） A． B． C．20 D．23 【答案】A 【分析】设大正方形和小正方形的边长分别是x和y，根据题意列方程组求出x和y，设四个小正方形的重叠部分形成的小正方形的边长为m，根据题意列方程得到，然后求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别是x和y， 由题意得，， 解得：， ∴大正方形和小正方形的边长分别是6和2， 设四个小正方形的重叠部分形成的小正方形的边长为m， 由题意得，， 解得， ， ∴大正方形中未被小正方形覆盖的阴影部分的面积为． 【变式训练10-2】某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 【变式训练10-3】综合与探究 我们曾探究过二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系．我们知道，二元一次方程有无数个解，在平面坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标（x的值为横坐标，y的值为纵坐标）的点，就会发现这些点在同一条直线上．反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也对应这个二元一次方程的解，所以我们把这条直线就叫做这个二元一次方程的图象． 【问题探究】 如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴上，直线是二元一次方程的图象，直线是二元一次方程的图象． (1)请阅读并填空： ①求A点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与x轴相交于点A，所以A点的纵坐标为0（即），将代入中，求得x的值，从而得到点A的坐标为__________； ②求C点的坐标： 因为直线是二元一次方程的图象，并与y轴相交于点C，所以C点的横坐标为0（即），将代入中，求得y的值，从而得到点C的坐标为__________； 【问题迁移】 (2)点D在直线上，若三角形的面积是6，求点D的坐标； 【问题拓展】 (3)在（2）的条件下，当点D在x轴上方时，过点D作x轴的垂线，交直线于点E，连接并延长交y轴于点F，求点F的坐标； 【答案】(1)①，② (2)或 (3) 【分析】（1）①将代入求解即可； ②将代入求解即可； （2）首先得到，然后根据三角形的面积是6分两种情况，分别列方程求解即可； （3）首先得到，然后求出，求出直线的方程，将代入求解即可． 【详解】（1）解：①∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时， 解得 ∴点A的坐标为； ②∵直线是二元一次方程的图象， ∴当时， ∴ ∴点C的坐标为； （2）解：∵点A的坐标为 ∴ ∵三角形的面积是6 ∴，即 解得或 将代入得， 解得 ∴点D的坐标为； 将代入得， 解得 ∴点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解：如图， ∵点D在x轴上方 ∴ ∵过点D作x轴的垂线，交直线于点E， ∴点E的横坐标为1 将代入得， 解得 ∴ 设直线的方程为 将，代入得， 解得 ∴直线的方程为 将代入得， ∴． 题型11 图表信息问题 【例11】在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图所示的方格内填入了一些数和代数式，若图中每行、每列及每条对角线上的三个数（代数式）之和都相等，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】根据第一列、第二行及对角线上的数字和相等列出方程组即可求解． 【详解】解：由题意得， 整理得， 解方程组得， 则． 【变式训练11-1】代数式，的值随、的取值变化而变化，它们部分对应值如表所示．利用表中信息求方程组的解为（     ） … 0 1 2 5 … … 1 2 6 … … 4 1 2 1 … … 3 1 2 2 … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将第一个方程的结果代入第二个方程，求出的值，再对照表格找到同时满足两个条件的即可得到答案． 【详解】解：已知方程组 将①代入②得：， 移项整理得：， ， 根据表格信息，查找同时满足，的， 当，时，两个式子同时满足要求，因此方程组的解为． 【变式训练11-2】如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数的和均相等，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据各行各列及对角线上三个数的和相等，列出关于的二元一次方程组，求解得到的值，再根据象限的坐标特征判断点的位置． 【详解】解：第一行三个数的和为 ， ∵第三列三个数的和与第一行和相等， ∴ ， 整理得， ∵左上到右下对角线的和与第一行和相等， ∴， 整理得， 用得， 解得， 把代入①得， 解得； ∴点的坐标为 ∵，， ∴点在第二象限． 【变式训练11-3】 某地出租车的收费标准如下（设行驶里程为千米）： 收费项目 收费标准 起步价（当时） 元 里程费（当时） 的部分，2元/千米 的部分，3元/千米 等候费（按等时收费） 元/分钟（不足1分钟按1分钟计费） “等时”指出租车在计费过程中因拥堵、红灯、乘客临时要求停车等原因导致的非行驶状态时间．例如：“等时”表示等时为0小时4分39秒，此时等候费按5分钟计费． (1)若且等时0分钟，则车费为 元；（用含的代数式表示） (2)若且等时3分钟，则车费为 元；（用含、的代数式表示） (3)下图为某游客在当地乘坐出租车的两张发票，根据相关信息，求、的值． 【答案】(1) (2) (3)、的值分别为8、0.32 【分析】（1）计算起步价与里程费用即可； （2）计算起步价，分两段计算里程费用，计算等时费，各项费用相加即可； （3）根据费用列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】（1）解：元； （2）解：元； （3）解：由题意，得   解得， 即、的值分别为8、0.32． 题型12 古代问题 【例12】《九章算术》中记载有这样一个问题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问：甲、乙持钱各几何？其意思是：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱．若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问：甲与乙各多少钱？若设甲的钱数为，乙的钱数为，则可列方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目给出的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解：设甲的钱数为，乙的钱数为．依题意得： ． 【变式训练12-1】我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干?”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜36文，问两种布每尺各多少钱?设绫布每尺文，罗布每尺文，那么可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由7尺绫布与9尺罗布总价相等，得， 由每尺罗布单价比绫布少36文，得， 则可列方程组为 ． 【变式训练12-2】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余一辆车；若每 2 人共乘一车，最终有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？设有个人，辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种乘车情况，分别找出总人数与车辆数的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设共有个人，辆车， ∵每人共乘一车，最终剩余辆车空车，实际使用车辆为，总人数等于乘实际使用车辆数， ∴， ∵每人共乘一车，最终有个人无车可乘，车上共坐人，加上步行的人等于总人数， ∴， 综上可得方程组． 【变式训练12-3】《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有二人共车，九人步；三人共车，二车空．问：人与车各几何？译文：若每辆车都坐人，则人需要步行；若每辆车都坐人，则两辆车是空的．问：车与人各多少？设有辆车、人，根据题意，列方程组得________________． 【答案】 【详解】解：设有辆车、人， 根据题意得． 题型13 开放性问题 【例13】小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（    ） A．20 B．22 C．23 D．25 【答案】C 【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； 【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分， 依题意得：， ∴解这个方程组为：， ∴大壮的得分为：． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 【变式训练13-1】在有16支球队参赛的足球甲级联赛中，每两支球队之间一个赛季要进行2场比赛，每支球队一个赛季要赛满30场球赛．比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．赛季结束，积分排第1的获得冠军，积分排第2的获得亚军，…，积分排第15和第16名的球队要降级（下赛季不能参加甲级联赛，只能参加乙级联赛）．某赛季第27轮比赛结束时，部分球队的积分排名如下表： 球队 积分 排名 甲队 42 1 乙队 40 2 … … … A队 16 13 B队 16 13 C队 16 13 D队 16 13 (1)已知该赛季第27轮比赛结束时，甲队负了11场． ①求此时甲队胜、平各多少场？ ②此时乙队的负场数能否比甲队的负场数多？请说明理由； (2)在各队最后3场比赛中，A、B、C、D四队的比赛全部在这四个队之间进行，已知最后3场比赛A队得5分，B队一场未负得3分，A队胜C队，C队胜D队，则哪两队会被降级？为什么？ 【答案】(1)①甲队胜13场，平3场； ②解：此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，理由如下： 设此时乙队胜场、平场、负场． 根据题意，得， ①②，得，即， 若，则，即， ， ，即， ， 为非负整数， ． 将代入①、②可得； 此时乙队的负场数能比甲队的负场数多，即乙队胜13场、平1场、负13场． (2)解：B、D两队被降级，理由如下： 根据最后3场比赛A队得5分可知，A队的比赛结果是1胜，2平； 根据最后3场比赛B队一场未负得3分可知，B队的比赛结果是3平； ∵A队胜C队， ∴A队平B队，A队平D队， ∵C队胜D队，C队平B队，C队负A队， ∴C队得4分， ∵D队平B队，D队平A队，D队负C队， ∴D队得2分， ∵A队得分C队得分队得分D队得分， ∴B、D两队被降级． 【分析】（1）①根据积分问题列出二元一次方程组，求解即可；②根据积分问题列出三元一次方程组，求解即可； （2）根据积分问题进行推理即可； 【详解】（1）解：①设此时甲队胜场，平场， 根据题意，得， 解得， 答：此时甲队胜13场，平3场； ②略 （2）略 【变式训练13-2】甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2) 增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得： ， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）略 【变式训练13-3】如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，开水的温度为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）． 求该学生接的温水、开水的体积分别是多少？ 【答案】该学生接的温水是 ，开水的体积是 【分析】先设该学生接的温水的体积是，开水的体积是，再根据温度相等列出方程组，求出解即可． 【详解】解：设该学生接的温水的体积是，开水的体积是，根据题意得： 解得：． 答：该学生接的温水是 ，开水的体积是 学科网（北京）股份有限公司 $