专题01 二元一次方程组的概念重难点题型专训（2个知识点+5大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01二元一次方程组的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 拓展训练一 根据定义求字母参数值 拓展训练二 二元一次方程正整数解求解 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程 · 一般形式： ， · 三大判定条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数、无根号未知数） ② 只 2 个未知数（x、y） ③ 含未知数项次数 = 1（不是 xy 这种二次乘积） · 解的特点：一个二元一次方程有无数组解 2、二元一次方程组 · 定义：两个整式方程，共含2 个未知数，所有含未知数项次数都是 1，组合成方程组 · 特殊规则：方程组里可以有一元一次方程，依然算二元一次方程组例：{x+y=5x=3​ 是二元一次方程组 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，依据二元一次方程的定义，对各选项逐一判断即可，解题的关键是掌握二元一次方程需满足的三个条件：首先是整式方程，方程中共含有两个未知数，所有含有未知数的项的次数都是． 【详解】解：由二元一次方程的定义为：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是的整式方程， 、是不等式，不是方程，不符合定义，不符合题意； 、是代数式，不是等式，不属于方程，不符合定义，不符合题意； 、中含有两个未知数、，含未知数的项次数均为，是整式方程，符合二元一次方程的定义，符合题意； 、中、的次数为，不符合“含未知数的项次数为”的要求，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）若关于，的二元一次方程有一个解是，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，灵活运用方程的解的定义是解题的关键．根据二元一次方程解的定义，将解代入方程，进而求出字母的值． 【详解】把，代入方程， 得， 即， 移项得， 即， 两边同除以， 得． 故答案为：． 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，推断■的值（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是3 D．不可能是2 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解答本题的关键．二元一次方程就是只含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程． 【详解】解：方程可化为， 根据题意，得， 则■的值一定不可能是2． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·月考）若是二元一次方程，则值_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义进行求解即可：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 【详解】解：∵是二元一次方程， ∴， 解得：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【分析】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·月考）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解是解题的关键．根据题意得到方程的正整数解，即可得到答案． 【详解】解：方程在正整数范围内的解有或或， 故选C． 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解） 【答案】 共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根 【分析】先设截得的钢管有根，截得的钢管有根，根据总长度列出二元一次方程，结合、均为正整数且两种规格都要有，找出所有满足方程的正整数解，即可得到截法数量和每种截法的具体情况． 【详解】解：设截得的钢管有根，截得的钢管有根， 根据题意，得， 整理得， 为正整数， 为正偶数，即，解得， 为正整数， 的取值为，，，， 当时，，符合条件， 当时，，不是正整数，舍去， 当时，，符合条件， 当时，，不是正整数，舍去， 方程的正整数解为，． 答：共有种截法，第一种截法为钢管根，钢管根，第二种截法为钢管根，钢管根． 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，根据题意不管，，为原位大三和弦还是，，为原位小三和弦都可以推出，据此结合求出方程的正整数解个数即可得到答案． 【详解】解：当，，为原位大三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位大三和弦的个数为5个； 当，，为原位小三和弦时，则且， ∴， ∴或或或或， ∴原位小三和弦的个数为5个； ∴用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为， 故选：C． 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是____________． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、代数式求值等知识点，熟练掌握二元一次方程解的定义是解题的关键． 把代入可得，再把所求代数式化成含有的形式，最后整体代入计算即可． 【详解】解：把代入可得， ∴． 故答案为3． 3．（2026·安徽合肥·一模）某数学学习小组在课堂练习中，研究了“寻找无数组整数，，使得”的问题，整理出的部分数表如下： _________ _________ (1)观察表格，根据规律在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是和，则表中相邻的下一列的两个数分别是______和______（分别用含和的式子表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数，都存在无数组整数，，使得成立”．请判断该结论的正误并简述理由． 【答案】(1)11，； (2)，； (3)结论正确，理由见解析． 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）观察表格，找到规律，即可填空； （）根据规律求解即可； （）假设，是方程的一组解，则，令，，代入求解即可证明结论正确． 【详解】（1）解：观察表格，根据规律在表格的横线上应填，； 故答案为：，； （2）解：表中某一列的两个整数依次是和，则表中相邻的下一列的两个数分别是和， 故答案为：，； （3）解：结论正确，理由： 对于任意正整数，可以找到方程的一组整数解， 例如：当，时，， ∴，是方程的一组解， ∵为正整数， ∴方程必有整数解， 假设，是方程的一组整数解，则， 对于任意整数，令，， 则， ∴，也是方程的解， ∵整数有无数个， ∴方程有无数组整数解． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25六年级下·上海松江·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【例2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）解二元一次方程组的基本思想是通过______将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 【答案】消元 【分析】根据解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元． 【详解】解：解二元一次方程组的基本思想是通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 故答案为：消元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的知识，解题的关键是掌握解二元一次方程组的基本思想． 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组的定义：共含有两个未知数，所有方程均为一次整式方程的方程组，依次判断各方程组即可． 【详解】解：①是二元一次方程组，符合题意； ②是二元一次方程组，符合题意； ③不是整式方程，故不是二元一次方程组，不符合题意； ④是二元一次方程组，符合题意； 其中是二元一次方程组的是①②④． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把含有相同未知数的_______个_______联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的_______叫作二元一次方程组的解． 【答案】 两 二元一次方程 公共解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组是由两个含有相同未知数的二元一次方程组成的，且方程组的解是使二元一次方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此可得答案． 【详解】解：把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫作二元一次方程组的解． 故答案为：两；二元一次方程；公共解． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【详解】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解的定义，找到表1中x，y的值与表2中x，y的值相同的值即可求解． 【详解】解：通过表1发现与表2中相同， 所以方程组的解是 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的解，构造两个满足该解的二元一次方程，联立后即可得到符合要求的二元一次方程组． 【详解】解：，得到方程； ，得到方程． 因此，所求二元一次方程组为． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据二元一次方程组解的定义解答即可，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 【详解】解：由表可知，既是方程的解，又是方程的解， ∴二元一次方程组的解是， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元． (1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组； (2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【详解】8.解：（1）根据题意，得 （2）是，理由如下： 把代入方程①中，左边＝5×3＋4×2＝23＝右边， 把代入方程②中，左边＝10×3＋2×2＝34＝右边， 所以是二元一次方程组的解． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】将代入，得：，解方程组即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 【答案】 【分析】将已知解代入原方程组得到系数的关系，再将待求方程组与该关系对比，得到对应未知数的值． 【详解】解：把代入已知方程组， 得 ， ∵题目中方程组为， ∴其解为． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【详解】解：方程组的解为， 故中， 解得． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 【答案】 5 1 【分析】将已知代入方程，先求出即的值，再将与求得的代入，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入，得， 解得，即表示的数为， 将，代入，得， 即表示的数为． 3．（2025·山东枣庄·模拟预测）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)有两个算式：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的运算，解二元一次方程组，新定义，解答的关键是对相应的运算法则及解方程的方法的掌握． （1）根据所给的规定进行运算即可； （2）结合所给的规定，列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 解得． 【拓展训练一 根据定义求字母参数值】 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握二元一次方程中所有未知数的次数都为，据此列方程求解参数是解题的关键． 二元一次方程要求变量次数均为，故的指数，的指数． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴的指数，的指数 解， ∴ 解， ∴ ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，得到x、y的次数均为1，列出关于a、b的方程，求解得到a、b的值后代入计算即可． 【详解】解：是关于、的二元一次方程， ，． 解得，． ∴． 1．（24-25七年级下·湖南永州·月考）若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程是含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1成为解题的关键． 根据二元一次方程的定义得出且求得m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵方程是二元一次方程， ∴且，解得：， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解方程等知识点，熟练掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程是解决此题的关键．根据二元一次方程的定义可得，且，，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，得， ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若将关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是理解已知条件中的“相伴系数对”和二元一次方程解的定义． （1）将关于、的二元一次方程变形为的形式，根据已知条件中的“相伴系数对”的定义求出答案即可； （2）根据已知条件中的“相伴系数对”的定义和已知条件写出这个二元一次方程，然后把代入，得到关于的方程，解方程求出，再把代入这个方程即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：由题意知，这个二元一次方程可写成：， 把代入， 可得：， 整理得：， 解得：， 这个二元一次方程为：， 即， 故答案为：． 【拓展训练二 二元一次方程正整数解求解】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了多元一次方程正整数解问题．如：方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， 那么方程的正整数解的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三元一次方程的正整数解个数，由题意可得方程（且为正整数）的正整数解有个，由方程得，进而通过对取值把三元一次方程转化为二元一次方程的情况进行求解即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， ∴方程（且为正整数）的正整数解有个， ∵， ∴， 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； 当时，，其正整数解有个； ∴总解数为， 选项：． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·月考）二元一次方程的正整数解有______个． 【答案】3 【分析】写出使二元一次方程成立的所有符合条件的正整数解即可． 【详解】解：∵二元一次方程， ∴方程组的正整数解为， ∴二元一次方程的正整数解有3个． 1．（24-25七年级下·湖南永州·月考）关于x、y的二元一次方程的正整数解的对数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，用y表示x是解题的关键. 先用y表示x,然后确定方程的正整数解，最后统计即可解答． 【详解】解：， 解得：， 当时，；当时，， 则方程的正整数解有2对． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆潼南·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则_____，并直接写二元一次方程的所有正整数解____________________． 【答案】 1 ，， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 原二元一次方程为：， 当时，， 当时，， 当时，， 故二元一次方程的所有正整数解为：，，， 故答案为：1；，，． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． 【答案】(1)；3或10； 或 (2)17 【分析】本题主要考查了解二元一次方程： （1）①处求出方程的正整数解即可；②处满足是正整数，且要满足是正整数，据此可求出③处的答案； （2）设这个正整数为m，（k为正整数），则，再由m与23的差是6的倍数，可设，据此可得，再保证是整数的前提下也要保证，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，且x、y都是正整数， ∴； ∵是正整数， ∴当时，， 当时，； 当时，，不符合题意； ∴原方程的正整数解为： 或； 故答案为：；3或10； 或 （2）解：设这个正整数为m，（k为正整数）， ∴， ∵m与23的差是6的倍数， ∴可设， ∴， ∴是整数，且要保证， ∴当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； ∵k随n增大而增大，m随k增大而增大， ∴m的最小值即为17． A基础训练 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据二元一次方程的定义判断即可． 【详解】解：A项：中含未知数的项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程，故A错误； B项：只含有1个未知数，不符合定义，不是二元一次方程，故B错误； C项：整理得，是整式方程，含有两个未知数x，y，且含未知数的项的次数都是1，符合定义，是二元一次方程，故C正确； D项：中是分式，方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程，故D错误． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）下列各方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①两个方程均为整式方程；②共含两个不同未知数；③每个方程的次数为1，逐一判断即可． 【详解】解：A. 第二个方程含，次数为2，不符合一次方程要求； B. 含三个未知数，不符合二元条件； C. 第二个方程含二次项，次数为2； D. 两个方程均为一次整式方程，且仅含，符合定义． 故选：D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）二元一次方程的正整数解的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 【答案】A 【分析】根据二元一次方程，取为正整数，然后求解即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，不符合， 所以，二元一次方程的正整数解的个数是． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，根据正整数解的定义，给特殊值进行计算即可，比较简单． 4．（25-26八年级上·河南开封·月考）若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握将方程的解代入方程可得到关于未知参数的方程是解题的关键． 将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故选：A． 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 【答案】A 【详解】解：设●，※两处分别代表的是，， ∵， ∴， 解得． B 提高训练 6．（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知是关于，的二元一次方程，则______． 【答案】4 【分析】根据二元一次方程未知数的次数是1求解即可． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ， 解得． 7．（25-26八年级上·河北保定·期末）若是关于的方程的一个解，则的值是___________． 【答案】4 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入方程，得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴代入方程得：， 即， 移项得：， ， 解得：． 故答案为：4． 8．（24-25七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解观察得出两个方程的解中相同的解为方程组的解． 【详解】解：根据方程组的解的定义，能够同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解， 可知是这两个方程中所有的解中能同时满足两个方程的解， ∴方程组的解为， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了方程组的解的定义，能够熟练掌握同时满足方程组中的两个方程的解是方程组的解是解答此题的关键． 9．（24-25七年级下·河南南阳·月考）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 【答案】 4 【分析】根据的解为得到，解关于和的二元一次方程组即可． 【详解】解：∵的解为， ∴， 解得：． 10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解与系数的关系是解题的关键 （1）两个表格中的相同解即为方程组的解； （2）根据两个方程组的系数的关系即可求解． 【详解】解：（1）根据表格可知，当时，中，中， ∴关于，二元一次方程组的解为， 故答案为； （2）∵关于，二元一次方程组的解为， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 解得， ∴关于，的二元一次方程组的解为， 故答案为． C 培优训练 11．（24-25七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 【答案】见解析 【分析】根据二元一次方程组的定义可以判断． 【详解】解：（1）中含有3个未知数，所以它不是二元一次方程组； （2）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组； （3）该方程组中一个方程的含有未知数的项的最高次数是2，所以它不是二元一次方程组； （4）该方程组中的一个方程不是整式方程，是分式方程，所以它不是二元一次方程组； （5）中含有2个未知数，并且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，该方程组符合二元一次方程组的定义，故它们是二元一次方程组． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，熟练掌握系数不等于且次数等于的知识点是解题关键． 根据二元一次方程的定义可得、项的系数不等于且次数等于从而得到关于、的不等式及方程，然后求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得或， 又， ， ，的值分别为，． 13．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）将三对值代入方程判断即可得到解； （2）将三对值代入方程判断即可得到解； （3）找出两方程的公共解，即为方程组的解． 【详解】（1）解：将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； 将代入方程左边得：，右边，左边右边； （2）解：将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边右边，是方程的解； 将代入方程左边得：，右边，左边≠右边； （3）解：两方程的公共解为， 则方程组的解为． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 14．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）如图，是线段的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和是厘米，线段的长度与线段的长度都是整数，则线段的长度为多少厘米． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程，解题关键是正确理解题意并列出相应方程． 设，，由题意得出二元一次方程后，根据线段的长度与线段的长度都是整数得出、的值即可得解． 【详解】解：是线段的中点， ， 设，， 则依题意得：， 即， 得， 线段的长度与线段的长度都是整数， 则最大为，此时为小数，不符合题意； 时，，符合题意； 时，为小数，不符合题意． ． 15．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【详解】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01二元一次方程组的概念重难点题型专训 （2个知识点+5大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 二元一次方程的定义 题型二 二元一次方程的解 题型三 判断是否是二元一次方程组 题型四 判断是否是二元一次方程组的解 题型五 已知二元一次方程组的解求参数 拓展训练一 根据定义求字母参数值 拓展训练二 二元一次方程正整数解求解 知识点一：二元一次方程（组）的概念 1、二元一次方程 · 定义：含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程 · 一般形式： ， · 三大判定条件（缺一不可） ① 整式方程（分母不含未知数、无根号未知数） ② 只 2 个未知数（x、y） ③ 含未知数项次数 = 1（不是 xy 这种二次乘积） · 解的特点：一个二元一次方程有无数组解 2、二元一次方程组 · 定义：两个整式方程，共含2 个未知数，所有含未知数项次数都是 1，组合成方程组 · 特殊规则：方程组里可以有一元一次方程，依然算二元一次方程组例：{x+y=5x=3​ 是二元一次方程组 【即时训练】 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列各式中，是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）在①②③中，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程的解，_________是二元一次方程组的解．（填序号） 知识点二：二元一次方程（组）的解 1、 二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 2、 二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 【即时训练】 1．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）方程的解是，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）若关于，的二元一次方程有一个解是，则_____． 【经典例题一 二元一次方程的定义】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）方程■是二元一次方程，■是被污染的x的系数，推断■的值（    ） A．不可能是 B．不可能是 C．不可能是3 D．不可能是2 【例2】（24-25七年级下·宁夏吴忠·月考）若是二元一次方程，则值_______． 1．（24-25七年级下·西藏昌都·期末）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【经典例题二 二元一次方程的解】 【例1】（24-25七年级上·安徽合肥·月考）方程在正整数范围内的解（    ） A．有无数对 B．只有一对 C．只有三对 D．以上都不对 【例2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）把一根长的钢管截成和两种规格的钢管（两种必须都要有），如果没有剩余，那么有几种截法？每种截法里和各有几根？（试用二元一次方程求解） 1．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，．设．若且，则称，，为原位大三和弦；若且，则称，，为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（   ） A．5 B．8 C．10 D．15 2．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知是关于，二元一次方程的解，则代数式的值是____________． 3．（2026·安徽合肥·一模）某数学学习小组在课堂练习中，研究了“寻找无数组整数，，使得”的问题，整理出的部分数表如下： _________ _________ (1)观察表格，根据规律在表格的横线上填空； (2)由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是和，则表中相邻的下一列的两个数分别是______和______（分别用含和的式子表示）； (3)有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数，都存在无数组整数，，使得成立”．请判断该结论的正误并简述理由． 【经典例题三 判断是否是二元一次方程组】 【例1】（24-25六年级下·上海松江·期末）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河南洛阳·期中）解二元一次方程组的基本思想是通过______将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解． 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） ①②③④ A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③ 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把含有相同未知数的_______个_______联立在一起组成的方程组叫作二元一次方程组．我们把二元一次方程组中两个方程的_______叫作二元一次方程组的解． 3．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【经典例题四 判断是否是二元一次方程组的解】 【例1】（25-26八年级上·山西晋中·期末）适合二元一次方程和的部分值分别如表1、表2所示，则方程组的解是（   ） 表1 0 1 2 y 2 0 表2 0 1 2 0 A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·北京·期中）写出一个解为的二元一次方程组________． 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（    ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如表，关于的二元一次方程的部分解如表，则关于的二元一次方程组的解是______． 表 表2 3．（24-25七年级下·全国·假期作业）小慧在文具店买了5本练习本和4支圆珠笔，共花去23元小强买了同样的练习本10本和同样的圆珠笔2支，共花去34元． (1)设练习本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元，列出相应的方程组； (2)是列出的二元一次方程组的解吗？请说明理由． 【经典例题五 已知二元一次方程组的解求参数】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知方程组的解是，则方程组的解为______． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川眉山·期末）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，解得则表示的数为____，表示的数为____． 3．（2025·山东枣庄·模拟预测）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是．例如：，． (1)按照这个规定请你计算的值； (2)有两个算式：，求的值． 【拓展训练一 根据定义求字母参数值】 【例1】（25-26七年级下·全国·周测）已知方程是二元一次方程，则和的值分别是（    ） A．1和1 B．0和1 C．1和0 D．0和0 【例2】（24-25七年级下·辽宁鞍山·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则________． 1．（24-25七年级下·湖南永州·月考）若方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．2 B． C．0 D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为___________． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若将关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则这对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：将二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为______； (2)已知一个关于、的二元一次方程的解为，且该方程的“相伴系数对”为，写出这个二元一次方程为______． 【拓展训练二 二元一次方程正整数解求解】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）在学习了《二元一次方程》后，数学兴趣小组的同学们探究了多元一次方程正整数解问题．如：方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，方程的正整数解有个，， 那么方程的正整数解的个数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·吉林长春·月考）二元一次方程的正整数解有______个． 1．（24-25七年级下·湖南永州·月考）关于x、y的二元一次方程的正整数解的对数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2． （24-25七年级下·重庆潼南·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则_____，并直接写二元一次方程的所有正整数解____________________． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）综合与实践 【问题情境】 我们知道方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出它的正整数解，通过观察法，容易求出其正整数解为① ． 【实践探究】 但类似方程，因未知数的系数较大，用观察法不易求出其正整数解，此时，我们可以运用辗转相除法逐步缩小系数，解题过程如下： 由，得 ∵x，y是正整数， 也是正整数， ∴可用观察法，得 ② ； ∴原方程的正整数解为：③ ． 阅读以上材料，解决下列问题： (1)请补充上述探究过程中①②③所缺的内容； (2)一个正整数与23的和是5的倍数，与23的差是6的倍数．请结合以上探究方法，求满足条件的最小正整数． A基础训练 1．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南湘潭·期中）下列各方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）二元一次方程的正整数解的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．无数个 4．（25-26八年级上·河南开封·月考）若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 5．（25-26七年级下·河南鹤壁·月考）小琪在解二元一次方程组时遇到一个残缺方程组，她翻看了课后答案知道了此方程组的解为，于是她很快把残缺的两处补了出来，则●，※两处分别代表的是（    ） A．， B．，8 C．1， D．，1 B 提高训练 6．（25-26七年级下·河南南阳·月考）已知是关于，的二元一次方程，则______． 7．（25-26八年级上·河北保定·期末）若是关于的方程的一个解，则的值是___________． 8．（24-25七年级下·北京昌平·期末）已知方程的三个解为方程的三个解为则方程组的解为______． 9．（24-25七年级下·河南南阳·月考）小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 10．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 … 已知关于x，y的二元一次方程的解如下表： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 2 … （1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为______． （2）关于，的二元一次方程组的解为______． C 培优训练 11．（24-25七年级·全国·假期作业）判断下列方程组是否为二元一次方程组，并说明理由． （1）；（2）；（3）；（4）；（5）． 12．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知方程是关于，的二元一次方程，求，的值． 13．（2025七年级下·浙江·专题练习）已知下面三对数值：；；． (1)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (2)哪几对能使方程左、右两边的值相等？ (3)二元一次方程组的解是什么？ 14．（24-25七年级下·重庆渝北·自主招生）如图，是线段的一点，是线段的中点．已知图中所有线段的长度之和是厘米，线段的长度与线段的长度都是整数，则线段的长度为多少厘米． 15．（25-26八年级上·江西吉安·月考）【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 学科网（北京）股份有限公司 $