25.2.3因式分解法（分层作业）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习聚焦“因式分解法解一元二次方程”，以“基础巩固+方法提升”分层设计，通过类型化题组实现从单一解法到综合应用的知识进阶，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |类型一（基础层）|因式分解法解一元二次方程|以选择、填空、解答题梯度呈现，含直接解方程（如第1-5题）、根的应用（如三角形边长问题第4题），强化运算能力| |类型二（提升层）|换元法解一元二次方程|通过换元转化（如第38题设y=x²）、实际情境应用（如第44题直角三角形边长），发展抽象能力与推理意识|

25.2.3因式分解法（原卷版） 目 录 类型一、因式分解法解一元二次方程 1 类型二、换元法解一元二次方程 3 类型一、因式分解法解一元二次方程 1．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 3．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 4．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 6．保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 8．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 10．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 11．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 12．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（   ）个图形共有45个小球． A．9 B．10 C．11 D．12 13．方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．6或者10 D．8或者10 14．方程的根是（    ） A． B． C． D． 15．方程的根是（   ）． A． B．， C． D．， 16．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 17．关于x的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 18．方程的解是（  ） A．， B． C．， D． 19．方程的根是_______． 20．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 21．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 22．已知，则的值为________． 23．一元二次方程的解为_________． 24．方程的根是__________． 25．方程的根是__________． 26．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 27．解下列方程： (1) (2) 28．解方程： (1) (2) 29．解方程： (1)； (2)． 30．解一元二次方程： (1)； (2)． 31．解方程： (1)； (2)． 32．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 33．选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)． 类型二、换元法解一元二次方程 34．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 35．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 36．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 37．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 38．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 39．关于的一元二次方程的两根分别为，3，则关于的一元二次方程的两根分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 40．已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 41．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 42．若，其中为实数且，，则____________． 43．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 44．设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 45．已知实数x满足，则代数式的值为________． 46．解方程： (1)； (2)． 47．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 48．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 49．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 50．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 1．如图，在矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设点运动的路程为，，图是点运动时随着变化的图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 3．如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 4．对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 5．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 6．方程的根是______． 7．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 8．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 2．综合与实践：探索蜂巢中的数学奥秘． 背景：如图1，蜂巢的横截面由各边相等、各内角也相等的正六边形拼接而成，为什么不用正三角形、正方形呢？猜想：在相同周长的情况下，正六边形的面积最大． 探索：小温为了验证猜想，用周长均为的三种图形验证，部分计算结果如表． 形状 图示 周长/ 边长/ 面积/ 正三角形 正方形 正六边形 _________ _________ 设计：小温计划按照如图2的规律，将个边长为的正六边形模具全部拼接成一个装饰后，再水平布置在一个如图3的矩形背景墙中． (1)任务一：将“探索”中的表格填写完整． (2)任务二：求出小温拼接成的装饰中最底层正六边形模具的个数． (3)任务三：小温能否在矩形背景墙中布置成功，请通过计算说明． 3．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．下面构造了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为，，，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)已知的三边为，，（为斜边），其中，满足，求的斜边的长． (3)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.3因式分解法（解析版） 目 录 类型一、因式分解法解一元二次方程 1 类型二、换元法解一元二次方程 14 类型一、因式分解法解一元二次方程 1．若关于的一元二次方程有解，则该方程的解是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】利用一元二次方程有解的条件，即判别式，结合平方数的非负性求出的值，再代入原方程求解即可． 【详解】解：一元二次方程有解， 判别式， 其中，，代入得， ， 对任意实数，都有， ，结合，得， 解得， 将代入原方程，得， 整理为， 解得， 所以该方程的解是和． 2．一元二次方程的一个根为3，那么它的另一个根为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】B 【分析】已知一元二次方程的一个根，可先将根代入方程求出参数m的值，再解一元二次方程得到另一个根即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴将代入原方程得，可得， ∴原方程为，即， 解得， ∴方程的另一个根为． 3．关于的一元二次方程的一个根为，那么它的另一个根为（     ） A． B．1 C．3 D． 【答案】B 【分析】已知根代入方程求出参数，再解一元二次方程即可得到另一个根． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的根， ∴ 将 代入原方程得：， 解得 ， ∴ 原方程为 ， ， 解得方程的两个根为 ，. ∴ 方程的另一个根为 ． 4．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，结合三角形三边关系排除不符合的边长，再计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，， ∵三角形边长为正数， ∴舍去负根，得第三边长为， ∵，符合三角形三边关系， ∴三角形周长为． 5．关于的一元二次方程的解为（     ） A．， B． C． D．， 【答案】B 【分析】将方程整理后，通过提取公因式因式分解，得到方程的根． 【详解】解：， 移项得：， 提取公因式得：， 化简得：， ∴ ． 6．保定古莲花池内一个景观石的坐标为且满足：，是一元二次方程的两个根，，则表示景观石位置的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程得到两个根，结合确定点横纵坐标的符号，再根据象限的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：， ， ∴ 或 ， 解得 ，， ∵ ，是方程的两个根，且， ∴ ，，即点坐标为， ∵ 横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴ 点在第二象限． 7．方程的解为（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】使用因式分解法即可得到方程的解，用到因式分解中提取公因式的方法和“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质． 【详解】将原方程移项整理得 ， 提取公因式得 ， 或 ， 解得 ，． 8．若实数，是一元二次方程的两个根，且，则点所在象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先解一元二次方程，得出，然后根据象限内点的坐标特点进行判断即可． 【详解】解：∵实数，是一元二次方程的两个根，且， ∴， ∴为， ∴在第二象限． 9．已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】先解一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系筛选出符合条件的第三边，最后计算周长得到结果． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得或， ∵三角形两边长为4和8， 根据三角形三边关系，得第三边满足， 即， ∴不符合三边关系，舍去； 符合要求， ∴三角形的周长为． 10．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先通过因式分解法求出一元二次方程的两个根，再计算两根之和即可得到答案． 【详解】解：， 或， 解得：， ． 11．一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴可得或， 解得． 【点睛】多个因式乘积为0，则至少一个因式为0． 12．如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第（   ）个图形共有45个小球． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】根据图形变化规律可知，第n个图形有个小球，据此规律列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：第1个图中有1个小球， 第2个图中有3个小球，， 第3个图中有6个小球，， 第4个图中有10个小球，， ．．．．．． 照此规律，第个图中有个小球， 由题意得， 解得或， ∴第9个图形共有45个小球． 13．方程的两根是等腰三角形的底边长和腰长，则该等腰三角形的周长为（   ） A．8 B．10 C．6或者10 D．8或者10 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 先解一元二次方程得到两根，再分两种情况结合三角形三边关系判断能否构成等腰三角形，最后计算符合条件的三角形周长． 【详解】解：∵， ∴， 解得或； ①当底边长为2，腰长为4时，三角形三边为4,4,2， ∵，，满足三角形三边关系， ∴周长为； ②当底边长为4，腰长为2时，三角形三边为2,2,4， ∵，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形，舍去， ∴该等腰三角形的周长为10； 故选：B． 14．方程的根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的求解，可通过移项后因式分解的方法，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 解得， 故选：B． 15．方程的根是（   ）． A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先移项，再运用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：，， 故选：D． 16．一元二次方程的解是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程． 根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 解得：． 故选：C． 17．关于x的一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是关键．通过提取公因式求解即可． 【详解】解：， ， 或， 即，． 故选：B． 18．方程的解是（  ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解法-因式分解法，通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即或， ∴方程的解为，， 故选：A． 19．方程的根是_______． 【答案】， 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 移项，得, 方程左边因式分解得 ∴或 解得，． 20．若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 21．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 22．已知，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据因式乘积为的性质，若两个因式的乘积为，则至少有一个因式为，先求出的所有可能值，再代入计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：或， ∴当时，，当时，， ∴的值为或． 23．一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 24．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解∶∵， ∴或， 解得，． 25．方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：方程， 整理得， 因式分解得， 则或， 解得，． 26．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，，， ∵， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； （4）解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 27．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，． （2）解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，． 28．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对方程因式分解，得， 解得． （2）解：移项，得， 判别式， 由公式法解得，． 29．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴，； （2）解：， ， 或， 解得，. 30．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案； （2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案． 【详解】（1）解：因式分解，得， ，； （2）解：提取公因式，得， 即， ，． 31．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程为 提取公因式得 可得或 解得， （2）原方程为 移项得 提取公因式得 可得或 解得， 32．用适当的方法求解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， ，； （2）解：， ，，， ， ， ，． 33．选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得； （2）解：， 整理为一般式得， 因式分解得， 可得或， 解得． 类型二、换元法解一元二次方程 34．已知实数a，b满足，则的值为（     ） A．5或 B．或2 C．5 D．2 【答案】C 【分析】采用换元法简化原方程，结合平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】解：设， 原方程可化为， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 35．已知关于的方程（a、b、c均为常数，且）的解是，，那么方程的解是（　　） A． B． C． D．，方程无实数解 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键． 通过变量替换，令，将新方程转化为原方程形式，利用已知解求解关于的方程． 【详解】令，则方程化为, ∵方程的解为，， ∴或， ∴或， 解得或 ∴新方程的解为， 故选：A． 36．若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程有一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义，通过一元二次方程，变形为，再根据题意可得一元二次方程有一个根为，然后求解即可，掌握换元法是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴一元二次方程有一个根为，解得， 故选：． 37．已知实数满足，则的值为（   ） A．或1 B．或6 C．6 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 将看做一个整体，代入求解，再根据判断即可． 【详解】， 设， ∵实数满足， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 故选：D． 38．用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于y的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，换元法的应用，解题的关键是去分母将其化为整式方程． 由题意可得，再去分母可得，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可化为： ， ， ， 故选：A． 39．关于的一元二次方程的两根分别为，3，则关于的一元二次方程的两根分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程，由题意知或，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根分别为，3， 一元二次方程中，或， 则关于的一元二次方程中，或， 解得，， 故选：C． 40．已知，则的值是（   ） A． B．3 C．或3 D．或2 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握相关运算方法为解题关键，先将方程变为，令， 得到一个一元二次方程，求出t的值，再根据即可得出结果 【详解】解：， ， 令， ， 解得：或， ， （舍去）， 的值是3， 故选：B 41．一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟知换元思想是解题的关键．根据题意可知，用替换了原方程中的，结合换元思想即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将一元二次方程中的“”用“”替换， 可得方程， 因为一元二次方程的两根分别为，1， 所以或1， 解得或2， 即方程的两根分别为，． 故选：D． 42．若，其中为实数且，，则____________． 【答案】 【分析】先对第二个方程变形，整理得到关于的一元二次方程，该方程与已知关于的方程形式相同，结合条件可知和是该一元二次方程的两个不同根，计算可得两者的和． 【详解】解：已知，，且，． 由可得，若，等式左边为，不成立． 将两边同时除以， 得：， 移项整理得：， 因此和都是一元二次方程的根． 对因式分解， 得， 解得方程的两个根为，． ∵，因此和为方程两个不同的根． ． 43．我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是___． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据已知方程的解，通过代换法求解新方程． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因为方程的解是，， 所以或，即或， 解得或． 故答案为：，． 44．设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________． 【答案】 【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长． 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 即 ， ， 解得 或 ， 由于 ，故舍去 ， ∴， 在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和， 故斜边长为． 故答案为 ． 45．已知实数x满足，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． 通过换元法将原方程转化为关于新变量的一元二次方程，求解后验证实数解条件，排除无效解，最后代入求值． 【详解】解：设， 则原方程化为， 因式分解得， 所以或， 即或． 当时，方程的判别式，无实数解，故舍去； 当时，方程的判别式； ∴． 故答案为：7． 46．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根 (2)， 【分析】（1）求得判别式，进而可得原方程无解； （2）设，则解方程，得到t值，再解关于x的一元二次方程即可． 【详解】（1）解：对于方程，，，， ∴， ∴原方程无实数根； （2）解：设，则原方程化为，即， 解得，， 当时，，即， ∵， ∴此方程无实数根； 当时，，即， ， ∴， ∴，． 47．请阅读下列材料： 解方程． 解法如下： 将视为一个整体，然后设，则， 原方程可化为，解得，． （1）当时，，解得； （2）当时，，解得． 综合（1）（2），可得原方程的解为． 请你参考明明同学的思路，解方程． 【答案】， 【分析】设，则原方程化为一元二次方程：，先解出的值，再进一步解出的值． 【详解】解：设，则原方程可化为：， 解得：，， （1）当时，，解得，， （2）当时，，此方程无实数根， 综合（1）（2），可得原方程的解是：，． 48．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解，绝对值的非负性及正整数解的枚举． （1）观察到方程中反复出现（含绝对值），因此设，原式变为，解这个一元二次方程后，需结合的条件筛选有效解，再回代，通过绝对值的定义求出x的值； （2）利用换元法，观察到方程中反复出现，设，方程转化为关于m的一元二次方程：，解这个方程后，结合m为正整数的条件筛选有效解，根据，通过枚举正整数对得到所有解． 【详解】（1）解：设，原式变为：， ∴， ， ， ， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：，． （2）解：设，原式为， ∴， ， ， ， ， 解得：，， ∵x和y都是正整数， ∴， ∴x和y的解为或或或． 49．阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程，可将方程变形为，设，则，原方程化为，解得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，∴原方程的解为，． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)已知实数x、y满足；求的值． 【答案】(1)，． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得，则，再得，解得，，再逐个分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 设，则， 原方程化为， ∴， 解得，．当时，无意义，舍去； 当时，，解得， ∴原方程的解为，． （2）解：依题意，， 设， 原方程化为， ∴， ∴， 解得，． 当时，， ∴， 当时，， ∴无意义，舍去； 综上：． 50．阅读下列材料： 已知实数满足，试求的值． 解：设 则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料内容，解决下列问题： (1)已知实数满足，求的值； (2)解方程； (3)若四个连续正整数的积为120，请求出这四个连续的正整数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程． （1）由已知等式设，得出，求出，结合可得答案； （2）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案； （3）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． 【详解】（1）解：∵， 设， 则， ， ， ∴， ， ； （2）解：∵， ∴， 设，则， ， 或， ， 或， ； （3）解：设最小数为，则， 即， 设，则， ， ∵为正整数， ， （舍去）， 这四个整数为， 故答案为：． 1．如图，在矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设点运动的路程为，，图是点运动时随着变化的图象，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出的长是解题的关键，当，即P在B点时， 得；利用两点之间线段最短，得到，得y的最大值为，然后，在中，设的长度为t，则，由勾股定理求出t的长，即可求得的长． 【详解】解：由函数图象知：当，即P在B点时，， 利用三角形中任意两边之差小于第三边，得到， 当点P、E重合时，有， ∴， ∴y的最大值为， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设的长度为t， 则， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 2．对于实数m，n，现定义一种运算“*”如下：，若，则实数x的值为（   ） A．3或 B．或8 C．8 D．3 【答案】D 【分析】根据新定义分两种情况计算：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】解：若， 则当时，， 整理得， 解得（舍去）或， 当时，， 解得（舍去）， 综上，， 故选：D． 3．如果，那么的值为（    ） A．3或2 B．或2 C．或2 D．3或 【答案】C 【分析】此题考查了绝对值和算术平方根的非负性，解一元二次方程，代数式求值，完全平方公式，解题的关键是掌握以上知识点． 由方程左边非负可得，求出，得到，方程化为，利用非负性求出，或，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选：C． 4．对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 5．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”．关于的方程（是常数）是“邻根方程”，则的值是________． 【答案】或 【分析】先对关于的一元二次方程因式分解求解得到两个根，再根据“邻根方程”的定义，得到两根的差为，分情况列方程计算的值即可． 【详解】解：对因式分解得：， 或， 解得：，， 方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． 6．方程的根是______． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘得， 整理得， 解得，， 经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根. 7．已知三个实数a，b，c满足，，且，则c的最小值为_____． 【答案】 【分析】将用含和的代数式表示，代入得到关于的一元二次方程，利用一元二次方程有实根时判别式非负，结合求出的取值范围，即可得到的最小值． 【详解】解：由得 ， 将代入得 ， 整理得 ， 两边同除以得 ， 因为为实数，所以关于的一元二次方程有实数根，判别式， 即 ， 因式分解得 ， 因为已知， 所以， 即 故的最小值为． 8．如图，图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，，，已知，则x的值为_____． 【答案】1 【分析】先对主视图和左视图的面积表达式进行因式分解，得出长、宽、高相关信息，再根据长方形面积公式得出俯视图的面积表达式，最后结合已知条件通过解一元二次方程即可求解x的值． 【详解】解：∵，， ∴俯视图的长为，宽为， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， 即x的值为1． 1．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 2．综合与实践：探索蜂巢中的数学奥秘． 背景：如图1，蜂巢的横截面由各边相等、各内角也相等的正六边形拼接而成，为什么不用正三角形、正方形呢？猜想：在相同周长的情况下，正六边形的面积最大． 探索：小温为了验证猜想，用周长均为的三种图形验证，部分计算结果如表． 形状 图示 周长/ 边长/ 面积/ 正三角形 正方形 正六边形 _________ _________ 设计：小温计划按照如图2的规律，将个边长为的正六边形模具全部拼接成一个装饰后，再水平布置在一个如图3的矩形背景墙中． (1)任务一：将“探索”中的表格填写完整． (2)任务二：求出小温拼接成的装饰中最底层正六边形模具的个数． (3)任务三：小温能否在矩形背景墙中布置成功，请通过计算说明． 【答案】(1)边长，面积 (2)装饰中最底层正六边形模具有个 (3)能布置成功，理由如下： 如图， ， ∴， ∵1个正六边形的水平宽度为2个边长为的正三角形的高，即， 如图 ∴1个正六边形的竖直高度为 水平：；竖直：； ∴小温能在矩形背景墙中布置成功 【分析】（1）先求得正六边形的边长，根据正六边形的面积等于六个正三角形的面积，结合表格中正三角形的面积，即可求解． （2）找到图2的规律可得，第个图中有：个正六边形，最底下有个正六边形，进而列出一元二次方程，解方程，即可求解． （3）分别计算水平和竖直宽度，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：正六边形的周长为，则边长为 正六边形的面积等于六个正三角形的面积， ∴正六边形的面积为 （2）解：由图2可得，第1个图形中有1个正六边形， 第2个图中有：个正六边形，最底下有2个正六边形， 第3个图中有：个正六边形，最底下有3个正六边形， 第4个图中有：个正六边形，最底下有4个正六边形， ∴第个图中有：个正六边形，最底下有个正六边形， 当时， 解得：或（舍去） 答：装饰中最底层正六边形模具有个 （3）略 3．【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．下面构造了一个新的证法：把两个全等的和按如图1方式放置，其三边长分别为，，，． (1)请你利用图1证明勾股定理； (2)已知的三边为，，（为斜边），其中，满足，求的斜边的长． (3)如图2，在中，，，，且，当是钝角三角形时，猜想与之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：根据题意，由图1可知： ，，，，， ， ， ， ， ； 又 ， ， ． (2) (3)，理由如下： 过点作交延长线于，设， 在中，， 在中，， ， 化简得，， ，， ， ， ． 【分析】（1）先证明，再根据，，结合三角形的面积公式推导结论即可； （2）根据勾股定理得，结合已知得到，进而解方程求得c值即可； （3）过点作交延长线于，设，在和中，利用勾股定理得到，进而化简即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ， ， 解得，，， ， ， （负值舍去） 的斜边的长为． （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $