第八章 实数 【暑假提升作业】 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦实数单元核心知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配七年级暑假提升需求，渗透数学抽象、运算能力与推理意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/|无理数判断、平方根运算、实数估算|结合数轴（题9）、数值转换器（题10）考查几何直观与运算能力| |填空题|6/|算术平方根、立方根、大小比较|融入非负数性质（题13）、正方形与数轴结合（题15），体现模型意识| |解答题|6/|实数计算、方程求解、阅读理解|21题结合魔方体积探究边长，22题渗透华罗庚立方根口算方法，强化数学思维与应用意识|

【暑假提升作业】实数-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列算式中正确的是（     ） A． B． C． D． 3．有理数64的算术平方根是（     ） A． B． C． D． 4．实数，，0，中，最小的是（    ） A． B．0 C． D． 5．估计在哪两个整数之间（     ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 6．若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 7．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 8．下列命题是真命题的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．若一个数的立方根等于它本身，则这个数一定是0或1 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 9．如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 10．如图是一个数值转换器的原理图，当输入的值为81时，输出的值是（     ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 11．的算术平方根是____________，的立方根是____________，的平方根是____________． 12．比较大小______（填入“>”或“<”号）． 13．若，则_______． 14．若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 15．将一把刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），数轴上点对应刻度尺上的“4”，面积为的正方形其中一个顶点落在点处，以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点．则点在刻度尺上对应的数为______． 16．若，，，则______（用、、来表示）． 三、解答题 17．计算：． 18．利用平方根或立方根的定义，求下列各式中x的值． (1)； (2) 19．已知的立方根是，的算术平方根是6，c是的整数部分．求的值． 20．阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． ，都是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，， ，． 根据阅读材料，解决以下问题： 若，都是有理数，且，求的值． 21．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 22．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【暑假提升作业】实数-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B C C C C A D D 1．B 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，可化为分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 开平方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数． 2．C 【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据定义计算各选项即可判断正误； 【详解】解：表示9的算术平方根，结果为非负数，， A错误.； 表示9的平方根，，B错误； ，，，C正确； ，D错误； 3．B 【分析】若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根，算术平方根一定为非负数． 【详解】∵． ∴的算术平方根是． 4．C 【分析】先化简题目中的各数，再根据实数大小比较规则，即可找出最小的数． 【详解】解：∵，， ∴四个数化简后为，，，， ∵， ∴最小的数是． 5．C 【分析】用夹逼法估计无理数的大小，找到紧邻23的两个完全平方数，利用算术平方根的性质即可确定的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴，即 ， 因此在4到5之间． 6．C 【分析】本题考查平方根的基本性质，一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质可直接求解． 【详解】∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， 这个数的一个平方根是， ∴ 它的另一个平方根是． 7．C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 8．A 【分析】本题为基本概念辨析题，根据算术平方根、点到直线的距离、立方根、垂直的定义逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对选项A：∵ ，算术平方根为非负平方根，∴ 的算术平方根是，A是真命题； 对选项B：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，不是垂线段本身，∴ B是假命题； 对选项C：立方根等于本身的数是，和，∴ C是假命题； 对选项D：只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项缺少前提，∴ D是假命题． 9．D 【分析】根据数轴可得点表示的数大于3且小于3.5，再根据无理数的估算方法求出四个选项中的数的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设点所代表的数为， 由数轴可知：，即，故B、C错误， ∵， ∴数轴上点表示的数可能是． 10．D 【分析】根据数值转换器的原理，输入一个数，求其算术平方根，若结果是有理数则重新输入，若结果是无理数则输出，据此逐步计算即可． 【详解】解：输入81，则， 是有理数， 重新输入，则， 是有理数， 重新输入，取算术平方根得，是无理数， 输出． 11． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是，的平方根是． 12． 【分析】两个正数比较大小，平方更大的原数更大，因此先计算两数的平方再比较大小． 【详解】解：∵ 和 都是正数，，， ∵ ， ∴ ． 13． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 14． 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 15． 【详解】解：由题意得，正方形的边长为， ∵数轴上点对应刻度尺上的“4”， 以点为圆心，以正方形边长为半径作圆交数轴于点 ∴点在刻度尺上对应的数为． 16． 【分析】根据被开方数小数点右移位，算术平方根小数点右移位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 17． 【分析】根据算术平方根的意义进行化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 18．(1) (2) 或 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 或， 或． 19． 【分析】根据立方根和算术平方根的定义求出和的值，估算得到整数的值，代入代数式计算即可． 【详解】解： 的立方根是，的算术平方根是， ，， 计算得：，解得， ，解得， ，即， 的整数部分为，即， 将，，代入得： ， 综上所述，的值为． 20． 【分析】仿照材料给出的方法，将原等式拆分为有理数部分和含的无理数部分，利用有理数和无理数的性质，令两部分分别等于0，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ，都是有理数， ，都是有理数 ， 是无理数， ， 解得或， 当，时，， 当，时， ， 综上所述，的值为． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2； （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：． 22．(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $