【暑假提升作业】第10章 二元一次方程组- 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 本卷为七年级下册二元一次方程组暑假提升单元卷，以文化传承与现实应用为特色，覆盖定义、解法、应用等核心知识，梯度设计适配暑假巩固与能力提升，培养抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二元一次方程（组）定义、解、解法、幻方、古代数学问题|第10题引用《九章算术》体现文化传承，第9题洛书幻方培养几何直观| |填空题|6题|方程变形、实际问题列方程、新定义运算|第14题新定义运算考查抽象能力，第16题通过方程组结构迁移培养推理意识| |解答题|6题|解方程组、实际应用（温度混合、商场进货）、几何动态（三角板旋转）|第19题商场进货方案培养模型意识，第21题三角板旋转结合几何与代数体现综合应用|

【暑假提升作业】二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．二元一次方程组的解为（     ） A． B． C． D． 2．已知是方程的解，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．若是关于，的二元一次方程，则的值（     ） A．1 B．3 C． D． 4．若是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好地促进学生开展小组合作，将全班46名学生分成4人学习小组和6人学习小组，则分组方案有（     ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 6．在解方程组的过程中，将②代入①可得（     ） A． B． C． D． 7．如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值为（     ） A． B．0 C．3 D．5 8．定义一种新运算：（其中，为常数）．若，，则下列结论：①；②当时，；③与的值互为相反数，其中正确的为（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．大约公元前2200年，在我国出现的“洛书”中就有关于幻方的记录．如图1，将九个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等，这样的图为广义的三阶幻方．如图2，数学综合实践课上，数学老师要求同学们将3、6、9、12、15、18、21、24、27这九个数填入这个三阶幻方中且对角的数字为x，y．若点的坐标为，则满足条件的点有（     ）个． A．2 B．4 C．6 D．8 10．《九章算术》“甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲乙持钱各几何？”意为：如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱．请问甲乙两人各带了多少钱？设甲带钱，乙带钱，即可列出二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知方程，用含的代数式表示，则_________ 12．某校为七年级学生安排宿舍，若每间宿舍住人，则有人住不下；若每间住人，则有一间只住人，且空两间宿舍，那么该校七年级学生有________人，学校安排给七年级学生的宿舍有________间． 13．已知表格中的每对，都是方程的解，则的值为__________． 1 2 4 5 7 6 4 3 14．定义运算“*”，规定，其中a，b为常数，且，，则______． 15．若方程组的解为，则被“”遮挡的数是____________． 16．已知方程组的解是，请你写出方程组的解___________． 三、解答题 17．解下列方程组 (1)． (2)． 18．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，开水的温度为．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失）． 求该学生接的温水、开水的体积分别是多少？ 19．某商场计划花9万元从厂家购进50台电视机．已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元． (1)若商场想同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你帮助该商场设计进货方案． (2)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元．在（1）的条件下，为使销售时获利最多，应选择哪种进货方案？ 20．有理数与无理数之间的运算有着某种规律性，例如：若和是有理数，，则，．已知和是有理数． (1)若，试求出的立方根； (2)若，其中，是的平方根，求的值． 21．一副三角板如图放置（，，边与重合），同时绕点O匀速旋转，且三角板比三角板旋转的速度慢． (1)如果三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上；如果三角板、三角板都按逆时针旋转，那么经过后，点D第一次落在边上．求两块三角板每秒分别旋转多少度？ (2)在（1）的条件下，如果两块三角板按顺时针方向旋转，那么经过多长时间点D第二次落在边上？ 22．仔细阅读下面的材料，并解答相应的问题． 材料：解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组时，可采用以下方法： 解：②−①，得：，所以③， 将③，得④， ①−④，得，从而可得， 所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组：； (2)猜测关于，的方程组的解，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《【暑假提升作业】二元一次方程组-2025-2026学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A C B A D D A 1．B 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 2．B 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 3．A 【分析】从二元一次方程“二元”“一次”的核心特征入手，列关于的关系式求解． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴且， 由得， 解得或， 由，得， ∴． 4．A 【分析】本题考查二元一次方程的解的概念，方程的解满足原方程，代入后得到的值，整体代入所求代数式即可求出结果． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 将代入方程得： ∴． 5．C 【分析】设分成个4人组，个6人组，根据总人数列出二元一次方程，结合均为非负整数的条件，找出所有符合要求的解，即可得到分组方案的数量． 【详解】解：设可以分成个4人组，个6人组，根据题意得 ， 整理得 ， ， 均为非负整数 ， ，且为偶数，因此为非负奇数，且 符合条件的取值为， 对应得到： ，，，，共4组不同解， 分组方案有4种． 6．B 【分析】将方程②中的表达式代入方程①，去括号即可得到结果． 【详解】解：将②代入①可得， ∴． 7．A 【分析】利用三阶幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，列出关于，的二元一次方程组，求解得到，的值后计算即可得到答案． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴． 8．D 【分析】先根据已知条件列二元一次方程组求出常数，的值，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 得，解得， 把代入④得，解得， ∴原方程组的解为， ∴，故①正确； 当时，，故②正确； ∵，， ∴， ∴与的值互为相反数，故③正确； ∴正确的有①②③． 9．D 【分析】求出中心数，再找出之间的关系，从而确定的值，再将的值代入点的坐标求值即可． 【详解】解：∵每个横行、每个竖列和每条对角线上的三个数之和都相等， ∴最中间的数为这个数字的平均数， ∴九宫格最中间的数为， ∴每个横行、每个竖列和每条对角线上的剩下的两数之和为， 则， ∴数对有， 将组数对分别代入点， 点的坐标有， ∴满足点的共有8个． 10．A 【分析】先根据题目给出的两个等量关系分别列出关于和的二元一次方程，再对应选项即可解答． 【详解】解：设甲带钱，乙带钱， 根据第一个条件：甲得到乙所有钱的一半后，甲共有钱，可列方程得， 根据第二个条件：乙得到甲所有钱的三分之二后，乙共有钱，可列方程得， 故联立可得二元一次方程组为． 11． 【分析】利用等式的性质对方程进行变形，再用含的代数式表示即可求解． 【详解】解：， 移项得：． 12． 94 18 【分析】设该校七年级学生有x人，学校安排给七年级学生的宿舍有y间，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该校七年级学生有x人，学校安排给七年级学生的宿舍有y间， 根据题意，得， 解得， 所以该校七年级学生有94人，学校安排给七年级学生的宿舍有18间． 13．6 【分析】根据方程的解的定义，任选两组解代入原方程，得到关于，的二元一次方程组，解方程组得到，的值，再计算即可． 【详解】选取表格中和，代入方程 得 化简方程组得 ， ①②得， 解得， 将代入②得， 解得， 则． 14． 【分析】根据已知定义得出方程，，整理后得出关于a、b的方程组求出a、b的值，再根据定义得出算式，最后求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得， ∴， ∴． 15．7 【详解】解：先把代入方程得， 解得：， ∴， 即被“”遮挡的数是． 16． 【分析】将所求方程组整理变形后，对照已知解的原方程组，根据方程组解的定义即可求出新方程组的解． 【详解】解：对所求第一个方程整理得：， 提取公因式得：， 两边同除以3得：， 同理对第二个方程整理得：， 已知原方程组的解为， 因此可得：， 解得，， 即所求方程组的解为． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据代入消元法计算； （2）根据加减消元法计算． 【详解】（1）解： 将②代入①，得 ， 解得， ∴， ∴方程组的解为； （2）解： ，得 ， ， 解得， 将代入②，得 ， 解得， ∴方程组的解为． 18．该学生接的温水是 ，开水的体积是 【分析】先设该学生接的温水的体积是，开水的体积是，再根据温度相等列出方程组，求出解即可． 【详解】解：设该学生接的温水的体积是，开水的体积是，根据题意得： 解得：． 答：该学生接的温水是 ，开水的体积是 19．(1)共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． (2)应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案． 【分析】（1）根据等量关系“两种不同型号的电视机共50台”和“买两种电视花去的费用9万元”．然后分进的两种电视是甲乙，乙丙，甲丙三种情况分别列二元一次方程组求解即可； （2）根据（1）得出的方案，分别计算出各方案的利润，然后确定出获利最多的方案即可． 【详解】（1）解：①设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台． 则有： ，解得：， 所以购进甲种电视机25台，乙种电视机25台． ②设购进乙种电视机a台，丙种电视机b台． 则有： ，解得：，（不符合题意舍去）． ③设购进甲种电视机c台，丙种电视机d台． 则有： ，解得：． 所以购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． 综上，共有2种进货方案．方案一：购进甲种电视机25台，乙种电视机25台．方案二：购进甲种电视机35台，丙种电视机15台． （2）解：方案一获利为：（元）； 方案二获利为：（元）． 因为， 所以应选择购进甲种电视机35台、丙种电视机15台的进货方案，此时获利最多． 20．(1)2 (2) 【分析】（1）根据题意可得，，从而可得，，代入所求式子，最后结合立方根的定义计算即可得出结果； （2）先将式子整理为，再结合题意求得，最后由平方根的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，m和n是有理数， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∵m和n是有理数， ∴， 解得， ∵m，n是x的平方根， ∴． 21．(1)三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； (2)经过秒点D第二次落在边上． 【分析】（1）由题意得，设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，根据三角板按顺时针旋转，三角板按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上，三角板、三角板都按逆时针旋转，后，点D第一次落在边上．建立二元一次方程组求解即可； （2）设经过秒点D第二次落在边上，由（1）中结论结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 设三角板每秒旋转，三角板每秒旋转，且， 根据题意得，解得， 答：三角板每秒旋转，三角板每秒旋转； （2）解：设经过秒点D第二次落在边上， 由题意得， 解得， 答：经过秒点D第二次落在边上． 22．(1) (2)， 理由如下：， ①−②，得：， ∵， ∴ ③， 将③，得④， ①−④，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． 【详解】（1）解：， ①−②，得：，所以③， 将③，得④， ④−②，得，解得，从而可得， 所以原方程组的解为． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $