第一章 集合与常用逻辑用语（复习课件）数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习课件系统梳理了集合与常用逻辑用语的核心内容，通过知识图谱将集合的概念、关系、运算及常用逻辑用语的充分条件、必要条件、量词等知识串联，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型全解-针对训练”的复习策略，如通过集合间关系判定例题培养数学思维，结合Venn图直观分析提升数学语言表达能力，分层训练让不同学生巩固知识，助力教师精准教学。

第一章 单元复习课件 人教A版（2019）·高一数学必修一 集合与常用逻辑用语 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 透彻掌握集合的定义、基本关系与运算性质；深入理解充分条件、必要条件及充要条件的逻辑内涵；能够熟练运用全称量词与存在量词进行准确的数学表达与判断。 02 过程与方法目标 体会集合语言的简洁性与准确性，学会利用韦恩图、数轴等直观工具解决抽象问题；在探究过程中逐步形成数形结合、分类讨论的数学思想，提升分析问题和解决问题的综合能力。 情感与价值目标 感受数学体系的严谨性与逻辑性之美，通过解决实际应用问题激发学习兴趣；在探索中建立学好高中数学的信心，培养理性的思维习惯和求真务实的科学态度。 知识与技能目标 03 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 结合典型例题拆解解题思路，强化知识综合运用能力；针对易混淆的概念如“空集陷阱”“逻辑条件混淆”、符号及常见解题误区进行深度剖析，建立“避坑”思维，提升解题准确率。 1. 深入解析集合的定义、表示方法及分类；重点攻克集合间的关系判定，以及交、并、补的运算规则。 2.掌握命题的真假判断，理解全称与存在量词的用法；透彻厘清充分条件、必要条件与充要条件的逻辑关系。 4 知识图谱 5 考点串讲 ——1：集合的定义与三大特性 1、元素：把研究的对象统称为元素.（用小写字母a,b,c...表示） 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合.（用大写字母A,B,C...表示） 3、元素的特征： 确定性：对象归属必须明确，无歧义。 互异性：集合内元素互不相同，不重复。 无序性：元素排列无先后顺序之分。 4、元素与集合的关系：①属于：a∈A ②不属于：a∉A 6 考点串讲 ——2：常用数集符号 自然数集：N（包含0的所有非负整数） 正整数集：N* 或 N₊（不包含0） 整数集：Z（正整数、负整数与0） 有理数集：Q（整数和分数的统称） 实数集：R（有理数与无理数的总称） 7 考点串讲 ——3：集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法 （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法． （3）描述法定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 8 考点串讲 ——3：集合的表示方法 用描述法表示集合,先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他类型的集合．如集合{x|y=x2+2x}表示函数y=x2+2x的定义域；集合{y|y=x2+2x}表示函数y=x2+2x的值域；集合{(x,y)|y=x2+2x}表示函数y=x2+2x图像上的点集；集合{x|x2+2x=0}表示方程x2+2x=0的解集. （4）Venn（韦恩图法）： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合， 这种图形称为Venn图。 特别提醒 （5）集合的分类：①按元素的数量分为有限集、无限集、空集；②按元素的属性分为数集、点集以及其他集合. 9 考点串讲 ——4：集合间的基本关系 子集和真子集 子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记作：A⊆B（或B⊇A） 读作：“A包含于B”(或“B包含A”) 符号语言：任意x∈A,有x∈B,则A⊆B A⊆B可以用Venn图表示为： 真子集：如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A，就称集合A是集合B的真子集. 记作： （或 ） 10 考点串讲 ——4：集合间的基本关系 2、空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A，有Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集，即对于任意一个非空集合A，有Φ A（A≠Φ） ≠ ⊂ 3、集合相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B. 4、子集的个数：若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m -1)个，非空真子集有(2m -2)个； 11 考点串讲 ——5：集合的基本运算 2、交集 (∩)：取公共，找重叠 定义：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 解析：由同时属于集合 A 和集合 B 的所有元素组成的集合。 1、并集 (∪)：合全体，去重复 定义：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B} 解析：把两个集合的所有元素合并在一起，重复元素只保留一个。 3、补集 (∁ᵤA)：全集中，除自身 定义：∁ᵤA = {x | x ∈ U 且 x ∉ A} 解析：在全集 U 中，剔除集合 A 的所有元素后，剩余的元素组成的集合。 12 考点串讲 ——5：集合的基本运算 幂等性：A ∩ A = A，A ∪ A = A 空集律：A ∩ ∅ = ∅，A ∪ ∅ = A 互补律：A ∩ (∁ᵤA) = ∅，A ∪ (∁ᵤA) = U 4、关键性质： 5、直观化解题工具： ①Venn 图（韦恩图） 利用封闭曲线（通常是圆）的重叠区域，直观展示集合间的包含与运算关系。适用于有限集的计数与关系分析，是理解集合逻辑的入门利器。 ②数轴分析法 处理连续数集（如不等式解集）的核心工具。通过在数轴上标记区间，清晰判断集合的交、并、补范围，将抽象的代数关系转化为具体的几何位置关系。 13 考点串讲 ——6：充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 1.充分条件与必要条件 2.充要条件 (1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． (2)若p ⇒ q，但q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． 14 考点串讲 ——6：充分条件与必要条件  (3)若q ⇒ p，但p⇏q，则称p是q的必要不充分条件．  (4)若p⇏q，且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件． 3.从集合角度看充分、必要条件： 若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件   若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件   若A=B，则p，q互为充要条件   若A∩B=Φ或A∩B≠Φ，但A∩B≠A且A∩B≠B，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 💡 速记口诀：“小范围推大范围，充分不必要；大范围推小范围，必要不充分；范围相同，互为充要。” ⊂ ≠ ⊂ ≠ 15 考点串讲 ——7：全称量词与存在量词 1.全称量词与全称量词命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示． (2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)． 2.存在量词与存在量词命题 (1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”． 16 考点串讲 ——7：全称量词与存在量词 3.含有一个量词的命题的否定“﹁”： 一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)； 存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)． 全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题． 💡 核心否定法则：量词改变（∀ ↔ ∃） + 结论否定（p(x) → ¬p(x)） 例如：命题“∀x∈R, x²+1>0”的否定是（C） A.∀x∈R, x²+1≤0 B.∃x∈R, x²+1>0 C.∃x∈R, x²+1≤0 D.∃x∉R, x²+1≤0 思考 17 例1．将集合{x|-3<x<3，x∈Z}用列举法表示是（    ） 题型全解 题型01 集合的概念 C A．{0,1,2} B．{1,2} C．{-2,-1,0,1,2} D．{0,1,2,3} 【解析】因为-3<x<3，且x∈Z，所以符合要求的的所有取值为-2,-1,0,1,2， 所以集合{x|-3<x<3，x∈Z}用列举法表示是{-2,-1,0,1,2}. 故选：C. 18 例2．由单词“Chinese”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数为（   ） A．3 B．5 C．6 D．7 题型全解 题型01 集合的概念 【解析】根据集合中元素的互异性，A={C,h,i,n,e,s}. 即A中的元素个数为6， 故选：C C 19 题型全解 题型01 集合的概念 例3．下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 C 【解析】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合；对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合；对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 20 题型全解 题型01 集合的概念 反思归纳 1.理解集合的有关概念，元素与集合的表示方法、元素与集合之间的关系，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合，能在集合不同的表示方法之间进行转化. 2.集合元素的三大特性： 确定性、互异性、无序性。 题型全解 题型02 集合间的基本关系 例4．下列各选项正确的是（    ） A.0∈Φ B.Φ = {0} C.Φ⊆ {0} D. 0 = {0} 【解析】对于A，空集不含任何元素，故0∉Φ，故A错误； 对于B，空集Φ不含任何元素，而集合{0}含有一个元素0，二者不相等，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，0是一个元素，而{0}是一个集合，元素和集合是不同的概念，不能相等，故D错误. 故选：C. C 22 题型全解 题型02 集合间的基本关系 例5．已知集合A={x|x<-1或x≥1}，B={x|2a<x≤a+1}，a<1，若B⊆A，则实数a的取值范围为 . 【解析】　因为a<1，所以2a<a+1，所以B≠∅. 画数轴如图所示. 由B⊆A知，a+1<-1或2a≥1.即a<-2或a≥. 由已知a<1，所以a<-2或≤a<1， 即所求a的取值范围是{a|a<−2或≤a<1} {a|a<−2或≤a<1} 23 题型全解 方法总结 （1）集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. （2）求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况,即涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况易被忽略,应引起足够的重视. 题型02 集合间的基本关系 题型全解 题型02 集合间的基本关系 📐 跟踪训练：　(1)(多选)已知集合A={0，m，m2-3m+2}，且{2}⊆A，则实数m的取值不可以为(　　) A.2 B.3 C.0 D.-2 【解析】由{2}⊆A可知，若m=2，则m2-3m+2=0，这与m2-3m+2≠0相矛盾；若m2-3m+2=2，得m2-3m=0，即m=0或m=3，因为m≠0，所以m=3，此时A={0，3，2}符合题意，故m的值可以为3. ACD 25 题型全解 📐 跟踪训练：(2)已知集合A={x|ax=x+1,a∈R},B={1,2}，若A⊆B,则实数a的取值集合为 【解析】由题意得，A={x|ax=x+1,a∈R}={x|(a-1)x=1,a∈R}, 当a=1时，A=Φ，满足A⊆B 当a≠1时，A={}，则=1或=2，解得a=2或a=. 综上，实数a的取值集合为{1,,2} {1,,2} 题型02 集合间的基本关系 题型全解 题型03 集合的基本运算 例6． (多选)已知集合A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}，则(　　) A. A∩B={x|x<} B. A∩(∁RB)={x|≤x<2} C. A∪B={x|x<} D. (∁RA)∪B=R AB 【解析】因为A={x|x<2}，B={x|3-2x>0}={x|x<}，∁RA={x|x≥2}，∁RB={x|x≥}， 所以A∩B={x|x<}， A∩(∁RB)={x|≤x<2}，A∪B={x|x<2}， (∁RA)∪B={x|x<或x≥2}. 题型全解 方法总结 集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解. 题型03 集合的基本运算 题型全解 题型03 集合的基本运算 练习1. 已知全集U={x∈N|1≤x≤6}，集合A={x|x2-6x+8=0}，集合B={3,4,5,6} (1)求A∩B，A⋃B； (2)写出集合(∁UA)∩B的所有子集。 【解析】(1)全集U={x∈N|1≤x≤6}={1,2,3,4,5,6}，集合A={x|x2-6x+8=0}={2,4}，集合B={3,4,5,6} ∴A∩B={4}，A⋃B={2,3,4,5,6} (2)∵∁UA={1,3,5,6}，∴(∁UA)∩B={3,5,6}，它的所有子集是Φ，{3}，{5}，{6}，{3,5}，{3,6}，{5,6}，{3,5,6}，共8个。 题型全解 题型03 集合的基本运算 练习2.设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)写出集合A的所有子集； (2)若A∩B=B，求实数a的取值范围. 【解析】(1)由x2+4x=0，得到x=-4或x=0，所以A={0,-4} ， 故集合的所有子集为Φ，{-4}，{0}，{0,-4}. (2)∵A∩B=B，∴B⊆A，又A={0,-4}， 方程x2+2(a+1)x+a2-1=0，∆=4(a+1)2-4(a2-1)=8a+8， 若∆<0，即a<-1，方程x2+2(a+1)x+a2-1=0无解，此时B=Φ，满足题意； 若∆=0，即a=-1，由x2+2(a+1)x+a2-1=0，即x2=0，解得x=0， 此时B={0}，满足题意； 若∆>0，即a>-1，要使B⊆A，则方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的解集为{x|x=-4或x=0}， 则-4+0=-2(a+1)且(-4)×0=a2-1，解得a=1， 综上所述，a=1或a≤-1. 方法技巧 题型全解 题型04 充分条件与必要条件 例7．　设集合A={x|-1<x<3}，非空集合B={x|2-a<x<2+a}.设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围. 【解析】因为p是q成立的必要不充分条件，所以B A， 又B≠Φ，则,或,解得0<a≤1， 所以实数a的取值范围是{a|0<a≤1}. ≠ ⊂ 题型全解 方法总结 (1)若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件. (2)从集合的观点看，满足条件p,q的集合为P,Q 则p⇒q⇔P⊆Q； p⇒q，且q⇏p⇔P Q ≠ ⊂ “小范围”⇒“大范围” 题型04 充分条件与必要条件 (2)由题意可得：A B， 故或 ≠ ⊂ 题型全解 题型04 充分条件与必要条件 练习3.已知集合A={x|a-2≤x≤a+2}，B={x|-1≤x≤} (1)写出B∩N*的所有子集； (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】(1)由题意B∩N*={1,2,3}，所以B∩N*的所有子集为Φ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}. 解得： 题型全解 题型04 充分条件与必要条件 练习4.设m为实数，集合A={x|-2≤x<4}，B={x|m≤x≤m+2}． (1)若m=3，求A⋃B，∁R(A⋂B)； (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围． (2)由题意可得：B A， 显然集合B不是空集，则 解得-2≤m<2，所以实数m的取值范围为{m|-2≤m<2}. 【解析】(1)若m=3，则B={x|3≤x≤5}，且A={x|-2≤x<4}， 可得A⋃B={x|-2≤x≤5}，A⋂B={x|3≤x<4}， 所以∁R(A⋂B)={x|x<3或x≥4}. ≠ ⊂ 题型全解 题型05 全称量词与存在量词 例8．命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A.∀x∉R，x2≠x B.∀x∈R，x2=x C.∃x∉R，x2≠x D.∃x∈R，x2=x 【解析】先将“∀”改为“∃”，再否定结论，可得命题的否定为∃x∈R，x2=x. D 题型全解 方法总结 (1)对全称量词命题和存在量词命题进行否定，一要改变量词，二要否定结论. (2)根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围，一般把问题转化为函数、不等式或集合问题解决. 题型05 全称量词与存在量词 题型全解 题型05 全称量词与存在量词 练习5.若命题“∃x<2 025，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是 . 【解析】因为命题“∃x<2 025，x>a” 是假命题， 则其否定“∀x<2 025，x≤a”为真命题， 所以a≥2 025. a≥2 025 题型全解 题型05 全称量词与存在量词 练习6.命题“∃x∈[1,2]，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A．a≤0 B．a≤1 C．a≤ D．a≤3 【解析】当x∈[1,2]时，， 则当x=2时，取得最大值，依题意，，解得， 因此命题“∃x∈[1,2]，”为真命题的充要条件是，C不是；显然a≤0，a≤1分别是该命题为真命题的一个充分不必要条件，AB不是； a≤3是该命题为真命题的一个必要不充分条件，D是．故选：D 题型全解 题型06 Venn图的应用 例9．8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕.中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩.小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为（   ） A．26 B．46 C．28 D．48 B 题型全解 题型06 Venn图的应用 【解析】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为a,b,c，喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为x，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为y，喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为z，如图， 则 ① ② ③ ④ ②+③+④得2(a+b+c)+x+y+z=54⑤， ①×2-⑤得x+y+z=26，所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为26+20=46. 故选：B 题型全解 题型06 Venn图的应用 方法总结 Venn图利用封闭曲线（通常是圆）来表示集合关系。它能将抽象的集合运算转化为直观的图形重叠，是理解有限集交、并、补关系的绝佳辅助工具。 题型全解 题型06 Venn图的应用 练习7. 广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（   ）人. A．3 B．9 C．19 D．14 变式训练 【解析】设只参加射击的人数为x，同时参加射击和径赛比赛的人数为y，只参加径赛的人数为z，作出韦恩图，如图所示： 则由韦恩图得： 解得 所以只参加一项比赛的有x+z+9=19人.故选：C. C 1．(2025·新高考Ⅰ卷)设全集U={x|x是小于9的正整数}，A={1,3,5}，则∁UA中元素的个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 针对训练 C 解：U={1,2,3,4,5,6,7,8}，∁UA={2,4,6,7,8}一共5个元素，故选C. 针对训练 2．(2025·新高考Ⅱ卷)已知集合A={-4,0,1,2,8}，B={x|x3=x}，则A∩B=（ ） A．{0,1,2} B．{1,2,8} C．{2,8} D．{0,1} 解：x3=x⇒x3-x=0⇒x(x2-1)=0，所以x=0或x2-1=0，解得x=-1,0,1 ，故集合B={-1,0,1} ，又集合A={-4,0,1,2,8} ，所以A∩B={0,1} ，故选D D 针对训练 3．(2026·新高考Ⅱ卷)设全集U={x∈N|x≤8}，集合A={2,3,5,7}，B={3,4,6,7}，则∁U(A∩B)=( ) A．{0,1,2,4,5,6,8} B．{0,1,2,4,5,6} C．{1,2,4,5,6,8} D．{0,1,2,5,6,8} 解：由题意得U={0,1,2,3,4,5,6,7,8}，A∩B={3,7}，所以∁U(A∩B)={0,1,2,4,5,6,8}， 故选A. A 针对训练 4．(2025·天津卷)设全集U={1,2,3,4,5}，集合A={1,3}，B={2,3,5}，则∁U(A⋃B)=( ) A．{1,2,3,4} B．{2,3,4} C．{2,4} D．{4} 解：A⋃B={1,2,3,5}，∁U(A⋃B)={4}，故选D. D 针对训练 5．(2026·天津卷)已知集合M={x|x2-3x+2<0}，N={1,2,3,4}，则( ) A．{1} B．{2} C．{1,2} D．Φ 解：x2-3x+2<0⇒1<x<2，整数无元素，交集为空集，故选D. D x y O · · 针对训练 6．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素个数为(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 A 解：x2＋y2≤3表示以原点为圆心，半径为的圆以及圆内部分，其中的整点坐标有(-1,0),(0,0),(1,0),(0,1),(0,-1),(-1,-1),(-1,1),(1,1),(1,-1)共9个，如图，故选A. · · · · · · · 针对训练 7.已知集合A＝{1，x，x2－2x}，且3∈A，则x的值为(　　) A．－1 B．3 C．－1或3 D．－1或－3 A 解：因为3∈A，所以x=3或x2－2x=3.若x=3，x2－2x=32－2×3=3，此时A＝{1，3，3}，不满足互异性；若x2－2x=3，则x=3或x=-1，故选A 针对训练 8.对于某次考试，命题p：所有学生都会做第1题，那么命题p的否定是(　　) A．所有学生都不会做第1题 B．存在一个学生不会做第1题 C．存在一个学生会做第1题 D．至少有一个学生会做第1题 B 解：量词改变，结论否定：“所有”的否定是“存在”。 针对训练 9.(多选)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是(　　) A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 AC 解：量词改变，结论否定：“∀”的否定是“∃”；p与¬p一真一假 针对训练 10.已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a的取值范围是________；若命题q：“∃x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a的取值范围是________． 　a≤4 a≤1 解：a≤x对∀x∈{x|1≤x≤4}恒成立，则a≤xmin=1; a≤x对∀x∈{x|1≤x≤4}能成立，则a≤xmax=4. 针对训练 11.若命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则实数m的范围是(　　) A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 解：命题p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0是真命题，则m≠－(x2－2x)， 因为－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1，所以m>1，所以实数m的取值范围是{m|m>1}．故选B. B 针对训练 12.设A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　) A．{1，－3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} C 解：因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以12-4×1+m=0，m=3．所以B＝{x|x2－4x＋3＝0}={1，3}，故选C. 针对训练 13.已知集合A＝{－3，－1，1，3}，B＝{x|x<－1或x＋3<3x－1}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　) A．{1} B．{－1} C．{－1，1} D．{－3，－1，1} C 解：图中阴影部分表示(∁RB)∩A，而B＝{x|x<－1或x＋3<3x－1}={x|x<－1或x>2}，∁RB={x|－1≤x≤2}，故选C. 针对训练 14.已知集合A＝{x|－3<x≤6}，B＝{x|b－3<x<b＋7}，M＝{x|－4≤x<5}，全集U＝R. (1)A∩M＝________ ； (2)若B∪(∁UM)＝R，则实数b的取值范围为________ ． 解：(2)因为M＝{x|－4≤x<5}，所以∁UM＝{x|x<－4或x≥5}，又B={x|b－3<x<b＋7}，B∪(∁UM)＝R，所以解得－2≤b<－1. 所以实数b的取值 范围是{b|－2≤b<－1}. {x|－3<x<5}　 {b|－2≤b<－1} 针对训练 15.已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，集合B＝{x|－1＜x＜m＋1}． (1)若x∈A是x∈B成立的一个充分不必要条件，求实数m的取值范围； (2)若x∈A是x∈B成立的充要条件，求实数m的值． 解：由题意可知，AB，所以m＋1＞3，即m＞2.所以实数m的取值范围为{m|m＞2}． 解：因为x∈A是x∈B成立的充要条件，所以A＝B.所以m＋1＝3， 即m＝2.即实数m的值为2. 单元总结/易错复盘 集合：数学的基础语言 聚焦元素确定性、互异性与无序性；掌握子集与真子集的关系判定；熟练运用交、并、补运算，构建描述数学对象的底层框架。 简易逻辑：推理的底层逻辑 厘清原命题与逆否命题的等价关系；精准判断充分、必要及充要条件；掌握全称与存在量词的否定规则，夯实逻辑推理与论证的根基。 58 谢谢聆听 人教A版（2019）·高一数学必修一 $