第1章 集合与逻辑（六大考点+七大易错+易错训练）（知识清单）数学沪教版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“集合与逻辑”单元内容，涵盖集合基础概念、表示方法、基本关系、运算及常用逻辑用语五大知识范畴，为学生搭建了从“概念理解”到“关系分析”再到“逻辑应用”的递进式学习支架。 清单通过“易错点分类解析”和“对点训练分层设计”呈现知识体系，如将“集合元素互异性”“空集特殊情况”等7个易错点标注为重点，配套“小范围推大范围”等逻辑判断技巧，培养学生的数学思维和数学语言表达能力。特别设计“处理方法”提示和变式训练，不同层次学生可高效突破难点，教师可直接用于课堂教学或分层辅导，提升教学针对性。

第1章 集合与逻辑 知识点一、集合基础概念 1.集合的含义 把一定范围内确定、可区分的事物看作一个整体，这个整体称为集合，简称集；集合中的每一个事物叫做集合的元素，简称元。 （1）书写规范：集合用大写字母表示；元素用小写字母表示。 （2）前提：构成集合的对象必须具备确定性。 2.元素与集合 （1）元素与集合的从属关系 研究对象为元素，元素构成的总体为集合，只有两种关系： 元素属于集合： 元素不属于集合： （2）集合中元素三大特征 ①确定性：给定集合，任意对象能明确判断是否属于该集合； ②互异性：集合内所有元素互不重复，解题求出参数后必须检验互异性； ③无序性：集合元素无先后顺序，调换元素顺序集合不变。 3.集合相等判定 若且，则；证明两个集合相等，只需双向证明互相包含。 知识点二、集合的表示方法 1.常用数集专用符号 自然数集：包含0和全体正整数，正整数集或：仅正整数，不含0，整数集，有理数集，实数集，包含关系： 2.三种基础表示法 （1）列举法：把集合全部元素一一写在大括号内，无视元素顺序；例：方程的解集、均可。 （2）描述法：格式，竖线前写元素通用形式，竖线后标注元素共同特征；例：方程的解集{。 （3）图示法：①文氏图（维恩图）：用封闭曲线内部代表有限集合；②数轴：用来表示无限实数集合。 3.区间（实数集合专用表示） 用来简写满足不等式的实数集合，为区间端点： （1）闭区间：包含两端点，数轴端点画实心； （2）开区间：不含两端点，数轴端点画空心； （3）半开半闭区间：仅包含其中一个端点。 知识点三、维恩（Venn）图 1.定义：平面内任意封闭曲线（圆、椭圆、矩形等）的内部表示集合； 2.作用：直观展示集合间包含、相交、互补关系，简化集合运算题型； 3.优缺点：优势是集合关系一目了然，缺点是无法体现元素共有特征。 知识点四、集合间的基本关系 1.子集 对于集合，若中任意一个元素都属于，则称是的子集，符号：（读作含于），也可写作； 性质：①任何集合都是自身的子集：；②传递性：若，则。 2.集合相等 若且，则； 两相等集合的元素完全一致，与元素排列顺序无关。 3.真子集 ，且存在元素，则是的真子集。符号：（读作真包含于）； 性质：①集合不能是自身的真子集；②传递性：若，则。 4.空集 不含任何元素的集合记作。 规定：空集是任意集合的子集，即； 性质：①空集只有1个子集，就是它本身；②若，则。 5.补充区分：两种符号不能混用 ①：描述元素与集合的从属关系；②：描述集合与集合的包含关系。 知识点五、集合的基本运算 设为两个集合，为全集 1.交集 由同时属于的全部元素构成的集合，读作交，表达式： 运算性质：， 2.并集 由所有属于或属于的元素构成的集合，读作并，表达式： 运算性质：， 3.全集与补集 （1）全集：研究问题时包含所有相关集合的整体集合； （2）补集：若，由全集中所有不属于的元素组成的集合；表达式： （3）补集性质：，， 知识点六、常用逻辑用语 1.命题的概念 （1）定义：能够判断真假的陈述句叫做命题； （2）分类：能判断为正确的是真命题，能判断为错误的是假命题； （3）推出关系：若命题“若，则”为真，则可以推出，记作； （4）传递性：若且，则，是逻辑推理基础。 2.充分、必要、充要条件 设两个命题 （1）：是的充分条件，是的必要条件； （2）：是的充分不必要条件； （3）：是的必要不充分条件； （4）（即）：是的充要条件（等价条件）； （5）：是的既不充分也不必要条件。 快速判断技巧：小范围可以推出大范围，大范围无法推出小范围。 3.反证法 （1）适用场景：直接证明命题“若则”难度较大时使用； （2）步骤：①假设结论不成立；②依据已知条件、公理、定理进行逻辑推导；③推出与已知条件、定理、事实互相矛盾的结果；④证明假设不成立，原命题结论一定成立； （3）补充：证明命题为假，只需举出一个反例即可。 易错点01对集合表示方法理解存在偏差 易错点：混淆列举法、描述法代表的集合含义；分不清数集、点集；误把、{、{当成同一集合；看不懂区间边界空心、实心代表的取值。 处理方法：先看代表元区分集合类型，代表自变量取值（数集），代表函数值（数集），代表平面坐标点；描述法看清竖线前字母含义；区间包含端点，不含端点，严格区分开闭。 【对点训练】 【例1】若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【例2】已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式1-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 易错点02忽视集合元素的互异性 易错点：已知含参数集合，解方程求出参数后，不代入回集合检验，出现重复元素，导致答案错误。 例：集合，求解参数后直接取值，忽略。 处理方法：凡是集合含参数，算出参数后必须代回原集合，验证所有元素互不相等，舍去造成元素重复的参数。 【对点训练】 【例3】已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【例4】已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【变式2-1】已知集合，，若是的子集，则实数的值为______. 【变式2-2】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 易错点03忽视最高项系数为0 易错点：方程、集合、函数题型中，默认式子为二次形式，忽略二次项系数等于0时，式子退化为一次式，改变根、解集、子集情况。 例：，直接用判别式讨论，忘记时是一元一次方程。 处理方法：看到项带参数，分两类讨论：①（一次式）；②（二次式，可用分析），两类情况分别求解。 【对点训练】 【例5】集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（    ） A．1 B． C．1， D．，0，1 【例6】命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 易错点04忽略A=ø的情况 易错点：研究子集、交集、方程解集、参数范围时，默认集合非空，漏掉空集这种特殊情况，漏解参数。 例：，只讨论有元素，不考虑；方程无解对应解集为空集。 处理方法：题干出现子集、包含关系、方程解集、区间无交点时，优先单独讨论，列出对应参数限制条件，再讨论集合非空的情况，最后合并所有有效参数。 【对点训练】 【例7】已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 【例8】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【变式4-1】若集合，，，则实数的取值范围为___________. 【变式4-2】已知集合，，若，求实数a的取值范围． 【变式4-3】设 ．若 ，求 的取值范围． 易错点05全称命题与特称命题的否定出错 易错点：否定只改结论，不变量词；或量词、结论只改一处；混淆否定与否命题。 例：，错误否定：；，错误否定：。 处理方法：命题否定两步改：①量词互换，全称特称；②结论全盘否定；命题的否定只否定结论，条件不变。 标准格式： 的否定：的否定： 【对点训练】 【例9】下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【例10】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-3】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．，≥ D．，≥ 易错点06判断充分性必要性位置颠倒 易错点：分不清谁是条件、谁是结论，推导关系写反，条件、结论错位。 例：命题，命题，误判。 处理方法：固定句式：若成立能推出成立，记作；先分清题干中（条件）、（结论），再判断单向推导方向。 【对点训练】 【例11】设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例12】若不等式（其中）成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 【变式6-1】“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式6-3】“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 易错点07混淆“充分条件”与“充分不必要条件” 易错点：只要，直接判定为充要条件，忽略反向是否成立，不会区分充分、充分不必要。 处理方法：分两步判断： ①仅且：是的充分不必要条件； ②且：是的充要条件； 牢记口诀：小范围能推出大范围，大范围推不出小范围。 【对点训练】 【例13】已知集合，.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【例14】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-1】已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为______． 【变式7-2】已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式7-3】已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 3．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 4．已知集合，，则的元素个数为（    ） A．7 B．3 C．8 D．6 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 7．已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 8．已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 9．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 10．设，，若，则实数的值可以为_____． 11．（多选）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 12．“一元二次方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 13．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 14．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 15．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 16．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 17．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 18．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 19．已知集合，． (1)求集合； (2)若，求实数的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合与逻辑 知识点一、集合基础概念 1.集合的含义 把一定范围内确定、可区分的事物看作一个整体，这个整体称为集合，简称集；集合中的每一个事物叫做集合的元素，简称元。 （1）书写规范：集合用大写字母表示；元素用小写字母表示。 （2）前提：构成集合的对象必须具备确定性。 2.元素与集合 （1）元素与集合的从属关系 研究对象为元素，元素构成的总体为集合，只有两种关系： 元素属于集合： 元素不属于集合： （2）集合中元素三大特征 ①确定性：给定集合，任意对象能明确判断是否属于该集合； ②互异性：集合内所有元素互不重复，解题求出参数后必须检验互异性； ③无序性：集合元素无先后顺序，调换元素顺序集合不变。 3.集合相等判定 若且，则；证明两个集合相等，只需双向证明互相包含。 知识点二、集合的表示方法 1.常用数集专用符号 自然数集：包含0和全体正整数，正整数集或：仅正整数，不含0，整数集，有理数集，实数集，包含关系： 2.三种基础表示法 （1）列举法：把集合全部元素一一写在大括号内，无视元素顺序；例：方程的解集、均可。 （2）描述法：格式，竖线前写元素通用形式，竖线后标注元素共同特征；例：方程的解集。 （3）图示法：①文氏图（维恩图）：用封闭曲线内部代表有限集合；②数轴：用来表示无限实数集合。 3.区间（实数集合专用表示） 用来简写满足不等式的实数集合，为区间端点： （1）闭区间：包含两端点，数轴端点画实心； （2）开区间：不含两端点，数轴端点画空心； （3）半开半闭区间：仅包含其中一个端点。 知识点三、维恩（Venn）图 1.定义：平面内任意封闭曲线（圆、椭圆、矩形等）的内部表示集合； 2.作用：直观展示集合间包含、相交、互补关系，简化集合运算题型； 3.优缺点：优势是集合关系一目了然，缺点是无法体现元素共有特征。 知识点四、集合间的基本关系 1.子集 对于集合，若中任意一个元素都属于，则称是的子集，符号：（读作含于），也可写作； 性质：①任何集合都是自身的子集：；②传递性：若，则。 2.集合相等 若且，则； 两相等集合的元素完全一致，与元素排列顺序无关。 3.真子集 ，且存在元素，则是的真子集。符号：（读作真包含于）； 性质：①集合不能是自身的真子集；②传递性：若，则。 4.空集 不含任何元素的集合记作。 规定：空集是任意集合的子集，即； 性质：①空集只有1个子集，就是它本身；②若，则。 5.补充区分：两种符号不能混用 ①：描述元素与集合的从属关系；②：描述集合与集合的包含关系。 知识点五、集合的基本运算 设为两个集合，为全集 1.交集 由同时属于的全部元素构成的集合，读作交，表达式： 运算性质：， 2.并集 由所有属于或属于的元素构成的集合，读作并，表达式： 运算性质：， 3.全集与补集 （1）全集：研究问题时包含所有相关集合的整体集合； （2）补集：若，由全集中所有不属于的元素组成的集合；表达式： （3）补集性质：，， 知识点六、常用逻辑用语 1.命题的概念 （1）定义：能够判断真假的陈述句叫做命题； （2）分类：能判断为正确的是真命题，能判断为错误的是假命题； （3）推出关系：若命题“若，则”为真，则可以推出，记作； （4）传递性：若且，则，是逻辑推理基础。 2.充分、必要、充要条件 设两个命题 （1）：是的充分条件，是的必要条件； （2）：是的充分不必要条件； （3）：是的必要不充分条件； （4）（即）：是的充要条件（等价条件）； （5）：是的既不充分也不必要条件。 快速判断技巧：小范围可以推出大范围，大范围无法推出小范围。 3.反证法 （1）适用场景：直接证明命题“若则”难度较大时使用； （2）步骤：①假设结论不成立；②依据已知条件、公理、定理进行逻辑推导；③推出与已知条件、定理、事实互相矛盾的结果；④证明假设不成立，原命题结论一定成立； （3）补充：证明命题为假，只需举出一个反例即可。 易错点01对集合表示方法理解存在偏差 易错提醒 易错点：混淆列举法、描述法代表的集合含义；分不清数集、点集；误把、{、{当成同一集合；看不懂区间边界空心、实心代表的取值。 处理方法：先看代表元区分集合类型，代表自变量取值（数集），代表函数值（数集），代表平面坐标点；描述法看清竖线前字母含义；区间包含端点，不含端点，严格区分开闭。 【对点训练】 【例1】若为单元素集合，则m=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】若集合为单元素集合，则意味着与时的值相等， 由函数的图象关于直线对称， 得，解得. 【例2】已知集合，，则B的子集个数为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】B 【详解】由题意，B中的元素包括，即，故. 故B的子集个数为. 故选：B 【变式1-1】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， 所以，所以A，B，C错误. 因为，所以，正确. 故选：D. 【变式1-2】在平面直角坐标系中，集合，集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合，集合， 因为是元素与集合之间的关系，而均为点集，所以A错误； 因为集合包含，所以B正确，C,D错误. 故选：B. 【变式1-3】集合的子集个数为（    ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【详解】集合有3个元素， 故该集合有个子集． 易错点02忽视集合元素的互异性 易错提醒 易错点：已知含参数集合，解方程求出参数后，不代入回集合检验，出现重复元素，导致答案错误。 例：集合，求解参数后直接取值，忽略。 处理方法：凡是集合含参数，算出参数后必须代回原集合，验证所有元素互不相等，舍去造成元素重复的参数。 【对点训练】 【例3】已知，，，若，则（   ） A．5 B．3 C．2 D．0 【答案】A 【详解】由， 若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去； 若，解得或， 当时，中元素不满足互异性，舍去； 当时，中元素满足互异性，所以. 故选：A 【例4】已知集合，，若，则（   ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】C 【详解】因为集合，，， 所以，所以或， 若，则，此时，满足题意； 若，则，此时集合不满足集合元素的互异性，舍去． 综上，． 故选：C． 【变式2-1】已知集合，，若是的子集，则实数的值为______. 【答案】 【详解】若，则，，这与集合中元素的互异性矛盾，所以， 若，则或（舍去），当时，满足题意， 所以. 故答案为： 【变式2-2】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，则，故， 要使，只需，若，则，不满足互异性； 若，则或（舍去）， 综上． 故选：C 【变式2-3】已知集合，若对都有，则为（    ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】C 【详解】由题意得， 当时，解得或， 当时，满足要求， 当时，，，，中元素均与互异性矛盾，舍去， 当时，，此时，中元素与互异性矛盾，舍去， 综上，. 故选：C 易错点03忽视最高项系数为0 易错提醒 易错点：方程、集合、函数题型中，默认式子为二次形式，忽略二次项系数等于0时，式子退化为一次式，改变根、解集、子集情况。 例：，直接用判别式讨论，忘记时是一元一次方程。 处理方法：看到项带参数，分两类讨论：①（一次式）；②（二次式，可用分析），两类情况分别求解。 【对点训练】 【例5】集合，若集合有且仅有2个子集，则的取值是（    ） A．1 B． C．1， D．，0，1 【答案】D 【详解】由集合有且仅有2个子集， 可得集合中有且只有一个元素， 所以方程有1个实数解， 当时，方程只有1个实数解，符合题意； 当时，由题意，解得， 所以实数的取值是，0，1. 故选：D 【例6】命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，为真命题， 所以当时，原不等式为恒成立，满足题意； 当时，要使不等式恒成立，需满足， 解得； 综上：； 对A，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，错误； 对B，是命题“，”为真命题的充要条件，错误； 对C，是命题“，”为真命题的必要不充分条件，正确； 对D，是命题“，”为真命题的充分不必要条件，错误. 故选：C． 【变式3-1】若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 【变式3-2】使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. 【变式3-3】已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 易错点04忽略A=ø的情况 易错提醒 易错点：研究子集、交集、方程解集、参数范围时，默认集合非空，漏掉空集这种特殊情况，漏解参数。 例：，只讨论有元素，不考虑；方程无解对应解集为空集。 处理方法：题干出现子集、包含关系、方程解集、区间无交点时，优先单独讨论，列出对应参数限制条件，再讨论集合非空的情况，最后合并所有有效参数。 【对点训练】 【例7】已知集合，若，则整数a的所有可能取值构成的集合为________ 【答案】 【详解】当时，，满足，故符合题意； 当时，，，， 或，或或， ，或或或， 综上可知所有整数的取值构成的集合为. 【例8】设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 【变式4-1】若集合，，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【详解】根据已知条件，解不等式，可得， ， 由，则. 当时，则，解得； 当时，则，解得， 所以实数的取值范围为. 【变式4-2】已知集合，，若，求实数a的取值范围． 【答案】 【详解】由得，其中． ①时，，解得． ②时，，解得． 综上，实数a的取值范围为． 【变式4-3】设 ．若 ，求 的取值范围． 【答案】或 【详解】化简集合 ，得 ．由于 ，则有 可知集合 或为空集，或只含有根0或 ． ①若，由 ，得． ②若，代入 ，得，即 或 ， 当时，，符合题意； 当时， ，也符合题意； ③若，代入，得 ，即 或 ，当时，②中已讨论，符合题意； 当时， ，不合题意； 综合①②③得或. 易错点05全称命题与特称命题的否定出错 易错提醒 易错点：否定只改结论，不变量词；或量词、结论只改一处；混淆否定与否命题。 例：，错误否定：；，错误否定：。 处理方法：命题否定两步改：①量词互换，全称特称；②结论全盘否定；命题的否定只否定结论，条件不变。 标准格式： 的否定：的否定： 【对点训练】 【例9】下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是（    ） A．若，则 B．任意实数，满足，则 C．存在一个实数，满足，则 D．存在一个实数，满足，则 【答案】C 【详解】命题“若实数，则”等价于“任意,成立”， 故其否定为“存在,成立”. 【例10】命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题“”的否定是“”. 【变式5-1】命题：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】就是对命题改量词并否结论，所以，． 【变式5-2】命题，，则为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】命题，，则为：，. 【变式5-3】命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．，≥ D．，≥ 【答案】B 【详解】根据全称量词命题否定的定义，命题“，”的否定是：“，”. 易错点06判断充分性必要性位置颠倒 易错提醒 易错点：分不清谁是条件、谁是结论，推导关系写反，条件、结论错位。 例：命题，命题，误判。 处理方法：固定句式：若成立能推出成立，记作；先分清题干中（条件）、（结论），再判断单向推导方向。 【对点训练】 【例11】设，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 【例12】若不等式（其中）成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由题意有：，所以， 故答案为：. 【变式6-1】（暑假收心卷01（暑假测试）新高一数学人教A版）“”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 【变式6-2】已知a，b为实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】取，满足，但，故不能得到， 若，则，故， 综上可得“”是“”的充分不必要条件. 【变式6-3】“方程至多有一个实数解”的一个必要不充分条件是“”，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由方程至多有一个实数解，则满足，解得， 因为方程至多有一个实数解的一个必要不充分条件是“， 所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 易错点07混淆“充分条件”与“充分不必要条件” 易错提醒 易错点：只要，直接判定为充要条件，忽略反向是否成立，不会区分充分、充分不必要。 处理方法：分两步判断： ①仅且：是的充分不必要条件； ②且：是的充要条件； 牢记口诀：小范围能推出大范围，大范围推不出小范围。 【对点训练】 【例13】已知集合，.若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为“”是“”的必要条件， 所以， 由， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B 【例14】已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】对于充分性，当时，满足，不满足，则充分性不成立， 对于必要性，当时，满足，不满足，则必要性不成立， 可得“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 【变式7-1】已知集合，．若P的充分条件为Q，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【详解】由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集， 当时，即时，，满足题意； 当，即时，由题意得，解得， 综上，m的取值范围是． 【变式7-2】已知，，则“”是“且”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】满足“”成立，“且”不成立， 又因为“且”可以得出“”， 所以“”是“且”的必要不充分条件. 【变式7-3】已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，又，所以， 所以“”是“”的充分条件； 若，又， 所以或，解得或， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件. 1．已知集合，则与的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 则，，故B正确；A、C错误； ，故D错误； 故选：B． 2．若，则的所有可能的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，则，显然集合元素不满足互异性； 当，则，此时集合为，满足； 当，即或，（其中舍）， 若，此时集合为，满足； 若，此时集合为，满足； 综上，的取值集合为. 故选：D 3．实数，满足集合，则末尾的两位数是________． 【答案】 【详解】已知，则，故， 所以，故，解得， ，的末尾两位数为， 的末尾两位数为， 的末尾两位数为 之后每次乘以，末两位恒为， 故的末尾两位数为， 从而所求的末尾两位数为． 4．已知集合，，则的元素个数为（    ） A．7 B．3 C．8 D．6 【答案】A 【详解】， 同号或中至少有一个为0， 又， 的元素满足， 当时，可以取得，此时为：； 当时，可以取得，此时为：； 当时，可以取得，此时为：； 当时，可以取得，此时为：； 当时，可以取得，此时为：； 当时，可以取得，此时为：． ，共7个元素． 故选：A． 5．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数， ∴， 故选：D． 6．若集合中只有一个元素，则满足条件的实数构成的集合为______． 【答案】/ 【详解】当时，，符合题意； 当时，要使该集合只有一个元素， 必须且只需方程有两个相等的实根， 即，符合题意， 所以满足条件的实数构成的集合为， 故答案为： 7．已知集合的非空真子集为0个，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【详解】因为集合A的非空真子集为0个， 所以集合A中只有一个元素或者没有元素， 若方程只有一个解， 当时，，满足题意； 当时，由，解得， 若集合集合A中没有元素，即集合A为空集， 则, 综上可知，实数的取值范围是或 故答案为：或 8．已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，对任意恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 9．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】根据命题否定的定义可知，，的否定为，. 10．设，，若，则实数的值可以为_____． 【答案】，， 【详解】， 因为，所以， 当时，，符合题意； 当时，， 则或， 所以或， 综上实数的值可以为，，. 11．（多选）对于实数，，使不等式成立的一个充分不必要条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为二次函数的， 对于A，若，则，所以不等式恒成立， 所以能推出不等式， 当不等式成立时，不一定大于， 当时，不等式也成立， 故不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故A正确； 对于B，将代入，不能推出不等式，故B错误； 对于C，若，分两种情况： ①若，不等式变为：成立， ②若对任意的，，成立， 所以能推出不等式， 取，成立，但， 所以不等式推不出， 所以是不等式的充分不必要条件，故C正确； 对于D，不等式成立时，实数，不同时为， 即，所以不等式能推出， 必要性成立，故D错误. 12．“一元二次方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系 可知，解得， 由可以推出，但不一定能推出，故B符合题意. 故选：B. 13．命题“”的否定为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】”的否定为. 14．命题为真命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 15．已知集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 又因为集合，，则或，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 16．设全集，集合，非空集合，其中.若“”是“”的必要条件，则的取值范围为______. 【答案】 【详解】若“”是“”的必要条件，则， 又集合为非空集合，故有，解得. 所以的取值范围. 17．已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2). 【分析】 【详解】（1）当时，， 所以或， 因为， 故或. （2）因为是的充分条件，所以 所以， 解得 ， 所以的取值范围为. 18．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 19．已知集合，． (1)求集合； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），解得或，所以集合. （2）因为，所以，所以或， 当时，，满足， 当时，即时，集合不满足集合元素的互异性，故舍去. 综上，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $