第1章集合与逻辑高频考点分类复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义以集合与逻辑为核心，通过10个高频考点系统构建知识体系，涵盖集合的意义、关系、运算及逻辑的充分必要条件等内容，并用知识框架图呈现各考点的递进关系与内在联系，突出重点难点分布。 讲义亮点在于例题与变式训练结合上海各区期末真题，如集合新定义问题、根据充分必要条件求参数等题型，培养学生数学思维与创新意识。每个考点配备方法指导，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合逻辑高频考点分类复习 考点01：集合的意义与表示方法 考点02：集合之间的关系 考点03：由集合之间的关系求参数 考点04：集合的交并补运算 考点05：根据集合的运算求参数 考点06：集合的新定义问题 考点07：充分、必要条件的判断 考点08：根据充分、必要条件求参数 考点09：命题的真假与否定 反证法 考点10：集合与逻辑综合题 考点01：集合的意义与表示方法 【例1】（24-25徐汇高一上期末）设是实数，集合，若，则__________. 【变式训练】 1．（2025高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（2024高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 3. （24-25上海大学附中高一期末）已知集合，则实数的取值范围为__________． 4. （24-25奉贤区高一上期末）设集合，若，则实数__________． 5. （24-25长宁区高一上期末）关于与的二元一次方程组的解集为________． 考点02：集合之间的关系 【例2】已知集合有且仅有两个子集，则实数 . 【变式训练】 1. （24-25长宁高一期末）用或填空：0______. 2. （24-25浦东新区高一上期末）集合的子集的个数为_________. 考点03：由集合之间的关系求参数 【例3】（24-25洋泾中学高一期末）设集合，． （1）若，试用区间表示集合、，并求； （2）若，求实数的取值范围 【变式训练】 1. （24-25敬业中学高一期末）已知集合，，且，则实数的值为__________. 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 3. （24-25进才中学高一上期末）已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 4. （24-25虹口高一上期末）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________. 5. （24-25嘉定高一上期末）已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 考点05：集合的交并补运算 【例4】（24-25华东师大附中进华中学高一期末）若集合，则（ ） A. B. C. D. 【变式训练】 1. （24-25长宁区高一上期末）已知全集，集合，集合，则________． 2. （24-25嘉定高一上期末）设全集，集合，集合，则______． 3. （24-25虹口高一上期末）已知集合，则__________. 4. （24-25格致中学高一上期末）已知全集， ，则________． 5. （24-25宜川中学高一上期末）已知全集，集合，则________. 6. （24-25浦东新区高一上期末）已知集合 ，集合 ，求 . 7. （24-25奉贤区高一上期末）已知全集为，集合． （1）求集合A和； （2）将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解． 考点05：根据集合的运算求参数 【例5】（24-25晋元高级中学高一上期末）已知，集合，． （1）求集合A； （2）若，求实数a的取值范围． 【变式训练】 1. （24-25虹口高一上期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为__________. 2．（2025高一上·上海徐汇·期末）设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则 ． 3. （24-25向明中学高一上期末）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为_____. 4. （24-25华东师大附中进华中学高一期末）设集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 5. （24-25控江中学高一上期末）已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 考点06：集合的新定义问题 【例6】已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1.对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 2.若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 3.若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 4. （24-25格致中学高一上期末）已知为实数  ，  ，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为_________ 考点07：充分、必要条件的判断 【例7】（24-25虹口高一上期末）设为实数，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【例8】（24-25宜川中学高一上期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下” A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【变式训练】 1. （24-25松江区高一上期末）在二十四节气中，冬季的节气有立冬､小雪､大雪､冬至､小寒和大寒，则“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. （24-25嘉定高一上期末）若：，：，则是的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 3. （24-25金山高一上期末）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 考点08：根据充分、必要条件求参数 【例9】 （24-25长宁区高一上期末）设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是__________. 【变式训练】 1. （24-25格致中学高一上期末）若“”是“”必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. （24-25浦东新区高一上期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 考点09：命题的真假、否定 反证法 【例10】（24-25闵行区高一上期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 【例11】（24-25控江中学高一上期末）陈述句“或”的否定形式为________． 【例12】（24-25奉贤区高一上期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：__________． 【变式训练】 1. 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________. 2．（21-22高一上·上海杨浦·期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”其中一个）. 3. （24-25向明中学高一上期末）设命题：存在，，则命题的否定为_____. 4. （24-25浦东新区高一上期末）已知陈述句或，则的否定形式为______ 5. （24-25金山高一上期末）用反证法证明命题“设，已知偶数，则n是偶数”时，应假设__________. 6. （24-25松江区高一上期末）用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（ ） A. 且 B. 或 C. D. 考点10：集合与逻辑综合题 【例13】（24-25长宁区高一上期末）设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式训练】 1. （24-25向明中学高一上期末）已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 2. （24-25虹口高一上期末）已知函数的定义域为集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 1. （24-25向明中学高一上期末）集合，则__________. 2. （24-25上海华东模范中学高一上期末）已知集合，则__________. 3. （24-25长宁高一期末）已知全集，集合，集合，则________． 4. 集合，，若，则______. 5. （24-25闵行区高一上期末）已知全集，集合，则______ 6. （24-25敬业中学高一期末）若集合，则__________. 7. （24-25金山高一上期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有__________个元素. 8. （24-25上海华东模范中学高一上期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 9. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 10. （24-25徐汇高一上期末）已知集合，集合或，全集. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 11. （24-25上海大学附中高一期末）已知集合，，． （1）求，； （2）若全集，求． 12. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 第1章集合逻辑高频考点分类复习 考点01：集合的意义与表示方法 考点02：集合之间的关系 考点03：由集合之间的关系求参数 考点04：集合的交并补运算 考点05：根据集合的运算求参数 考点06：集合的新定义问题 考点07：充分、必要条件的判断 考点08：根据充分、必要条件求参数 考点09：命题的真假与否定 反证法 考点10：集合与逻辑综合题 考点01：集合的意义与表示方法 【例1】（24-25徐汇高一上期末）设是实数，集合，若，则__________. 【答案】 【分析】根据元素与集合关系及互异性求参数即可. 【详解】若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则（正值舍），此时，满足； 综上，. 故答案为： 【变式训练】 1．（2025高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可. 【解析】A：集合中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误； B、D：集合的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误； C：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故C正确； 故选：C 2．（2024高一上·上海嘉定·期末）已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据集合的意义直接表示集合. 【解析】， 故答案为：. 3. （24-25上海大学附中高一期末）已知集合，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性可求解. 【详解】由集合，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案：. 4. （24-25奉贤区高一上期末）设集合，若，则实数__________． 【答案】1 【分析】根据元素和集合的关系得到方程，求出 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1. 5. （24-25长宁区高一上期末）关于与的二元一次方程组的解集为________． 【答案】； 【解析】 【分析】联立消元求解，用列举法表示集合. 【详解】由消去可得：， 可得：，， 所以解集为， 故答案为： 考点02：集合之间的关系 【例2】已知集合有且仅有两个子集，则实数 . 【答案】1或 【分析】结合已知条件，求出的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可. 【解析】若A恰有两个子集，所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当时，，满足题意； ②当时，，所以， 综上所述，或. 故答案为：1或. 【变式训练】 1. （24-25长宁高一期末）用或填空：0______. 【答案】 【分析】空集中没有任何元素． 【详解】由于空集不含任何元素，∴． 故答案为． 【点睛】本题考查元素与集合的关系，关键是掌握空集的概念． 2. （24-25浦东新区高一上期末）集合的子集的个数为_________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据公式可得子集的个数. 【详解】集合有个元素，集合的子集的个数为， 故答案为：. 【点睛】本题考查的子集个数，一般地，如果一个集合中元素的个数为，则其子集的个数为，本题属于基础题. 考点03：由集合之间的关系求参数 【例3】（24-25洋泾中学高一期末）设集合，． （1）若，试用区间表示集合、，并求； （2）若，求实数的取值范围 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，进而求得. （2）根据列不等式即可求得答案. 【小问1详解】 当时，由得，所以. 由得，所以， 所以. 【小问2详解】 由得，所以， 由于，所以， 所以的取值范围是. 【变式训练】 1. （24-25敬业中学高一期末）已知集合，，且，则实数的值为__________. 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合间的包含关系即可求解. 【解析】由于，所以， 故答案为： 3. （24-25进才中学高一上期末）已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，根据交集运算求解； （2）利用集合的包含关系建立不等式组进行求解. 【小问1详解】 由，等价于，解得， 所以， 又，当时，， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 4. （24-25虹口高一上期末）设，若非空集合满足，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意直接代入，然后解一元二次不等式，通过分别判断两一元二次不等式的方程的，从而进行求解即可. 【详解】由，可得， 即， 由，可得在上恒成立， 即，解得， 又集合A是非空集合，所以在上有解， 则，解得或， 综合可得：． 故答案为： 5. （24-25嘉定高一上期末）已知集合，集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，则，，代入集合，求出的取值范围，再求交集即可； （2）由集合，令，得方程的两个根为，通过讨论两个根的大小，求得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，则，代入， 得，即，解得， 因为，则，所以， 所以若，求实数的取值范围为. 【小问2详解】 当时，方程的两个根为， 当，即时，集合， 因为，，所以，解得，则； 当，即时，集合，满足； 当，即时，集合， 因为，，所以，此时， 综上，实数的取值范围为. 考点05：集合的交并补运算 【例4】（24-25华东师大附中进华中学高一期末）若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数性质求值域，由对数函数性质求定义域确定集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】由题设， 对于，有，可得， 所以或， 故. 故选：D 【变式训练】 1. （24-25长宁区高一上期末）已知全集，集合，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故答案为： 2. （24-25嘉定高一上期末）设全集，集合，集合，则______． 【答案】. 【分析】 由已知得，结合全集即可求. 【详解】由题意有，，而， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查了集合的基本运算，属于简单题. 3. （24-25虹口高一上期末）已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程化简集合，即可由交运算求解. 【详解】由得， 所以， 故答案为： 4. （24-25格致中学高一上期末）已知全集， ，则________． 【答案】； 【分析】根据集合的补集定义计算即可. 【详解】因为全集， ， 所以. 故答案为： 5. （24-25宜川中学高一上期末）已知全集，集合，则________. 【答案】. 【解析】 【分析】根据集合的补集运算即可得答案. 【详解】因为全集，集合 所以. 故答案为：. 6. （24-25浦东新区高一上期末）已知集合 ，集合 ，求 . 【答案】， 【解析】 【分析】解分式不等式及含绝对值不等式，再由集合的交集、并集得解. 【详解】因为， 所以或，即， 因为， 所以， 所以，. 7. （24-25奉贤区高一上期末）已知全集为，集合． （1）求集合A和； （2）将图中阴影部分表示的集合用数学表达式写出来并求解． 【答案】（1），或 （2）数学表达式为或， 【解析】 【分析】（1）解不等式，得到集合和； （2）根据交集和补集概念表达出阴影部分表示集合为或，并求出集合. 【小问1详解】 由或，解得或， 故， 由， 等价于，解得或， 故或； 【小问2详解】 图中阴影部分表示的集合为或， 因为， 故图中阴影部分表示的集合为. 考点05：根据集合的运算求参数 【例5】（24-25晋元高级中学高一上期末）已知，集合，． （1）求集合A； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求解分式不等式可求得集合； （2）由题意可得，分，两种情况求解可得实数a的取值范围. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 当时，，解得， 当时， 若，由，得，解得， 所以，又可得，即， 当时，由，可得，所以， 又，可得， 综上所述：实数a的取值范围为． 【变式训练】 1. （24-25虹口高一上期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解. 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 2．（2025高一上·上海徐汇·期末）设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则 ． 【答案】 【分析】先求出集合，根据题意和找到集合中有的元素和没有的元素,根据集合中有的元素求出参数的值，然后再检验是否符合和. 【解析】 ，即或 又 ，即或 又因为 所以且 又因为 所以或 所以只有成立， 所以是方程的根，即 故，即 所以或 当时，方程变为 所以不满足，故不符合题意舍去. 当时，方程变为 所以满足，和，满足题意. 故答案为： 3. （24-25向明中学高一上期末）已知集合，集合，若，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合，分析可得，然后分、、、，可得出关于的等式与不等式，综合可得出实数的取值集合. 【详解】因为，， 且，则， 对于方程，， 当时，有，解得， 当时，有，解得； 当时，有，方程组无解； 当时，有，方程组无解. 综上所述，实数的取值集合为. 故答案为：. 4. （24-25华东师大附中进华中学高一期末）设集合 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解分式不等式、一元二次不等式求集合，再应用集合的并补运算求集合； （2）讨论参数a求对应集合，结合集合的包含关系确定参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，可得， 所以， 或， 所以，则； 【小问2详解】 由或， 由， 当，则，满足； 当，则，满足； 当，则，不满足； 综上，. 5. （24-25控江中学高一上期末）已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，化简集合A，集合B，再根据集合的并集运算可得解； （2）即，抓住集合A是否为空集讨论，再根据子集关系运算得解. 【小问1详解】 若，由，解得，则， 又，即等价于，解得， 则， . 【小问2详解】 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又， ，解得， 综上，实数的取值范围是. 考点06：集合的新定义问题 【例6】已知，用表示非空集合A中元素个数，定义，集合，，若，则a的可能的取值有（    ）个. A．2 B．3 C．4 D．5 【提示】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【答案】D 【解析】由题意可知，，故， 由题中定义可得，或. 由题意可知，为关于的方程的一根. 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时，方程无实根，则满足条件； 当时，则关于的方程有三个根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得. 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得. 当时，，合乎题意； 当时，，合乎题意. 综上，a的可能的取值为 故选：D. 【变式训练】 1.对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为， 故选：D. 2.若数集具有性质P：对任意的，，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（    ） A．为“权集” B．为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1 【答案】B 【解析】因为与均不属于数集，所以A错误； 因为，，，，，都属于数集，所以B正确； 由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误； 易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误. 故选：B. 3.若集合A具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A； (Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A． 则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是(　　) (1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q是“好集”； (3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B，这与－2∈B矛盾．(2)有理数集Q是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x－y∈Q，且x≠0时， ∈Q，所以有理数集Q是“好集”．(3)因为集合A是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x－(－y)∈A，即x＋y∈A. 4. （24-25格致中学高一上期末）已知为实数  ，  ，用表示有限集合的元素个数，的取值集合为_________ 【答案】 【解析】 【分析】令，由时，，的零点一一对应求解. 【详解】令， 设，显然，则， 所以除外，的零点一一对应， 又存在，，，使得， 所以或， 则或， 故答案为： 考点07：充分、必要条件的判断 【例7】（24-25虹口高一上期末）设为实数，则“”是“”的（ ）条件. A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】由，得；反之，，可以为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【例8】（24-25宜川中学高一上期末）古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个（ ）条件是“能扫天下” A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分，必要条件的定义判断即可. 【详解】“能扫天下”一定得到“能扫一屋”， 所以“能扫天下”是“能扫一屋”充分条件. 故选：A 【变式训练】 1. （24-25松江区高一上期末）在二十四节气中，冬季的节气有立冬､小雪､大雪､冬至､小寒和大寒，则“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用是否推出关系来判断是否充分和必要条件即可， 【详解】“甲出生在冬至”可以推出“甲出生在冬季”， “甲出生冬季”不能推出“甲出生在冬至”， 所以“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的充分不必要条件. 故选：B. 2. （24-25嘉定高一上期末）若：，：，则是的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充要条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，有条件可得，再由充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】由可得， 且：，所以是的必要非充要条件. 故选：B 3. （24-25金山高一上期末）已知、都是自然数，则“是偶数”是“、都是偶数”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为、都是自然数，若是偶数，则、都是偶数或、都是奇数， 所以，“是偶数”“、都是偶数”， “是偶数”“、都是偶数”， 故“是偶数”是“、都是偶数”的必要而不充分条件. 故选：B. 考点08：根据充分、必要条件求参数 【例9】 （24-25长宁区高一上期末）设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为，由子集的定义求解即可. 【详解】解：因为是的一个充分条件， 则， 所以， 则的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练】 1. （24-25格致中学高一上期末）若“”是“”必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解不等式，再根据必要不充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】， 若“”是“”的必要不充分条件， 则集合是集合的真子集，所以. 故选：A 2. （24-25浦东新区高一上期末）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得出集合的包含关系，即可得出实数的取值范围. 【详解】已知，，若是的充分不必要条件， 则，所以，. 故选：B. 考点09：命题的真假、否定 反证法 【例10】（24-25闵行区高一上期末）命题“若，则”是真命题，则实数a的取值范围为______ 【答案】 【分析】根据命题的真假得出结论． 【详解】命题“若，则”是真命题，则， 故答案为：． 【例11】（24-25控江中学高一上期末）陈述句“或”的否定形式为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据或命题的否定为且命题，注意相应条件取反，即可写出原命题的否定形式. 【详解】由或命题的否定为且命题，则原命题的否定为且. 故答案为：且. 【例12】（24-25奉贤区高一上期末）设，若，则或是真命题．这个命题可以用反证法去证明，可以假设：__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据给定信息，写出命题结论的否定即可得解. 【详解】依题意，或的否定是：且， 所以所求假设为：且. 故答案为：且 【变式训练】 1. 命题“若，则”是真命题，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由解得或，则能推出或成立，即可得出实数的取值范围. 【详解】由可得：，解得：或， “若，则”是真命题，则能推出或成立， 则.故实数的取值范围是. 故答案为： 2．（21-22高一上·上海杨浦·期末）命题“若，则”是 命题（填“真”或“假”其中一个）. 【答案】真 【分析】直接利用两数集的关系判断即可 【解析】因为当时，一定成立， 所以此命题为真命题， 故答案为：真 3. （24-25向明中学高一上期末）设命题：存在，，则命题的否定为_____. 【答案】任意， 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题，即可得结果. 【详解】命题的否定为：任意，. 故答案为：任意，. 4. （24-25浦东新区高一上期末）已知陈述句或，则的否定形式为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据已知命题否定的定义写出对应否定形式即可. 【详解】由或，则的否定形式为. 故答案为： 5. （24-25金山高一上期末）用反证法证明命题“设，已知偶数，则n是偶数”时，应假设__________. 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【解析】 【分析】根据反证法证明命题的原理即可得解. 【详解】命题“设，已知是偶数，则n是偶数”， 可得题设为，“（a，）为偶数， 反设的内容是：假设已知是偶数，则n是奇数. 故答案为：已知是偶数，则n是奇数. 6. （24-25松江区高一上期末）用反证法证明命题：“对于三个实数a、b、c，若，则或”时，提出的假设正确的是（ ） A. 且 B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用反证法证明时，假设结论的反面成立，从而可得答案. 【详解】用反证法证明时，假设结论的反面成立：即假设且成立. 故选：C 考点10：集合与逻辑综合题 【例13】（24-25长宁区高一上期末）设集合，． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出当时集合和集合，再求它们交集； （2）根据充分不必要条件可知以是的真子集，由此确定实数的取值范围. 【小问1详解】 已知集合，当时，，即.  等价于，所以集合   对于集合，这是一个分式不等式.  分式不等式等价于. 解不等式，可得，所以集合.   由前面求出的，， 所以. 【小问2详解】 由集合，解不等式可得， 即，所以集合.  因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集.  则有（等号不同时成立）.  解第一个不等式，得；解第二个不等式，得.  综上，实数的取值范围是. 【变式训练】 1. （24-25向明中学高一上期末）已知全集，集合，. （1）若，求实数的取值范围； （2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合、，根据可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 对于集合，由， 等式两边平方得， 所以，， 可得，解得，则， 因为，则， 所以，， 因为，则或，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 【小问2详解】 已知命题，命题，若是的必要条件，则， 所以，，解得或， 因此，实数的取值范围是或. 2. （24-25虹口高一上期末）已知函数的定义域为集合，集合. （1）当时，求； （2）若是的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据函数求定义域，再根据并集的运算可得； （2）由题意，可得，进而可得. 【小问1详解】 由得，得， 故函数的定义域为， 当时，， . 【小问2详解】 若是的必要条件，则， 故，得， 故实数的取值范围为 1. （24-25向明中学高一上期末）集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，则. 故答案为：. 2. （24-25上海华东模范中学高一上期末）已知集合，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】求得集合，再根据集合的交运算求解即可. 【详解】根据题意，，故. 故答案为：. 3. （24-25长宁高一期末）已知全集，集合，集合，则________． 【答案】 【解析】 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设. 故答案为： 4. 集合，，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集以及并集的定义即可求解. 【详解】由知，. 故答案为： 5. （24-25闵行区高一上期末）已知全集，集合，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据补集概念进行求解. 【详解】. 故答案为： 6. （24-25敬业中学高一期末）若集合，则__________. 【答案】； 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性即可求解. 【详解】由可得，解得， 故， 故答案为： 7. （24-25金山高一上期末）集合A中的元素都是正整数，元素最小值为1，最大值为100，除1之外每个元素都等于A中的两个数（可以相同）的和.求集合A中元素至少有__________个元素. 【答案】9 【解析】 【分析】先根据数据计算集合至少有八个数，再应用反证法证明恰好有八个元素不成立，即可求出元素的最小值. 【详解】设A中的数从小到大排列为 则；；；；； 于是A至少有八个数； 假设A恰好有八个元素，由于； 故必须有，， 又，同理， 但此时，，矛盾， 故A不可能恰好有八个元素， 因此A至少有九个元素. 其九个数可以为：1，2，3，6，12，13，25，50，100. 故答案为：9. 8. （24-25上海华东模范中学高一上期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分非必要条件和充要条件得到和的关系即可. 【详解】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 9. 设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 10. （24-25徐汇高一上期末）已知集合，集合或，全集. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）应用集合的并补运算求集合； （2）根据包含关系列不等式求参数范围即可. 【小问1详解】 由题设，则或， 所以或. 【小问2详解】 由且恒成立，即为非空集， 所以或，即或. 11. （24-25上海大学附中高一期末）已知集合，，． （1）求，； （2）若全集，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式、绝对值不等、分式不等式，化简三个集合，然后结合数轴和交集、并集运算规则即可得解； （2）先计算集合，然后结合数轴和交集运算规则即可得解. 【小问1详解】 ∵，，． 分别在数轴上表示集合A、B、C，如下图： ∴，． 【小问2详解】 ∵，在数轴上表示集合，如下图： ∴． 12. 已知集合. （1）若，求实数的取值范围； （2）若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【小问1详解】 解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $