课时规范练12指数函数专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以梯度训练构建指数函数方法体系，融合概念理解、性质应用与创新探究，强化逻辑推理与直观想象。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固练|8题（含1解答题）|定点求法（指数为0）、定义域求解（不等式）、比较大小（单调性）、图象识别（定点+单调性）、复合函数单调区间（同增异减）|从概念（定义域、定点）到性质（单调性、最值），形成“定义-性质-图象”认知链| |综合提升练|3题|参数分类讨论、换元法（2ⁿ=t）、平行四边形性质转化|结合函数单调性与不等式、二次函数最值，深化性质综合应用| |创新应用练|1题|新定义“姊妹对点”转化（对称图象交点）|通过数形结合实现知识迁移，培养创新意识|

课时规范练12　指数函数 (分值:71分) (单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分) 基础 巩固练 1.(2025·河北石家庄模拟)函数y=3ax-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过点(　　) A.(2,6) B.(2,4) C.(1,6) D.(1,4) 2.(2025·湖南湘潭模拟)函数f(x)=的定义域是(　　) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,+∞) 3.(2025·安徽A10联盟开学考试)已知a=3e,b=π3,c=πe,其中e≈2.718,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>a>b 4.(2025·山西吕梁模拟)已知a>0,且a≠1,则在同一直角坐标系中,函数y=ax+1和y=的图象可能是(　　) A. B. C. D. 5.(多选题)(2025·陕西西安期末)已知函数f(x)=0.,则(　　) A.f(x)的单调递增区间为(-∞,1] B.f(x)的单调递增区间为[1,+∞) C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最小值4 6.(2025·北京大兴模拟)函数f(x)=2x+k的值域为M,能使M⊆[-1,+∞)成立的一个k的值为　　　　　.  7.(2025·上海长宁模拟)函数y=+m的图象不经过第一象限,则实数m的取值范围为　　　　　.  8.(13分)(2025·河北秦皇岛期末)已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在区间上的最大值与最小值的差为2. (1)求实数a的值; (2)求不等式≤f(|x|)≤4的解集. 综 合 提升练 9.(多选题)(2025·湖南长沙模拟)已知实数x,y满足,则下列关系式中恒成立的是(　　) A.e2x+1>e2y+1 B.sin x>sin y C.x3>y3 D.2x-2y>3-x-3-y 10.(多选题)(2025·河南开封模拟)如图,已知直线x=a,x=b(a<b<0)与函数y=2x,y=4x的图象分别交于A,B,D,C四点,且四边形ABCD为平行四边形,则(　　) A.2a+2b=1 B.2a+1+2b+1=1 C.a+b<-4 D.a+b<-2 11.(2025·黑龙江大庆模拟)已知函数f(x)=4x-(a-1)2x+2(0≤x≤2),若f(x)在[0,2]上的最小值为4,则实数a的值为　　　　　.  创 新 应用练 12.(2025·山东临沂模拟)在平面直角坐标系内A,B两点满足:(1)点A,B都在函数f(x)的图象上;(2)点A,B关于坐标原点对称,则称点对(A,B)是函数f(x)一个“姊妹对点”,(A,B)与(B,A)可看作一个“姊妹对点”,已知函数f(x)=则f(x)的“姊妹对点”有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 参考答案 1.A　解析 根据题意,函数y=3ax-2+3中,令x-2=0,得x=2,代入函数解析式中可得y=3a0+3=6,即函数y=3ax-2+3的图象恒过点(2,6).故选A. 2.A　解析 由题意,需1-2x≥0,即2x≤1=20,解得x≤0,故函数的定义域为(-∞,0].故选A. 3.C　解析 因为函数y=xe在(0,+∞)上为增函数,所以πe>3e,即c>a; 又函数y=πx为增函数,所以π3>πe,即b>c,故b>c>a.故选C. 4.C　解析 易知函数y=ax+1与y=的图象都经过定点(0,1),故B错误; 因为a>0且a≠1,所以y=ax+1为增函数,当0<a<1时,y=为增函数,此时y=ax+1的零点-<-1,故A错误; 当a>1时,y=为减函数,此时y=ax+1的零点-(-1,0),故C正确,D错误.故选C. 5.AC　解析 设t=x2-2x-1,则t=x2-2x-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)内单调递增. 因为y=0.5x是R上的减函数,由同增异减原则,可知f(x)的单调递增区间为(-∞,1],则A正确,B错误; 因为x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,所以f(x)=00.5-2=4,则C正确,D错误.故选AC. 6.0(答案不唯一)　解析 函数f(x)=2x+k的值域为M=(k,+∞),因为M⊆[-1,+∞),所以k≥-1. 7.(-∞,-1]　解析 画出y=的图象,向下平移一个单位长度得到y=-1的图象, 数形结合可知m≤-1. 8.解 (1)①当0<a<1时,函数f(x)单调递减,有f(x)max=f,f(x)min=f(1)=a,由题意有-a=2,整理为a-+2=0,方程无解; ②当a>1时,函数f(x)单调递增,有f(x)min=f,f(x)max=f(1)=a, 由题意有a-=2,整理为a--2=0,解得=-1(舍去)或a=4. 综上,实数a的值为4. (2)由(1)知f(x)=4x,有f(x)=22x, 不等式f(|x|)≤4可化为22|x|, 由指数函数的单调性可知,2|x|,可得|x|, 所以-x≤-x, 故不等式f(|x|)≤4的解集为 9.ACD　解析 因为,所以x>y. 对于A,因为y=ex在R上是增函数,所以e2x+1>e2y+1,故本关系式恒成立; 对于B,当x=π,y=0时,显然符合x>y,但是sin x>sin y不成立,故本关系式不恒成立; 对于C,因为y=x3在R上是增函数,所以x3>y3,故本关系式恒成立; 对于D,因为y=2x为单调递增函数,y=3-x为单调递减函数,所以y=2x-3-x为R上的单调递增函数,由x>y,可得2x-3-x>2y-3-y,故2x-2y>3-x-3-y,故本关系式恒成立. 故选ACD. 10.AD　解析 由题图知A(a,2a),B(a,4a),C(b,4b),D(b,2b). 因为四边形ABCD为平行四边形,所以AB=CD,即2a-4a=2b-4b, 即2a-2b=4a-4b=(2a)2-(2b)2=(2a+2b)(2a-2b), 又2a-2b≠0,所以2a+2b=1,2a+1+2b+1=2,故A正确,B错误. 由基本不等式得2a+2b=1≥2,化简可得a+b≤-2, 当且仅当a=-1=b时,等号成立,由于a<b<0,故a+b<-2,D正确,C错误. 故选AD. 11.0　解析 令2x=t,因为x∈[0,2],所以t∈[1,4],所以f(x)=4x-(a-1)2x+2可化为g(t)=t2-(a-1)t+2(1≤t≤4),g(t)的最小值为4. 若1,则当t=1时,g(t)取得最小值,得4-a=4,解得a=0; 若1<<4,则当t=时,g(t)取值最小值,得+2=4,无解; 若4,则当t=4时,g(t)取得最小值,得a=(舍去). 所以a=0. 12.B　解析 根据题意可知,“姊妹点对”满足两点:都在函数图象上,且关于坐标原点对称. 可作出函数y=x2+2x(x<0)的图象关于原点对称的图象, 判断其与函数y=(x≥0)图象的交点个数即可,如图所示. 当x=1时,y=,当x=-1时,y=x2+2x=-1,且<1, 观察图象可得它们有2个交点,故f(x)的“姊妹对点”有2个. 1 学科网（北京）股份有限公司 $