高中数学单元测试——第七章统计案例（适中版02）

**基本信息** 本试卷为高中数学第七章统计案例单元复习卷，覆盖线性回归、相关系数、独立性检验等核心知识，通过基础题与综合题结合，适配单元复习巩固需求，体现数据观念与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|散点图拟合、相关系数比较、回归方程应用|基础概念辨析，如散点图线性相关性判断| |多选题|2/12|独立性检验、线性回归分析|结合统计量性质考查推理能力，如新增数据对回归方程影响| |填空题|2/10|列联表数据计算、回归方程参数求解|基础计算，如利用回归方程求缺失数据| |解答题|3/48|散点图绘制、独立性检验、回归方程建立与预测|综合应用，如航天材料性能检验、学习时长与成绩关联分析，体现现实情境的数据建模|

高中数学单元测试 —— 第七章 统计案例（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A的散点分布杂乱，没有明显的线性趋势，即散点不集中在一条直线附近，因此不适合用线性回归模型拟合； 选项B、C、D的散点都大致分布在一条直线附近，存在明显线性相关关系，适合线性回归模型拟合. 2．（本题5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x，y两变量有更强线性相关性的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】由相关系数的绝对值的大小判断,越接近1则有更强的线性相关性. 【详解】由已知，丙的相关系数的绝对值为，是四人中最大的且最接近1， 因此丙同学的试验结果中x，y两变量有更强的线性相关性． 故选：C. 3．（本题5分）回归方程，当x每增加1时，的变化为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合题意得到，再将两式相减，得到结果即可. 【详解】因为，所以当x每增加1时，， 则，得到的变化为，故B正确. 故选：B. 4．（本题5分）如果记录了，的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出得中心点，即为所求． 【详解】由已知，， 所以回归直线必过点． 故选：D． 5．（本题5分）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量X与Y独立 B．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C．变量X与Y不独立 D．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 【答案】A 【分析】利用独立性检验规则来进行判断即可。 【详解】因为，所以没有充分的证据推断变量X与Y不相互独立，即认为变量X与Y独立，故BCD错误，A正确； 故选：A. 6．（本题5分）某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（    ） （附，其中．） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先列出列联表计算值，再根据计算出的最小值. 【详解】根据题意，列联表如下： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 ； ∵有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，即， ，，又， 则的最小值为. 故选：B. 二、多选题 7．（本题6分）关于统计量，下列说法正确的是（    ） A．统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B．若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D．根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 【答案】CD 【分析】根据独立性检验的思想以及的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：统计量的值越大，两个分类变量的相关的可能性越大，与线性相关程度无关，故A错误； 对于选项B：因为， 在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类变量有关系，故B错误； 对于选项C：根据独立性检验思想可知： 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确； 对于选项D：根据独立性检验思想可知：的值越小，零假设成立的可能性越大，故D正确； 故选：CD. 8．（本题6分）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 【答案】ACD 【分析】设，，得到，，根据相关系数的计算公式，可得判定A正确，B错误；根据回归系数的计算公式，可得判定C和D正确，即可得到答案. 【详解】设，，则，，所以，. 对于A、B中，由， ，， 则相关系数， 可得相关系数不变，所以变量x与y的相关性不变，故A正确，B错误； 对于C、D中，因为， 且回归直线过点，所以均不变，所以线性回归方程不变，故C和D都正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（本题5分）下面是一个2×2列联表： 项目 y1 y2 总计 x1 a 21 70 x2 5 c 30 总计 b d 100 则由上表可得________. 【答案】74 【分析】根据联表性质计算求解. 【详解】由题意知，所以. 故答案为：. 10．（本题5分）下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4 5 a 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为______. 【答案】/ 【分析】由表格中的数据，求得样本中心代入回归方程，即可求解. 【详解】由表格中的数据，可得， 把代入回归方程，可得，解得. 故答案为：. 四、解答题 11．（本题14分）某公司利润与销售总额之间有如下对应数据： 亿元 1.0 1.5 1.7 2.0 2.5 2.8 3.2 万元 1000 1300 1800 2000 2600 2700 3300 (1)画出散点图； (2)判断与是否具有线性相关关系． 【答案】(1)散点图见解析 (2)与具有线性相关关系 【分析】（1）依据数据描点得到散点图； （2）根据散点图判断线性相关. 【详解】（1）根据表中数据，画出散点图如图所示．    （2）根据散点图中点的分布呈带状，且在一条直线的附近，判断与具有线性相关关系． 12．（本题16分）某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 (2)认为材料配方与耐热疲劳性能有关联 【分析】（1）按照样本总量比例计算A和B配方的抽样数量； （2）用卡方独立性检验判断配方类型与性能是否有关 【详解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件，由此可得列联表如下 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 由表知，，，，，， 代入公式得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 13．（本题18分）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立关于的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？ 参考数据与公式：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】(1)能认为有关联 (2)经验回归方程为，预测数学成绩约为分 【分析】（1）根据列联表数据代入卡方检验公式计算统计量，将结果与显著性水平0.001对应的临界值对比，判断高中生数学成绩与整理错题时长是否有关联； （2）先计算变量和的样本均值，再根据最小二乘法公式求出回归系数与截距得到经验回归方程，代入给定时长预测对应的数学成绩. 【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 由列联表得：， 代入卡方公式：， 因为（对应的临界值）， 因此依据的独立性检验，推断不成立， 即能认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由于第(1)问的独立性检验表明数学成绩与整理错题时长有关联， 由已知6组数据计算得：，， ， ， 因此，， 所以关于的经验回归方程为， 当时，，即其数学成绩大约是分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 统计案例（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x，y两变量有更强线性相关性的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（本题5分）回归方程，当x每增加1时，的变化为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（本题5分）如果记录了，的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到.已知，依据的独立性检验，结论为（    ） A．变量X与Y独立 B．变量X与Y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 C．变量X与Y不独立 D．变量X与Y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.005 6．（本题5分）某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的 若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（    ） （附，其中．） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）关于统计量，下列说法正确的是（    ） A．统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B．若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D．根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 8．（本题6分）研究变量x，y得到n组成对数据，，2，…，n，先进行一次线性回归分析，接着增加一组成对数据，其中，，再重新进行一次线性回归分析，则下列说法正确的是（    ） A．相关系数不变 B．变量x与y的相关性变强 C．线性回归方程不变 D．回归系数不变 三、填空题 9．（本题5分）下面是一个2×2列联表： 项目 y1 y2 总计 x1 a 21 70 x2 5 c 30 总计 b d 100 则由上表可得________. 10．（本题5分）下表是某单位1~4月份用水量（单位：百吨）的一组数据： 月份x 1 2 3 4 用水量y 4 5 a 7 由散点图可知，用水量y与月份x之间具有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则表中的值为______. 四、解答题 11．（本题14分）某公司利润与销售总额之间有如下对应数据： 亿元 1.0 1.5 1.7 2.0 2.5 2.8 3.2 万元 1000 1300 1800 2000 2600 2700 3300 (1)画出散点图； (2)判断与是否具有线性相关关系． 12．（本题16分）某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 13．（本题18分）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立关于的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？ 参考数据与公式：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $