第7章 统计案例 章末综合检测(六)-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末综合检测(六) (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设两个变量X和Y之间具有线性关系，它们的相关系数为r，Y关于X的线性回归方程为Y＝kX＋b，则(　　) A．k与r的符号相反 B．b与r的符号相同 C．k与r的符号相同 D．b与r的符号相反 解析：选C．若k>0，等价于两个变量正相关，等价于r>0；若k<0，等价于两个变量负相关，等价于r<0，所以k与r的符号相同，故A错误，C正确；又因为b与r的符号没有关系，故B，D错误．故选C． 2．某同学在研究变量X，Y之间的相关关系时，得到数据如表所示，并采用最小二乘法得到了线性回归方程Y＝X＋，则(　　) X 4.8 5.8 7 8.3 9.1 Y 2.8 4.1 7.2 9.1 11.8 A．>0，>0 B．>0，<0 C．<0，<0 D．<0，>0 解析：选D．画出散点图如图， 从而可以看出Y＝X＋中，>0，<0.故选D． 3．已知X与Y之间的一组数据如表，若Y关于X的线性回归方程为Y＝2.1X－1.25，则m的值为(　　) X 1 2 3 4 Y m 3.2 4.8 7.5 A．1 B．0.85 C．0.7 D．0.5 解析：选D．＝(1＋2＋3＋4)＝2.5，＝(m＋3.2＋4.8＋7.5)＝(m＋15.5)，因为Y关于X的线性回归方程为Y＝2.1X－1.25，所以(m＋15.5)＝2.1×2.5－1.25，解得m＝0.5.故选D． 4．手机给人们的生活带来便捷，但同时也对中学生的生活和学习造成了一定的影响．某校几个学生成立研究性学习小组，就使用手机对学习成绩的影响随机抽取了该校100名学生的期末考试成绩并制成列联表，则下列说法正确的是(　　) 手机使用情况 成绩 优秀 不优秀 总计 不用手机 40 10 50 使用手机 5 45 50 总计 45 55 n＝100 A．有90%的把握判断使用手机与学习成绩无关 B．没有充分的证据判断使用手机与学习成绩有关 C．有99%的把握判断使用手机对学习成绩有影响 D．无99%的把握判断使用手机对学习成绩有影响 解析：选C．由题表中的数据，计算 χ2＝≈49.49>6.635，所以有99%的把握判断使用手机对学习成绩有影响，C正确，A，B，D错误．故选C． 5．如果在一次实验中，测得(X，Y)的五组数值如表所示，经计算知，Y关于X的线性回归方程是Y＝6.5X＋，当X＝6时，预测Y＝(　　) X 0 1 2 3 4 Y 10 15 20 30 35 A．47.5 B．48 C．49 D．49.5 解析：选B．由题表可得＝(0＋1＋2＋3＋4)＝2，＝(10＋15＋20＋30＋35)＝22，又y＝6.5x＋，故22＝6.5×2＋，解得＝9.故Y＝6.5X＋9，代入X＝6可得Y＝6.5×6＋9＝48.故选B． 6．已知由表中数据得到的线性回归方程为Y＝5.3X－，且由此得到当X＝7时，预测Y是28.9，则实数m的值为(　　) X 2 3 4 5 6 Y 3 7 12 m 23 A．18 B．20 C．21 D．22 解析：选B．由题意知，＝＝4，＝＝＋9，则解得故选B． 7．某校对“喜欢吃水果和学生性别是否有关”进行了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢吃水果的人数占被调查的男生人数的，女生喜欢吃水果的人数占被调查的女生人数的，若有99%的把握判断喜欢吃水果和学生性别有关，则被调查的男生至少有(　　) A．12人 B．18人 C．24人 D．30人 解析：选B．设被调查的男生人数为x，被调查的女生人数为，x，∈N＋，则得到2×2列联表如下： 学生性别 喜欢吃水果情况 喜欢 不喜欢 总计 男 x 女 总计 x n＝ 则χ2＝＝>6.635，解得x>17.69，又因为男、女生人数为整数，所以被调查的男生至少有18人．故选B． 8．对某校高一学生进行心理障碍(其中焦虑、说谎、懒惰都是心理障碍)测试得到下表： 性别 心理障碍 焦虑 说谎 懒惰 总计 女 5 10 15 30 男 20 10 50 80 总计 25 20 65 110 下列说法中正确的是(　　) A．在这三种心理障碍中与性别有关系的概率最大的是焦虑 B．在这三种心理障碍中与性别有关系的概率最大的是说谎 C．在这三种心理障碍中与性别有关系的概率最大的是懒惰 D．这三种心理障碍与性别有关系的概率一样大 解析：选B．对于焦虑、说谎、懒惰三种心理障碍分别构造三个统计量χ，χ，χ，由题表中数据可得 χ＝≈0.863， χ＝≈6.366， χ＝≈1.410.因为χ的值最大，所以说谎与性别有关系的概率最大，故选B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知变量X，Y之间的线性回归方程为Y＝－0.7X＋10.3，且变量X，Y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法中正确的是(　　) X 6 8 10 12 Y 6 m 3 2 A．变量X，Y之间负相关 B．m＝4 C．可以预测，当X＝11时，Y为2.6 D．由表格数据知，该回归直线必过点(9，4) 解析：选ACD．由Y＝－0.7X＋10.3得＝－0.7＜0，所以X，Y负相关，故A正确；当X＝11时，预测Y为2.6，故C正确；＝＝9，故＝－0.7×9＋10.3＝4.故回归直线必过点(9，4)，故D正确；因为＝4，所以＝4，m＝5，故B错误．故选ACD． 10．以下四个命题，其中不正确的是(　　) A．在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，若满足χ2≥6.635，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病 B．两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数就越接近于1 C．对于独立性检验，χ2越大，判断“两变量有关系”的把握越大 D．线性回归方程Y＝X＋对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 解析：选ABD．对于A，若满足χ2>6.635，则有99%的把握判断两者有关，故A不正确；对于B，两个随机变量的线性相关程度越强，样本相关系数的绝对值就越接近于1，故B不正确；对于C，χ2越大，判断“两变量有关系”的可能性越大，故C正确；对于D，因为数据点可能分布在回归直线Y＝X＋的两侧，不一定在回归直线Y＝X＋上，故D不正确．故选ABD． 11．已知某产品的销售额Y(单位：万元)与广告费用X(单位：万元)之间的关系如表，若根据表中的数据用最小二乘法求得Y关于X的线性回归方程为Y＝6.5X＋9，则下列说法中正确的是(　　) X 0 1 2 3 4 Y 10 15 m 30 35 A．产品的销售额与广告费用正相关 B．该回归直线过点(2，22) C．当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元 D．m的值是20 解析：选ABD．因为线性回归方程中X的系数为6.5＞0，因此，该产品的销售额与广告费用正相关，A正确；又＝2，则＝6.5×2＋9＝22，回归直线一定过点(2，22)，B正确；当X＝10时，Y＝6.5×10＋9＝74，说明当广告费用为10万元时，销售额估计为74万元，不是一定为74万元，C错误；由＝22，得m＝20，D正确．故选ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业某月的产品销量X(单位：千箱)与单位成本Y(单位：元)的资料进行线性回归分析，结果如下：＝，y＝71，＝79，iyi＝1 481.则销量每增加1千箱，单位成本下降____________元．(结果保留5位有效数字)附：＝，＝－． 解析：由题意知＝＝＝－，＝－＝71＋×＝，所以线性回归方程为Y＝－X＋，所以销量每增加1千箱，单位成本下降≈1.818 2元． 答案：1.818 2 13．机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道时，应当停车让行，俗称“礼让行人”．交警从通过某路口的机动车驾驶员中随机抽查70人，调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，具体数据如表： 不礼让行人 礼让行人 驾龄不 超过1年 24 16 驾龄1年以上 16 14 根据表中的数据得到观测值χ2≈________(精确到0.001)，参照附表判断：是否有90%的把握判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄有关？答：________．(填“有”或“没有”) 解析：补充2×2列联表如下(单位：人)： 驾龄 是否礼让行人 总计 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超 过1年 24 16 40 驾龄1年 以上 16 14 30 总计 40 30 n＝70 所以χ2＝＝≈0.311.因为0.311<2.706，所以没有90%的把握判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄有关． 答案：0.311　没有 14．已知由一组样本数据确定的线性回归方程为Y＝1.5X＋1，且x＝2，发现有两组数据(2.2，2.9)与(1.8，5.1)误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线的斜率为1，那么新的线性回归方程为________，当X＝4时，预测Y的值为________． 解析：因为x＝2，所以y＝1.5×2＋1＝4，由题意知，去掉两组数据(2.2，2.9)和(1.8，5.1)后，新的线性回归方程仍过(2，4)，设重新求得的线性回归方程为Y＝X＋b，将(2，4)代入，解得b＝2，即Y＝X＋2，所以当X＝4时，Y＝4＋2＝6. 答案：Y＝X＋2　6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上车乘客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上车乘客的人数： 发车 时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车 乘客 数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 解：绘制散点图如图所示， 观察散点图可知，7：41之前客车发车时刻与上车乘客人数之间正相关，7：41之后客车发车时刻与上车乘客人数之间负相关． 16．(本小题满分15分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下： (1)根据频率分布直方图，填写2×2列联表(单位：箱)； (2)试判断是否有99%的把握判断箱产量与养殖方法有关？ 养殖法 箱产量 总计 <50kg ≥50kg 旧 新 总计 解：(1)由题中频率分布直方图知，旧养殖法箱产量低于50 kg的箱数为5×(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×100＝62；不低于50 kg的箱数为100－62＝38；新养殖法箱产量低于50 kg的箱数为5×(0.004＋0.020＋0.044)×100＝34；不低于50 kg的箱数为100－34＝66.由此可得2×2列联表如下(单位：箱)： 养殖法 箱产量 <50kg ≥50kg 总计 旧 62 38 100 新 34 66 100 总计 96 104 n＝200 (2)结合(1)中列联表得χ2＝≈15.705>6.635，所以有99%的把握判断箱产量与养殖方法有关． 17．(本小题满分15分)为了解某一地区电动汽车的销售情况，一机构根据统计数据，得到数据如表所示． (1)求电动汽车产值Y关于月份代码X的线性回归方程Y＝X＋； 月份 6月 7月 8月 9月 10月 月份代码X 1 2 3 4 5 产值Y/亿元 16 20 23 31 40 (2)该机构随机调查了该地区100位购车车主的性别与购车种类，其中购买非电动汽车的男性45人，女性35人；购买电动汽车的男性5人，女性15人．请问是否有95%的把握判断是否购买电动汽车与性别有关．参考数据及公式：① (xi－)(yi－)＝59；②＝，＝－；③χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 解：(1)由题知＝＝3，＝＝26，＝＝＝＝5.9，＝－＝26－5.9×3＝8.3，故所求线性回归方程为Y＝5.9X＋8.3. (2)根据题意，得2×2列联表如下(单位：人)： 性别 购买种类 非电动汽车 电动汽车 总计 男 45 5 50 女 35 15 50 总计 80 20 n＝100 χ2＝＝ ＝6.25>3.841，故有95%的把握判断是否购买电动汽车与性别有关． 18．(本小题满分17分)某中学为调查学生性别与是否喜欢羽毛球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，抽取了200名学生作为样本，该样本中女生的概率为，设A＝“喜欢羽毛球”，B＝“学生为女生”，据统计显示P(A|)＝，P(B|)＝. (1)请根据已知条件完成2×2列联表(单位：名)； (2)据此有多大的把握判断学生性别与是否喜欢羽毛球运动有关． 性别 羽毛球运动 喜欢 不喜欢 总计 男 女 总计 解：(1)因为样本中女生的概率为，所以样本中女生的人数为×200＝100，因为P(A|)＝，所以样本中男生喜欢羽毛球的人数为×100＝40，所以样本中男生不喜欢羽毛球的人数为100－40＝60，设样本中不喜欢羽毛球的女生人数为x，因为P(B|)＝，所以＝，解得x＝90，所以样本中喜欢羽毛球的女生人数为10，据此填写2×2列联表(单位：名)： 性别 羽毛球运动 喜欢 不喜欢 总计 男 40 60 100 女 10 90 100 总计 50 150 n＝200 (2)由(1)中列联表数据得χ2＝ ＝ ＝24>6.635， 所以有99%的把握判断学生性别与是否喜欢羽毛球运动有关． 19．(本小题满分17分)某市场监管部门对某线下实体店2023年的前两个季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下： 月份X 1 2 3 4 5 6 净利润Y/万元 1.0 1.4 1.7 2.0 2.2 2.4 (1)是否可以用线性回归模型拟合Y与X的关系？请用样本相关系数r加以说明；(参考：若|r|≥0.75时，则线性相关程度较强，若0.3<|r|<0.75 时，则线性相关程度一般，计算r时精确度为0.01) (2)利用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程，并利用样本估计总体，预测9月份的净利润． 附：对于一组数据(ui，vi)(i＝1，2，3，…，n)，其线性回归方程v＝＋u的系数 ＝，＝－ ． 样本相关系数r＝.参考数据：≈1.78，62 ≈19.01，iyi＝42.3，＝20.45，≈5.02，≈0.28. 解：(1)由条件得＝＝3.5，62＝73.5，6≈6×3.5×1.78＝37.38，＝12＋22＋32＋42＋52＋62＝91.则r＝≈ ＝≈≈0.98>0.75，因此X与Y线性相关程度较强，可以用线性回归模型拟合X与Y的关系． (2)根据(1)得变量X，Y线性相关，设所求的线性回归方程为Y＝＋X.由题得＝≈＝＝≈0.28，又因为＝－≈1.78－0.28×3.5＝0.8，从而可得变量X，Y线性回归方程为Y＝0.8＋0.28X.当X＝9时，Y＝0.8＋0.28×9＝3.32，因此预测9月份的净利润为3.32万元． 学科网（北京）股份有限公司 $