高中数学单元测试——第七章统计案例（适中版01）

**基本信息** 高中数学第七章统计案例单元卷，以线性回归、独立性检验为核心，结合研学旅行、航天材料等真实情境，通过分层设题落实数据观念与模型观念，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|5/25|散点图拟合、相关系数、回归方程应用|第6题以研学旅行为情境，考查独立性检验的实际应用| |多选题|2/12|卡方统计量性质、异常值对回归的影响|第8题通过对比异常值前后模型，培养数据分析能力| |填空题|2/10|列联表补全、回归方程参数求解|第10题结合加工时间实例，强化模型观念| |解答题|3/48|散点图绘制、分层抽样与独立性检验、回归方程建立与预测|第13题整合错题整理与成绩关联，综合考查数据处理与模型预测，体现数学思维与语言的应用|

高中数学单元测试 —— 第七章 统计案例（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x，y两变量有更强线性相关性的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（本题5分）在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为若价格定为1.9万元，则预测需求量大约为（    ） A．6.25t B．5t C．4.65t D．3.25t 4．（本题5分）已知变量的4组相关数据分别为，则关于的线性回归直线必经过点（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 6．（本题5分）读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（    ） A．25 B．45 C．60 D．75 是否喜欢参加暑期研学旅行 性别 总计 男生 女生 喜欢 不喜欢 总计 二、多选题 7．（本题6分）关于统计量，下列说法正确的是（    ） A．统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B．若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D．根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 8．（本题6分）为更好地促进同学们的动手能力，某学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到实验室中开展物理实验.在某个实验中，某同学利用自己测量得出的实验数据（已知其中含1个异常样本点），利用最小二乘法进行计算得出了经验回归方程及决定系数.并利用计算机处理得到了以下的实验结果1，实验结果2为删除该异常样本点后利用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程及决定系数，则（    ） A．可认为该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型 B．推测实验结果1中的异常样本点的自变量的值可能为0.33 C．由于，则实验结果1相较于实验结果2拟合更好 D．实验结果1的因变量的平均值大于实验结果2的因变量的平均值 三、填空题 9．（本题5分）如下是一个列联表，则________. yx 总计 总计 10．（本题5分）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 四、解答题 11．（本题14分）某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 12．（本题16分）某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 13．（本题18分）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立关于的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？ 参考数据与公式：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第七章 统计案例（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）如图所示，4个散点图中，不适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】选项A的散点分布杂乱，没有明显的线性趋势，即散点不集中在一条直线附近，因此不适合用线性回归模型拟合； 选项B、C、D的散点都大致分布在一条直线附近，存在明显线性相关关系，适合线性回归模型拟合. 2．（本题5分）甲、乙、丙、丁四位同学各自对x，y两变量的线性相关性做试验，分别求得样本相关系数r，如下表： 甲 乙 丙 丁 r 则试验结果中x，y两变量有更强线性相关性的是（   ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】由相关系数的绝对值的大小判断,越接近1则有更强的线性相关性. 【详解】由已知，丙的相关系数的绝对值为，是四人中最大的且最接近1， 因此丙同学的试验结果中x，y两变量有更强的线性相关性． 故选：C. 3．（本题5分）在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为若价格定为1.9万元，则预测需求量大约为（    ） A．6.25t B．5t C．4.65t D．3.25t 【答案】A 【分析】根据经验回归方程，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，经验回归方程为， 令，得， 即预测需求量大约为6.25t. 故选：A 4．（本题5分）已知变量的4组相关数据分别为，则关于的线性回归直线必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出样本中心点即可求解. 【详解】因为， 线性回归直线必经过样本中心点. 故选：B． 5．（本题5分）为了验证牛的毛色（黑色、红色）和角（有角、无角）这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，根据形成的列联表，计算得到，根据小概率值的独立性检验（已知独立性检验中），下列结论正确的是（   ） A．牛的毛色与角无关 B．牛的毛色与角无关，此推断犯错误的概率不超过0.05 C．牛的毛色与角有关 D．牛的毛色与角有关，此推断犯错误的概率不超过0.05 【答案】A 【分析】根据卡方独立性检验规则，比较与临界值即可得出结论. 【详解】因为，所以牛的毛色与角无关. 故选：A. 6．（本题5分）读万卷书，行万里路.随着我国教育模式由“应试教育”向“素质教育”转变，研学旅行作为一种传统而现代的素质教育手段被广泛关注.某校对“是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别的关系”进行了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占男生人数的，女生中喜欢参加暑期研学旅行的人数占女生人数的.若有95%的把握认为是否喜欢参加暑期研学旅行与学生性别有关，则被调查的学生中，男生的人数不可能为（    ） A．25 B．45 C．60 D．75 【答案】A 【分析】根据条件设男生人数为，再根据条件列出列联表，计算，解不等式. 【详解】依题意，设男生的人数为，可列出2×2列联表如下所示： 是否喜欢参加暑期研学旅行 性别 总计 男生 女生 喜欢 不喜欢 总计 则=. 由题意知，即，得，所以. 又，所以结合选项知B，C，D项都可以. 二、多选题 7．（本题6分）关于统计量，下列说法正确的是（    ） A．统计量的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强 B．若求出统计量，由于6.31比较接近，因此能推断两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01 C．独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的 D．根据统计量的构造过程可知，的值越小，零假设成立的可能性越大． 【答案】CD 【分析】根据独立性检验的思想以及的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：统计量的值越大，两个分类变量的相关的可能性越大，与线性相关程度无关，故A错误； 对于选项B：因为， 在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类变量有关系，故B错误； 对于选项C：根据独立性检验思想可知： 独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确； 对于选项D：根据独立性检验思想可知：的值越小，零假设成立的可能性越大，故D正确； 故选：CD. 8．（本题6分）为更好地促进同学们的动手能力，某学校拟开展物理实验周活动，组织同学们到实验室中开展物理实验.在某个实验中，某同学利用自己测量得出的实验数据（已知其中含1个异常样本点），利用最小二乘法进行计算得出了经验回归方程及决定系数.并利用计算机处理得到了以下的实验结果1，实验结果2为删除该异常样本点后利用最小二乘法进行计算得到的经验回归方程及决定系数，则（    ） A．可认为该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型 B．推测实验结果1中的异常样本点的自变量的值可能为0.33 C．由于，则实验结果1相较于实验结果2拟合更好 D．实验结果1的因变量的平均值大于实验结果2的因变量的平均值 【答案】AB 【分析】利用图即可判断AB，由决定系数的意义即可判断C，根据图象估计平均值即可判断D. 【详解】对于A：由散点图可知该实验中的自变量与因变量符合线性回归模型，故A正确； 对于B：根据实验结果1的图可知异常样本点的自变量的值可能为0.33，故B正确； 对于C：由于，则实验结果2相较于实验结果1拟合得更好，故C错误； 对于D：由于实验结果1包含了异常样本点对应的因变量值接近，比其他正常样本点对应的因变量值小得多， 故实验结果1的因变量的平均值小于实验结果2的因变量的平均值，即D错误. 故选：AB. 三、填空题 9．（本题5分）如下是一个列联表，则________. yx 总计 总计 【答案】 【分析】根据列联表的概念，可得答案. 【详解】由题意可得，则，可得，所以. 故答案为：. 10．（本题5分）一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下，根据表格可得回归方程，则实数的值为__________. 零件数x（个） 2 3 4 5 加工时间y（分钟） 30 a 40 50 【答案】36 【分析】根据回归方程经过样本中心点，代入即可求得的值. 【详解】根据表中数据可知，， 因为回归方程经过样本中心点， 代入回归直线方程可得，解得， 故答案为：36. 四、解答题 11．（本题14分）某市104路公交车上午7：05—8：55时段在起点站每9分钟发一班次．公交公司为了了解早高峰时段各班次上客情况，某日上午7：14—8：35记录了在起点站各班次车辆上客的人数： 发车时刻 7：14 7：23 7：32 7：41 7：50 7：59 8：08 8：17 8：26 8：35 上车乘客数/人 10 13 13 18 17 15 12 9 3 3 请绘制这组成对数据的散点图，并通过观察散点图大致判断客车发车时刻与上车乘客人数之间的相关性． 【答案】图表见解析 【分析】根据题意，直接绘制散点图即可，结合散点图即可判断. 【详解】   绘制散点图如图所示，观察散点图可知，之前客车发车时刻与上车乘客人数之间正相关，之后客车发车时刻与上车乘客人数之间负相关. 12．（本题16分）某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有合金部件样本900件，合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 配方材料试样 20 合计 140 (1)请完成上述列联表； (2)依据的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中， 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 (2)认为材料配方与耐热疲劳性能有关联 【分析】（1）按照样本总量比例计算A和B配方的抽样数量； （2）用卡方独立性检验判断配方类型与性能是否有关 【详解】（1）由已知合金部件应抽取件，合金部件应抽取件，由此可得列联表如下 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 配方材料试样 75 15 90 配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设为：材料配方与耐热疲劳性能无关联， 由表知，，，，，， 代入公式得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为材料配方与耐热疲劳性能有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05． 13．（本题18分）为研究高中生每周自主整理错题时长与数学学科成绩的关联性，某高中数学教研组从本校高二年级随机抽取了100名学生进行调查，统计其每周整理错题时长（单位：小时）及期末数学成绩，按照“整理错题时长≥2小时”和“整理错题时长<2小时”将学生分为时长充足组和时长不足组，再按照数学成绩是否不低于120分（满分150分）分为成绩优秀和成绩一般，得到如下列联表： 成绩优秀 成绩一般 合计 时长充足组 30 10 40 时长不足组 20 40 60 合计 50 50 100 同时，从样本中随机选取6名学生，记录其每周整理错题时长（记为变量，单位：小时）与对应数学成绩（记为变量，单位：分），得到如下数据： 学生编号 1 2 3 4 5 6 0 1 2 2 3 4 91 105 116 119 125 140 (1)根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联？ (2)请你结合第（1）问得出的独立性检验结论，根据选取的6组数据，建立关于的经验回归方程，并预测某名学生每周整理错题时长为4.5小时，其数学成绩大约为多少分？ 参考数据与公式：． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【答案】(1)能认为有关联 (2)经验回归方程为，预测数学成绩约为分 【分析】（1）根据列联表数据代入卡方检验公式计算统计量，将结果与显著性水平0.001对应的临界值对比，判断高中生数学成绩与整理错题时长是否有关联； （2）先计算变量和的样本均值，再根据最小二乘法公式求出回归系数与截距得到经验回归方程，代入给定时长预测对应的数学成绩. 【详解】（1）零假设为：高中生数学成绩与每周自主整理错题时长无关， 由列联表得：， 代入卡方公式：， 因为（对应的临界值）， 因此依据的独立性检验，推断不成立， 即能认为高中生数学成绩与每周整理错题时长充足与否有关联，该推断犯错误的概率不超过0.001． （2）由于第(1)问的独立性检验表明数学成绩与整理错题时长有关联， 由已知6组数据计算得：，， ， ， 因此，， 所以关于的经验回归方程为， 当时，，即其数学成绩大约是分. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $