高中数学单元测试——第六章概率（较难版02）

高中数学单元测试 —— 第六章 概率（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分布列的性质可求. 【详解】因为服从两点分布，故， 故选：A. 2．（本题5分）在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】列出的可能取值即可判断. 【详解】依题意每题回答正确得分，回答不正确得分， 则选手甲回答这三个问题的总得分的可能取值为，，，共种情况. 故选：D 3．（本题5分）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据概率的性质求出的值，然后即可求出的值. 【详解】由题意得， 而由得， 化简得，解得，所以. 所以. 故选：B. 4．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，. 故选：B 5．（本题5分）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出每次取到次品的概率，再利用独立重复试验的概率公式列式计算. 【详解】依题意，每次取1件，取到次品的概率， 所以. 故选：B 6．（本题5分）已知随机变量服从二项分布，若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二项分布的期望公式及性质计算得解. 【详解】由随机变量服从二项分布，得，由，得， 所以. 故选：C 7．（本题5分）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率公式计算即可. 【详解】设表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”， 表示事件“从乙罐取出的球是红球”． 当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时 当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时 所以， 故选：C. 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 【答案】B 【分析】由题知抽到消费超过200元的人数，，则，再利用组合数的性质求最大值即可. 【详解】由题知抽到消费超过200元的人数，， 则，又这20人中有人消费超过200元的概率最大， 所以， 即，解得， 又，所以. 故选：B. 二、多选题 9．（本题6分）已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由条件概率的公式对选项一一判断即可得出答案． 【详解】由条件概率知：，因为,，所以，故A不正确； ，，与不一定相等，所以不一定成立，故B不正确； ，，所以，故C正确； ，故D不正确． 故选：ABD． 10．（本题6分）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由，求出，再依次判断选项即可． 【详解】依题意得，， ， 则，A项正确， ，故B项正确； ，故C项错误； ，故D项正确． 故选：ABD 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 【答案】BC 【分析】由题设可知：随机变量，即可判断AB；根据题中数据结合正态分布的性质求，，即可得判断CD. 【详解】由题设可知：，则随机变量， 所以随机变量的标准差为，故A错误， B正确； 因为 ，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 12．（本题5分）已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________. 【答案】 【分析】设命中的次数为，则，，根据二项分布的方差公式及方差的性质计算可得. 【详解】设命中的次数为，则，所以， 又，所以. 故答案为： 13．（本题5分）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】根据正态分布曲线的性质可得，结合基本不等式“1”的代换求最值即可. 【详解】由题意，随机变量的分布图象关于直线对称， 又，所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 【答案】/ 【分析】确定的可能取值，求得相应概率，由期望定义即可求解. 【详解】由题意，2，5，8模3同余，3，6，9模3同余，则取球次数的可能取值为3，4，5， ， ，， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 【答案】(1)， (2) X 0 1 2 3 4 5 P ， 【分析】（1）由古典概型概率公式求解即可； （2）由古典概型概率公式求得概率，再结合期望公式求解即可； 【详解】（1）由题意可得离散型随机变量X表示连续两次投掷得到的朝上点数的差的绝对值， 连续投掷两次骰子，得到的点数共有36种可能， 其中可能情况有6种， 故． 其中可能情况有10种，， 故． （2）由题意可得X的可能取值有0，1，2，3，4，5， 的情况有，8种， 的情况有，6种， 的情况有，4种， 的情况有，2种， 所以， ， 可得分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P 故． 16．（本题15分）D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 【答案】(1)的分布列如下： 0 1 2 3 ，. (2) 【分析】（1），得到分布列，利用二项分布求期望公式和方差公式求出答案； （2）可分为四种情况，，，和，得到相应的概率，相加可得概率. 【详解】（1）由题可知随机变量服从二项分布：， ，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 均值为，； （2）由题可知“”的情况可分为四类： ①时，， ②时，， ③时，， ④时，， 所以. 17．（本题15分）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先把第１局作为互斥事件，再利用全概率公式计算求解； （2）先分别计算比赛进行3局时甲胜和乙胜的概率，求和得到，再利用条件概率公式计算求解； （3）按结束的局数分类，可能是，分别计算每种局数下甲胜的概率，再求和． 【详解】（1）设表示第1局甲胜，表示第2局甲胜， 由全概率公式得． （2）表示比赛在第3局结束，即前2局无连续两胜，第3局形成连续连胜： 乙胜：序列为“甲、乙、乙”，概率为， 甲胜：序列为“乙、甲、甲”，概率为， ， 甲胜的概率为． （3）时，甲胜的概率为； 时，甲胜的概率为； 时，甲胜序列为“甲、乙、甲、甲”的概率为； 时，甲胜序列为“乙、甲、乙、甲、甲”或“甲、乙、甲、乙、甲”， 概率为， 甲胜的概率为． 18．（本题17分）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 19．（本题17分）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 【答案】(1)分布列见解析， (2)N至少为145 【分析】（1）利用超几何分布概率模型求出概率，即可列出分布列和求数学期望； （2）利用二项分布概率模型和超几何分布概率模型即可求解. 【详解】（1）由题意，当时，男性员工有4人，女性员工有6人， 服从超几何分布，， ，， ，， 则的分布列为 0 1 2 3 所以数学期望为. （2）由题意，男性员工有人，女性员工有人， 则， ， 由于，则， 即， 即， 由题意易知， 从而， 化简得， 又，于是. 由于函数在上单调递增，且， 从而在时单调递增， 又，. 因此当时，符合题意， 而又考虑到和都是整数，则一定是5的整数倍， 则N至少为145时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第六章 概率（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得分，回答不正确得分，则选手甲回答这三个问题的总得分的所有可能取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（本题5分）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）有8件产品，其中4件是次品，从中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次数，则（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知随机变量服从二项分布，若随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．已知第二次从乙罐中取到的是红球，则第一次从甲罐中取到的是红球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）某商家开展促销活动，已知当天参加活动的顾客中，消费超过200元的顾客的频率为，用频率估计概率，现从参加活动的顾客中随机抽取20人赠送小礼品，若这20人中有人消费超过200元的概率最大，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．8或9 二、多选题 9．（本题6分）已知随机事件，的概率分别为，，且，则下列说法中不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）甲参加游戏获得的积分的分布列为 4 5 6 7 8 0.1 0.3 0.3 且，则（　　） A． B． C． D． 11．（本题6分）若随机变量，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.随机变量服从正态分布，则.某珠宝店出售的珍珠的直径均服从期望为15毫米，标准差为2毫米的正态分布.程女士在该珠宝店随机地挑选了16颗圆润华美的珍珠，将它串成一条璀璨夺目的项链.设这16颗珍珠的直径平均值为，则（    ） A．随机变量的标准差为 B．随机变量 C． D． 三、填空题 12．（本题5分）已知甲射击命中的概率为，且每次射击命中得分，未命中得分，每次射击相互独立，设甲次射击的总得分为随机变量，则__________. 13．（本题5分）已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 14．（本题5分）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，对于两个整数，若它们除以正整数所得的余数相同，则称和模同余，记作.现已知箱子中有6个大小相同的小球，分别标号2，3，5，6，8，9，从中不放回地随机取球，每次取1个球，当满足模3同余的一组数字标号的球均被取出时则停止取球，记为取球的次数，则的数学期望______________. 四、解答题 15．（本题13分）现有一质地均匀的正方体骰子（六个面分别标着数字1~6），连续投掷两次，记m，n分别为第一次、第二次投掷后朝上的点数，设离散型随机变量. (1)求和的值； (2)求X的分布列和数学期望. 16．（本题15分）D公司开发了两款AI图像检测模型（分别记为甲模型、乙模型），用于检测图像中的特定目标.已知甲模型在单张图像中检测到目标的概率为，乙模型在单张图像中检测到目标的概率为.假设每张图像在同一模型中的检测结果相互独立，现用甲、乙模型分别独立地检测3张图像，记甲模型检测到目标的图像张数为X，乙模型检测到目标的图像张数为Y. (1)写出随机变量X的分布列、均值及方差. (2)求事件“”的概率. 17．（本题15分）甲､乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜．在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为．已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为． (1)求第2局比赛甲胜的概率； (2)在的条件下，求甲胜的概率； (3)求比赛结束时甲胜的概率． 18．（本题17分）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 19．（本题17分）为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中是男性，是女性. (1)当时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望； (2)我们知道，当总量N足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑，从N名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作，在二项分布中，即男性员工的人数男性员工恰有2人的概率记作.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布(参考数据:) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $