高中数学单元测试——第六章概率（较难版01）

**基本信息** 高中数学第六章概率单元测试（较难版），覆盖离散型随机变量、正态分布等核心知识，结合篮球命中率、消防竞答等生活情境，适配单元复习，强化数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|两点分布、条件概率、高尔顿板模型|以高尔顿板情境考查二项分布，体现数学眼光| |多选题|3/18|事件关系、正态分布3σ原则|结合生产线零件长度考查统计推断，强化数学思维| |填空题|3/15|二项分布期望、取球停止条件期望|创新设计取球停止问题，提升数学语言表达| |解答题|5/77|全概率公式、超几何分布、正态分布应用|消防竞答情境融合二项分布期望计算，注重实际应用|

高中数学单元测试 —— 第六章 概率（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布可得，再结合已知即可得. 【详解】离散型随机变量服从两点分布，则， 又，所以. 故选：A. 2．（本题5分）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数 C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数 【答案】B 【分析】根据随机变量的定义即可求解. 【详解】根据离散型随机变量的定义，能够一一列出的只能是B选项，其中A、C选项是事件，D选项取到球的个数是2个为确定值，ACD错误； 故选：B． 3．（本题5分）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】由分布列的性质结合题意可得答案. 【详解】由题，． 故选：B 4．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由超几何分布的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 【详解】由题意可得，. 故选：B 5．（本题5分）甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由独立重复试验概率计算公式即可求解. 【详解】甲以“”获胜即前3局中，甲胜2局输1局且第4局胜， 记“甲以“”获胜”， 因为各局比赛的结果相互独立， 所以． 故选：B 6．（本题5分）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 【答案】A 【分析】先求出这组数据的分位数为，再利用二项分布的期望公式求解即可. 【详解】把个数据按照从小到大的顺序排序得：，，，，，，，， ，所以这组数据的分位数为第位数字，即， 即，所以. 故选：A. 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 【答案】D 【分析】设出相关事件，根据和事件的概率公式求出，再根据条件概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》， 则，则， 而，即， 故， 故， 即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75， 故选：D 8．（本题5分）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题意，服从二项分布，，代入公式可得结果． 【详解】每下落一层向左或向右落下等可能，概率均为， 每一层均要乘以，共做10次选择， 故服从二项分布，， 又， 令最大， 则， 即, 解得，又因为，所以, 所以， ，且． 故选：B． 二、多选题 9．（本题6分）设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由对立事件概率可得A；利用条件概率公式可求B；根据可得C；由全概率公式可判断D. 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，根据乘法公式得，，故C正确； 由全概率公式可得，，故D错误， 故选：ABC． 10．（本题6分）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用期望和方差的公式求得，结合期望与方差的性质，分别求得的值，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 则， 因为，所以 . 故选：ABC. 11．（本题6分）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的概念可判断A；根据正太分布的对称性可判断BC；根据题设原则计算概率进行比较可判断D． 【详解】A选项：由题可得均值，方差，故A正确； B选项：与关于对称，，故B正确； C选项： ∵，∴， ∵，∴， ∴，故C错误； D选项：根据原则，零件长度大于42的概率应该小于， 现在抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，其概率为，这远远大于， 故应该对生产线进行检修，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 12．（本题5分）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则_____． 【答案】3.6 【分析】判断出随机变量服从二项分布，利用二项分布的方差公式求出，再由方差性质公式即可计算求出. 【详解】设这10人中持满意态度的人数为，则由题意可知， 则， 已知随机变量，所以. 故答案为： 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 【答案】3 【分析】根据态分布的性质分析求解. 【详解】因为，所以． 又因为，则，所以. 故答案为：3. 14．（本题5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______． 【答案】// 【分析】先根据题意确定停止取球的条件，再确定的取值，求出其分布列，根据期望的计算公式计算. 【详解】当，；当时，；当时，； 由题，则当标有数字或者或者的球均已被取出，则停止取球， 所以的可能取值是， ；；； 所以的分布列为 . 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，设正面向上的次数为． (1)写出该试验的样本空间，并求已知至少有一次正面向上的条件下，至少有一次反面向上的概率； (2)求的分布列与数学期望． 【答案】(1) 样本空间为正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反 概率为 (2) 0 1 2 3 期望为 【分析】（1）列出试验的样本空间，根据样本空间及条件概率的性质求解即可； （2）先求出X所有可能值的概率，再据此列出分布列即可，最后再根据此求出对应数学期望． 【详解】（1）抛掷一枚质地均匀的硬币3次， 试验的样本空间为正正正，正正反，正反正，正反反，反正正，反正反，反反正，反反反， 共有8种不同的情况，至少有一次正面向上的次数为7， 至少有一次正面向上且至少有一次反面向上的次数为6， 故所求概率为． （2）由题意可知，的取值为0，1，2，3， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 所以的数学期望． 16．（本题15分）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为2 【分析】（1）先求解每个坑要补种的概率，进而求每个坑不需要补种的概率即可； （2）由题意知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且，再利用二项分布的概率公式可求出各自对应的概率，从而可得分布列． 【详解】（1）由题意可知每个坑要补种的概率， 则每个坑不需要补种的概率为． （2）易知X的取值范围为{0，1，2，3，4}，且， 因此， ， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P . 17．（本题15分）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 【答案】(1)0.36 (2)0.28． 【分析】（1）根据全概率公式计算可直接求出结果； （2）由（1）中的结果，由条件概率乘法公式计算即可； 【详解】（1）由题意知不迟到就意味着不拥堵， 设事件表示到公司不迟到，则 ； （2）易知； 所以已知到达公司未迟到，选择道路的概率约为0.28． 18．（本题17分）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1) (2)人 【分析】（1）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可求出结果； （2）结合正态分布的对称性和特定区间概率即可得到答案. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量， 则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人． 19．（本题17分）为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 【答案】(1)分布列见解析， (2)10道 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并计算数学期望. （2）利用二项分布的知识列不等式，由此求得正确答案. 【详解】（1）X可能的取值为0，1，2，3. 有； ； ； . 可得X的分布列为： X 0 1 2 3 P . （2）设小王同学至少抢答n道题，这n道题中答对的题数为Y，有. 有，可得，故小王同学至少要抢答10道题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第六章 概率（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）袋中有大小相同质地均匀的5个黑球、3个白球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（    ） A．至少取到1个黑球 B．取到黑球的个数 C．至多取到1个黑球 D．取到的球的个数 3．（本题5分）若随机变量X的分布列为： 0 1 2 0.3 0.5 则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 4．（本题5分）口袋中有2个黑球，2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同.任取两球，用随机变量X表示取到的黑球数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）甲、乙两人进行象棋比赛时，每一局甲赢的概率是，且无平局，比赛采用5局3胜制，各局比赛的结果相互独立，则甲以“”获胜的概率是（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）一名职业篮球运动员在某场比赛中，三分球命中率分别为，，，，，，，，若这组数据的分位数为，且随机变量，则（    ） A．7.6 B．7.4 C．7.2 D．7 7．（本题5分）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（   ） A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75 8．（本题5分）如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．记格子从左到右的编号分别为，用表示小球最后落入格子的号码，若，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 9．（本题6分）设，为一次随机试验中的两个事件．若，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）设离散型随机变量X的分布列为： X 0 1 2 4 P a 0.3 0.2 0.2 若离散型随机变量满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（本题6分）统计学中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，简称为原则，某厂有一条零件加工的生产线，生产的零件长度服从正态分布（单位：毫米），则下列说法正确的是（    ）（参考数据：，） A． B．若，则 C． D．若抽检的10个样本中有1个样本的长度为45毫米，应对生产线进行检修 三、填空题 12．（本题5分）已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则_____． 13．（本题5分）设随机变量服从正态分布，若，且，则______． 14．（本题5分）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取球，若存在为整数，使得标有数字和的球均已被取出，则停止取球．记为取出的球的个数，则的数学期望______． 四、解答题 15．（本题13分）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，设正面向上的次数为． (1)写出该试验的样本空间，并求已知至少有一次正面向上的条件下，至少有一次反面向上的概率； (2)求的分布列与数学期望． 16．（本题15分）某种植户对一块地上的n（n∈N*）个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子是否发芽相互独立．如果每个坑内至少有两粒种子发芽，则不需要进行补种，否则需要补种． (1)求每个坑不需要补种的概率； (2)当n＝4时，用X表示要补种的坑的个数，求X的分布列和期望． 17．（本题15分）小张从家到公司上班总共有三条路可以走，如图，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于远近不同，选择每条路的概率分别为，，，每天上述三条路不拥堵的概率分别为，，． 假设遇到拥堵会迟到，那么： (1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？ (2)已知到达公司未迟到，选择道路的概率是多少？ 18．（本题17分）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 19．（本题17分）为全面提升青少年消防安全意识和自防自救能力，7月24日，某消防救援支队走进社区暑期爱心课堂，为孩子们带来了一堂生动有趣的“消防安全知识课”. (1)已知爱心课堂共有10名学生，其中有6名男生，4名女生，从这10名学生中任选3名学生，记这3名学生中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望； (2)课后设置消防安全有奖知识竞答，每道题答对的概率为0.4，为使答对题数的数学期望不小于，则小王同学至少要抢答多少道题？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $