第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·安徽六安·期末）随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 【答案】C 【解题思路】根据正态分布的对称性求解. 【解答过程】因为，， 所以， 所以， 故选：C. 2．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据二项分布概率公式计算求解. 【解答过程】∵随机变量X服从二项分布，∴， 故选：A． 3．（5分）（24-25高二下·广东清远·月考）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 【答案】A 【解题思路】根据条件概率公式求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 所以， 故选：A. 4．（5分）（24-25高二下·云南昆明·月考）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用超几何分布求出概率结合互斥事件和概率公式计算求解即可. 【解答过程】设抽取的2个产品中次品数为，则随机变量服从超几何分布，的可能取值有0，1，2， 则，，， ∴至少一件是次品， 故选:C． 5．（5分）（24-25高二下·广西玉林·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】由概率和为1即可求解. 【解答过程】由离散型随机变量的分布列知：，解得. 故选：A. 6．（5分）（24-25高二下·广东中山·月考）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 【答案】D 【解题思路】先求出，的值，再求出的值，最后根据方差的性质即可得答案. 【解答过程】由题意，解得， 所以． 所以． 故选：D. 7．（5分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式计算得解. 【解答过程】事件“选一人是男生”，“选一人发现近视”， 则，， 因此， 所以此人是男生的概率为. 故选：C. 8．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得到的可能取值，再利用分步乘法原理与古典概型的概率公式求得的分布列，从而求得. 【解答过程】依题意，的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为， 其中：三次抽取同一球，选择球的编号有4种方式，故， ：恰好两种不同球被取出（即一球出现两次，另一球出现一次）， 选取出现两次的球有4种方式，选取出现一次的球有3种方式， 其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件的可能情况有种， 故， ：三种不同球被取出，由排列数可知事件的可能情况有种， 故， 所以 . 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解. 【解答过程】根据题意，随机变量的分布列为， 则有，解得， 则， ． 故选：ABC. 10．（6分）（24-25高二下·四川绵阳·期末）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据正态曲线的特点判断AB，根据正态曲线的对称性判断CD. 【解答过程】由可知，故A正确； 因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 由可知，， 故C不正确， 由可知， 所以，故D正确． 故选：BC. 11．（6分）（24-25高二下·重庆·月考）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】根据古典概型的计算公式，结合条件概率的计算公式，全概率公式直接计算出结果逐一判断即可. 【解答过程】A选项，由条件概率知：，选项错误； B选项，由条件概率知：，B选项正确； C选项，，由全概率公式知：，C选项正确； D选项，由条件概率知：， 又，选项正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知随机变量，若，则___________． 【答案】 【解题思路】根据正态分布的性质，结合已知条件，求解即可. 【解答过程】． 所以 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二下·湖南永州·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则___________. 【答案】 【解题思路】应用条件概率公式及概率基本性质计算求解. 【解答过程】由，有， 又由， 可得. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则___________．    【答案】 【解题思路】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【解答过程】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【解题思路】（1）利用组合数及古典概型的概率计算公式即可求解； （2）根据已知条件，求出随机变量的可能取值，然后利用组合数及古典概型的概率计算公式求出不同取值的概率，进而得出分布列. 【解答过程】（1）记“取出的3个小球上的数字互不相同”为事件M， 所以. （2）由题意可知，X的可取值为1，2，3 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 16．（15分）（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【答案】(1) (2)2048 【解题思路】（1）由题意可知，进而根据参考数据求事件的概率； （2）根据正态分布性质求事件的概率，结合频数频率关系求结论. 【解答过程】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 17．（15分）（24-25高二下·天津南开·期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 【答案】(1)0.05 (2)0.36 【解题思路】（1）首先求得，，，，，，然后结合全概率公式即可求解. （2）由条件概率公式即可求解. 【解答过程】（1）记事件D：选取的这个人有“强基计划”报名资格，记事件E：此人来自A学校，记事件F：此人来自B学校，记事件G：此人来自C学校， 则，且E，F，G彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ． （2）由条件概率公式可得. 18．（17分）（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【解题思路】（1）利用二项分布的概率公式可求解； （2）由题意可得的取值依次为，，利用二项分布的概率公式可求分布列，进而可求数学期望； 【解答过程】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 19．（17分）（24-25高二下·广东中山·期中）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)不正确 (3)分布列见解析， 【解题思路】（1）设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试，结合独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）根据题意，分别求得三人都未进入面试和三人都进入了面试的概率，比较大小，即可求解； （3）根据题意，分别求得甲、乙、丙被录取的概率，得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：设事件表示甲通过笔试，事件表示乙通过笔试，事件表示丙通过笔试， 则， 则甲乙丙三人中恰有一人笔试合格的概率为. （2）解：若这三名同学获得180元的总奖金，则说明三人都未进入面试， 所以对应概率为， 若这三名同学获得总奖金为480元，则三人都进入了面试， 所以对应概率为， 因，所以丁同学的说法错误. （3）解：由题意得，甲被录取的概率为， 乙被录取的概率为， 丙被录取的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 则， , 故的分布列如下所示： 0 1 2 3 所以数学期望. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 随机变量及其分布全章综合测试卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·安徽六安·期末）随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.5 C．0.2 D．0.3 2．（5分）（24-25高二下·重庆渝中·月考）已知随机变量X服从二项分布，则（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·广东清远·月考）设集合，且，则（    ） A．1 B．0.7 C．0.5 D．0.2 4．（5分）（24-25高二下·云南昆明·月考）一批产品共有10个，其中有3个次品．随机抽取2件进行检测，则至少一件是次品的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（24-25高二下·广西玉林·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（   ） A． B． C．1 D． 6．（5分）（24-25高二下·广东中山·月考）已知随机变量X的分布列如下表：若，则（   ） X 0 1 2 P n m A． B．5 C．7 D．21 7．（5分）（24-25高二下·贵州黔西·期末）某班级学生男生占60%，女生占40%，男生近视率为30%，女生近视率为25%.随机选一人发现近视，则此人是男生的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·福建龙岩·期末）一个箱子里有4个球，分别标号为1，2，3，4，每次取一个球，若有放回的取三次，记至少取出一次的球的个数为，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·全国·课后作业）已知随机变量的分布列为，其中是常数，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（24-25高二下·四川绵阳·期末）体育锻炼对青少年具有促进生长发育、提升心肺功能、增强免疫力、改善心理状态等重要作用．立德中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，则下列选项不正确的是（   ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 11．（6分）（24-25高二下·重庆·月考）甲罐中有2个红球、2个黑球，乙罐中有3个红球、2个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出两球，记表示事件“甲罐取出的球是红球”，记表示事件“乙罐取出的球恰有一个红球”，则（   ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知随机变量，若，则___________． 13．（5分）（24-25高二下·湖南永州·期末）设A，B是一个随机试验中的两个事件，若，，，则___________. 14．（5分）（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则___________．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·黑龙江牡丹江·月考）盒中有标记数字1，2的小球各3个，标记数字3的小球2个，随机一次取出3个小球. (1)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)记取出的3个小球上的最大数字为X，求X的分布列. 16．（15分）（24-25高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 17．（15分）（24-25高二下·天津南开·期末）A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． (1)求这个人有“强基计划”报名资格的概率； (2)如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 18．（17分）（24-25高二下·云南楚雄·月考）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 19．（17分）（24-25高二下·广东中山·期中）某地2022年校园招聘活动有两环节进行，先笔试合格后才能参加面试，面试合格后便被该企业正式录取，每个环节相互独立.现M大学有甲、乙、丙三名毕业生报名招聘，进入笔试环节设置A、B两个科目，考生须两个科目均合格才算笔试合格，甲通过A、B科目的概率分别为、，乙通过A、B科目的概率分别为、，丙通过A、B科目测试的概率与乙相同.面试环节中各人通过面试的概率均为. (1)求甲、乙、丙三人中恰有一人通过笔试的概率； (2)该企业为参加招聘的同学提供了一种奖励方案：只参加了笔试的同学奖励60元.参加了面试的同学再奖励100元.丁同学说，奖金越高难度越大，故这三人获得总奖金为480元的概率肯定低于他们获得总奖金为180元的概率，试通过计算判断丁同学的说法是否正确； (3)记甲、乙、丙三人被该企业录取的人数为X，求X的分布列和数学期望. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $