高中数学单元测试——第五章计数原理（较难版01）

高中数学单元测试 —— 第五章 计数原理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 【答案】B 【分析】使用列举法表示即可. 【详解】由题可知：不同真分数有：，共10个. 故选：B 2．（本题5分）有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立， 故该装置所能发出的不同信号种数为种. 故选：C. 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】根据排列数公式计算可得. 【详解】. 故选：C 4．（本题5分）若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（   ） A．9个 B．10个 C．12个 D．15个 【答案】B 【分析】根据3的不同组成，分类讨论求解. 【详解】当这个四位数由3，0，0，0构成时，共有1种情况， 当这个四位数由2，1，0，0构成时，共有种情况， 当这个四位数由1，1，1，0构成时，共有种情况， 综上所述，共有1+6+3=10种情况 故选：B 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】C 【分析】计算出从七个点中任意选两个点的总条数，再减去四点共线重复的直线条数，可得结果. 【详解】根据题意从七个点中任意选两个点作直线共有种， 其中四点中任意选两点只能作一条直线，有种重复， 所以所得直线的条数为种. 故选：C 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，列式求出，再求出二项展开式的通项，进而求出幂指数为0的项即可. 【详解】依题意，，即，而n为正整数，解得， 则展开式的通项公式为， 由，解得， 所以该展开式中的常数项为. 故选：A. 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 【答案】C 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 【答案】AD 【分析】根据排列的定义，逐个选项判断即可. 【详解】选项A是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关； 选项B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关； 选项C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关； 选项D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列． 故选：AD 10．（本题6分）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 【答案】BC 【分析】利用计数原理，结合分组思想，排列组合思想即可逐项求解． 【详解】对于A：这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种，故A错误； 对于B：根据若每人安排一门学科，每门学科至少一人， 我们把这五人分成四组共有种方法，再将这四组人去负责四个学科相关工作共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故B正确； 对于C：若数学学科必须安排两人，则有种方法，其余学科各安排一人共有种， 根据分步计数乘法原理可知：有种不同的方案，故C正确； 对于D：“每人安排一门学科，每门学科至少一人”的总方案数为240（同选项B），需排除“A负责语文”或“B负责数学”的情况，用容斥原理计算： 情况1：A负责语文 固定在语文，分2种子情况： ①语文为“2人组”（人）：选1人加入语文（），剩余3人分配到其他3科（），方案数： ②语文为“1人组”（仅A）：先B、C、D、E分为三组（2，1，1），有种方法，再将三组分到数学、英语、物理，有种方法，故总的方法数为：； 情况1总方案数：． 情况2：B负责数学 与“情况1”对称，总方案数同样为60． 情况3：A负责语文且B负责数学（重复减去的部分） 负责语文且B负责数学，并保证英语、物理学科均有人负责.分情况讨论如下： ①语文或数学为“2人组”：剩余3人选2人分配到英语和物理有种方法，最后1人去语文或数学有种方法，方法数：； ②英语或物理为“2人组”：3人分成两组（2，1），有种分法，两组分配到英语和物理，有种分法，故方案数为； 故情况3总方案数：． 根据容斥原理，不符合条件的方案数为：， 因此，符合条件的方案数为：，故D错误. 故选：BC． 11．（本题6分）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断. 【详解】对于A，取，得，A错； 对于B,展开式中项的系数为，B对； 对于C，令， 可得二项式， 展开式中各项系数均为正， 即， 又 ，C错； 对于D，取，得， 取，得， 联立解得， 因此，D对. 故选：BD 三、填空题 12．（本题5分）________． 【答案】 【分析】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 【详解】因为． 故答案为： 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 【答案】108 【分析】由涂色问题进行分情况计算即可. 【详解】分类： 若小正方形1，9与5同色，则有种； 若小正方形1与5同色，9与5异色，则有种； 若小正方形9与5同色，1与5异色，则有种； 若小正方形1，9均与5异色或1与9同色，9与5异色，则有种. 可得，故符合条件的涂法共有108种. 故答案为：108. 14．（本题5分）的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 【答案】85 【分析】写出的二项展开式的通项公式，再由为整数，求出有理项的二项式系数即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为，. 所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项， 其对应的二项式系数分别为：，，， 故所有有理项的二项式系数和为. 故答案为：85. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数公式求解； （2）根据组合数公式求解. 【详解】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据二项式系数的性质即可判断最大项并求解； （2）设第项系数最大，则其系数大于或等于其前一项和后一项系数，列出不等式组求解即可得到答案. 【详解】（1）由题意，二项展开式共9项，故第5项二项式系数最大， 又展开式通项为， 所以 （2）设第项系数最大，则， 所以，解得， 故系数最大的项是第3项和第4项， . 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）根据二项式展开式的特征，提取公因数即可求证. 【详解】（1）, 易知除以外各项都能被7整除． 又显然能被7整除， 所以能被7整除． （2）是64的倍数， 故原式可被64整除． 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分个位是不是0讨论，结合古典概型概率计算公式求解. （2）先弄清能被9整除的数字组合，再求能被9整除的数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. （3）分情况讨论，先求比4510大的四位数的个数，结合古典概型概率计算公式求解. 【详解】（1）组成的所有四位数共有（个）． 当这个四位数是偶数时： ①若个位数字是0，则有（个）； ②若个位数字不是0，则有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数为偶数的概率为． （2）能被9整除的数，其各个数位上的数字之和能被9整除. 数字组合为：，，，， 此时共有这样的四位数（个）． 故能组成被9整除的四位数的概率为． （3）对比4510大的四位数进行分类： ①当千位是4，百位是5时，有（个）； ②当千位是4，百位是6时，有（个）； ③当千位大于4时，有（个）． 所以共有（个）． 故组成的四位数比4510大的概率为． 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 【答案】（1）13；（2）0；（3）． 【分析】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数，从而求得的值. （2）由知，，两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0，从而证得结果. （3）根据题意列出杨辉三角形类似的表，找出规律，则 ，从而将问题转化为三项式的系数和，令，即可求得结果. 【详解】（1）由题知，在三项式中，把看做整体，即可参照二项式求得三项式的展开式的各项系数， 从而，， 故. （2）由知，， 两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，对于，其展开式中不含，即系数为0，则右侧展开式该项的系数也应为0， 即. （3）列出杨辉三角形类似的表， ，，， 则当n≥2时， 即三项式的系数和，令， 则 当n=1时，，满足条件，结论成立. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 计数原理（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）用1，4，7，10中的任意一个数作分子，2，5，9，11中任意一个数作分母，可构成的不同真分数的个数为（   ） A．9 B．10 C．14 D．16 2．（本题5分）有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 3．（本题5分）计算（   ） A．1 B．3 C．6 D．9 4．（本题5分）若一个四位数的各位数字之和为3，则这样的四位数有（   ） A．9个 B．10个 C．12个 D．15个 5．（本题5分）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点表示某一时期的北斗七星．其中四点看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（    ） A．18 B．17 C．16 D．15 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（    ）种. A．216 B．360 C．432 D．672 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 二、多选题 9．（本题6分）（多选）已知下列问题，其中是排列问题的有（   ） A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组 B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动 C．从四个字母中取出个字母 D．从四个数字中取出个数字组成一个两位数 10．（本题6分）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E这五名同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ） A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有种 B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240种不同的方案 C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60种不同的方案 D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A不负责语文且B不负责数学工作，则有144种不同的方案． 11．（本题6分）若，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）________． 13．（本题5分）用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1，2，…，9的9个小正方形，如图所示，使得任意相邻（有公共边）的小正方形所涂的颜色都不相同，且“3，5，7”号小正方形涂相同的颜色，则符合要求的涂法共有______种． 14．（本题5分）的展开式中所有有理项的二项式系数和为______. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 16．（本题15分）在的展开式中. (1)求二项式系数最大的项； (2)求系数最大的项. 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 18．（本题17分）从分别写有0，1，2，3，4，5，6的7张卡片中，任取4张，组成没有重复数字的四位数，计算： (1)这个四位数是偶数的概率； (2)这个四位数能被9整除的概率； (3)这个四位数比4510大的概率． 19．（本题17分）在的展开式中，把，，，叫做三项式的次系数列． （1）求的值； （2）根据二项式定理，将等式的两边分别展开可得左右两边的系数对应相等，如，利用上述思想方法，请计算值； （3）我们都知道方程无实数解，对于正整数你能否计算：的值（上标，，为不超过的3的倍数，结果请用含有的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $