第五章 计数原理章末检测 -2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学计数原理单元复习检测，涵盖二项式定理、排列组合等核心知识，通过8道单选（40分）、3道多选（18分）、3道填空（15分）及5道解答题（77分），梯度设计合理，结合2023全国甲卷真题及抽奖、课代表选拔等生活情境，培养数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|二项式系数（第1题）、排列组合（第3题）、真题改编（第6题）|基础巩固，关联高考真题| |多项选择|3/18|球的放置（第9题）、组合应用（第10题）|辨析能力，考查分类分步计数| |填空题|3/15|二项式定理（第13题）、名次排列（第14题）|文化渗透（贾宪三角），逻辑推理| |解答题|5/77|二项式系数计算（第15题）、集合与排列（第16题）、条件开放题（第19题）|综合应用，探究性问题设计|

章末检测（四）　计数原理 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（x－y）n的二项展开式中，第m项的系数是（　　） A. B. C. D.（－1）m－1 2.若＝18，则m＝（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 3.已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同值的个数为（　　） A.2 B.4 C.8 D.15 4.要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　） A.1 440种 B.960种 C.720种 D.480种 5.在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（　　） A.10 B.11 C.12 D.15 6.（2023·全国甲卷9题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（　　） A.120种 B.60种 C.30种 D.20种 7.在（x2＋3x＋2）5的展开式中x的系数为（　　） A.140 B.240 C.360 D.800 8.如图所示，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（　　） A.1 240种 B.360种 C.1 920种 D.264种 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.带有编号1，2，3，4，5的五个球，则下列说法正确的是（　　） A.全部投入4个不同的盒子里，共有45种放法 B.放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有种放法 C.将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有·种放法 D.全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有·种不同的放法 10.某数学兴趣小组共20名学生，其中品学兼优学生5人.现从中随机抽取10人，则下列说法正确的是（　　） A.抽出10人中恰好有3名品学兼优学生的抽法有 B.抽出10人中恰好有3名品学兼优学生的抽法有＋ C.抽出10人中至少有4名品学兼优学生的抽法有 D.抽出10人中至少有4名品学兼优学生的抽法有＋ 11.二项式的展开式中x2的系数是－7，则下列选项正确的是（　　） A.a＝ B.展开式中含x6项的系数是－4 C.展开式中含x－1项 D.展开式中常数项为40 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若＝（n∈N＋），则n＝　　　　. 13.早在11世纪中叶，我国宋代数学家贾宪在其著作《释锁算数》中就给出了二、三、四、五、六次幂的二项式系数表.已知（ax－1）6的展开式中x3的系数为－160，则实数a＝　　　，展开式中各项系数之和为　　　（用数字作答）. 14.甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有　　　　种. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）设（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值： （1）a0＋a1＋a2＋…＋a10； （2）a6. 16.（本小题满分15分）已知集合A＝{x｜1＜log2x＜3，x∈N＋}，B＝{4，5，6，7，8}. （1）从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？ （2）从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？ 17.（本小题满分15分）小蔡参加高二1班“美淘街”举办的幸运抽奖活动，活动规则如下：盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，小蔡需从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序分别作为一个三位数的百位、十位与个位. （1）一共能组成多少个不同的三位数？ （2）若组成的三位数是大于500的偶数，则可以获奖，求小蔡获奖的概率. 18.（本小题满分17分）有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科（包含语文、数学）的课代表，分别求符合下列条件的选法种数： （1）有女生担任课代表但人数必须少于男生； （2）某女生一定要担任语文课代表； （3）某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表； （4）某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表. 19.（本小题满分17分）在二项式的展开式中，　　　　.给出下列条件： ①展开式前三项的二项式系数的和等于46； ②所有奇数项的二项式系数的和为256； ③展开式中第7项为常数项. 试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题： （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式的常数项. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 章末检测（四）　计数原理 1.D　（x－y）n的二项展开式中第m项为Tm＝·（－y）m－1xn－m＋1，所以系数为（－1）m－1. 2.D　由＝m（m－1）（m－2）（m－3）＝18·，得m－3＝3，m＝6. 3.D　x的取值共有4个，y的取值也有4个，则xy共有4×4＝16个积，但是由于3×8＝4×6，所以xy共有16－1＝15（个）不同值，故选D. 4.B　从5名志愿者中选2人排在两端有种排法，2位老人的排法有种，其余3人和老人排有种排法，共有＝960种不同的排法. 5.B　分类讨论：有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同，可得N＝＋＋1＝11. 6.B　先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有种安排方式.所以不同的安排方式共有·＝60（种）.故选B. 7.B　由（x2＋3x＋2）5＝（x＋1）5（x＋2）5，知（x＋1）5的展开式中x的系数为，常数项为1，（x＋2）5的展开式中x的系数为·24，常数项为25.因此原式中x的系数为·25＋·24＝240. 8.C　由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，涂法有种；当五种颜色选择四种时，涂法有×3×种；当五种颜色选择三种时，涂法有×2×种，所以不同的涂色方法共有＋×3×＋×2×＝1 920种.故选C. 9.ACD　五个球投入四个不同的盒子里共有45种放法，A选项对，若要放进不同的4个盒子里，每盒至少一个，共有·种放法，B选项错，D选项对，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有·种放法，C选项对，故选A、C、D. 10.AD　抽出10人中恰好有3名品学兼优学生分两步，第一步从5名品学兼优学生中抽取3人，有种；第二步从其余15人中抽取7人，有种，依据分步乘法计数原理，有种，A正确，B错误；抽出10人中至少有4名品学兼优学生包含恰好有4名品学兼优的学生和恰好有5名品学兼优学生两种情况，依分类加法计数原理，抽出10人中至少有4名品学兼优学生的抽法有＋，D正确，C错误. 11.AB　二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－r·＝（－a）rx8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所以展开式中x2的系数（－a）3＝－7，解得a＝，故A正确；二项式即为，展开式的通项公式为Tr＋1＝x8－2r.令8－2r＝6，解得r＝1，所以展开式中含x6项的系数是－＝－4，故B正确；令8－2r＝－1，解得r＝，不为整数，故展开式中不含x－1项，故C错误；令8－2r＝0，解得r＝4，所以展开式中常数项为＝，故D错误.故选A、B. 12.4　解析：由题意可知2n＋6＝n＋2或2n＋6＝20－（n＋2），解得n＝4. 13.2　1　解析：由于（ax－1）6展开式的通项公式为Tk＋1＝·a6－k·x6－k·（－1）k，令6－k＝3，解得k＝3，故（ax－1）6展开式中x3的系数为·a3（－1）3＝－160，解得a＝2，故（ax－1）6＝（2x－1）6展开式中各项系数和为（2－1）6＝1. 14.54　解析：根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有＝6（种）名次排列情况，此时有3×6＝18（种）名次排列情况；②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有＝6（种）名次排列情况，剩下的三人有＝6（种）名次排列情况，此时有6×6＝36（种）名次排列情况.综上可知，一共有36＋18＝54（种）不同的名次排列情况. 15.解：（1）令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝（2－1）10＝1. （2）a6即为含x6项的系数，Tr＋1＝（2x）10－r·（－1）r＝（－1）r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝·（－1）426x6＝13 440x6，即a6＝13 440. 16.解：由1＜log2x＜3，得2＜x＜8，又x∈N＋，所以x的取值为3，4，5，6，7，即A＝{3，4，5，6，7}. （1）易得A∪B＝{3，4，5，6，7，8}，从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成的三位数有＝120（个）. （2）若从集合A中取出的元素是3，则3不能是千位上的数字，满足题意的自然数有＝180（个）； 若从集合A中取出的元素不是3，则满足题意的自然数有＝384（个）. 所以满足题意的自然数共有180＋384＝564（个）. 17.解：（1）因为抽取的三位数各不同，因而组成三位数的总数为＝6×5×4＝120. （2）若百位为5，则个位可以为2、4、6中一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有×＝12个； 若百位为6，则个位可以为2、4中的一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有×＝8个， 所以大于500的偶数的概率为P＝＝. 18.解：（1）（先选后排）符合条件的课代表人员的选法有（＋）种，排列方法有种，所以满足题意的选法有（＋）·＝5 400（种）. （2）除去该女生后，相当于从剩余的7名学生中挑选4名担任除语文外其余四科的课代表，不同的选法种数为＝840. （3）（先选后排）从剩余的7名学生中选出4名有种选法；该男生的安排方法有种，其余4人全排列，有种，所以选法共有＝3 360（种）. （4）先从除去该男生和该女生的6人中选出3人，有种选法；该男生的安排方法有种，其余3人全排列，有种，因此满足题意的选法共有＝360（种）. 19.解：选择①：＋＋＝46，即＋n＋1＝46， 即n2＋n－90＝0，即（n＋10）（n－9）＝0， 解得n＝9或n＝－10（舍去）. 选择②：＋＋＋…＝256，即2n－1＝256，解得n＝9. 选择③：Tr＋1＝x－（n－r）＝2r－n， 则有＝0，所以n＝r. 因为展开式中第7项为常数项，即r＝6， 所以n＝9. （1）展开式中二项式系数最大的项为第5和第6项， T5＝x－5x2＝x－3， T6＝x－4＝. （2）展开式通项为：Tr＋1＝x－（9－r）＝·2r－9，令＝0，得r＝6，所以展开式中常数项为第7项，常数项为T7＝×2－3＝. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $