高中数学单元测试——第五章计数原理（较易版02）

**基本信息** 高中数学第五章计数原理单元复习卷（较易版），覆盖排列组合、二项式定理等核心知识，通过基础辨析、文化情境与实际应用题，适配单元巩固检测，发展数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|分类加法（1）、分步乘法（2）、排列组合应用（4）|基础概念梯度设计，强化数学思维| |多选题|3/18|排列与组合区别（9）、二项式系数性质（11）|多角度辨析，培养批判性思维| |填空题|3/15|组合应用（12）、赵爽弦图涂色（13）|融入文化传承，体现数学眼光| |解答题|5/67|二项式定理（16）、实际问题（18：报名/排列/节目安排）、三项式系数探究（19）|分层设计，从运算到创新，发展模型意识|

高中数学单元测试 —— 第五章 计数原理（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 【答案】D 【分析】利用分类加法计数原理可求. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：D． 2．（本题5分）有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 【答案】C 【分析】由分步乘法计数原理计算可得. 【详解】由题意可得每个信号灯有三种情况，各自独立， 故该装置所能发出的不同信号种数为种. 故选：C. 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算即可求解. 【详解】. 故选：B 4．（本题5分）用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】B 【分析】先求出从数字1~5中取出3个数字的种数，然后求满足要求的种数，最后根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】从数字1~5中取出3个数字，有种取法； 将取出的3个数字中最大的一个作十位上的数字，另外2个数字分别作百位和个位上的数字，有种方法. 由分步乘法计数原理，得符合题意的三位数有个. 故选：B. 5．（本题5分）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出选出的三个点能构成三角形的选法种数，并求出等边三角形的个数，结合间接法可得结果. 【详解】在正六边形中，为其中心，如下图所示： 从这七个点中任选三个点，共有种，其中三点共线的情形有种， 所以，能构成的三角形的个数为个， 其中，构成的等边三角形分别为、、、、、 、、，共个， 所以，构成的三角形不是等边三角形的个数是个. 故选：A. 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 【答案】A 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可得，求解即可. 【详解】由，可得展开式的通项公式为， 因为的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，所以， 解得，所以. 故选：A. 7．（本题5分）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 【答案】C 【分析】本题相邻用捆绑法，不相邻用插空法，然后减去御在第一节的情况. 【详解】情况一：不选“御”，则课程为{礼, 乐, 数, 射, 书}，将(礼,乐)捆绑， 先排“射”､“书”有种，再将(礼,乐)和“数”插入3个空中，有种，(礼,乐)内部有种，共种； 情况二：选择“御”，则另一门从“射”､“书”中选，有种， 以选{礼, 乐, 数, 御, 射}为例，先不考虑“御”的限制，排法同情况一，有24种， 再减去“御”在第一节的情况：固定“御”在第一位，(礼,乐)只能在(2,3)或(4,5)位， 对应“数”和“射”的位置唯一确定，故有种，因此该课程组合有种排法. 综上所述，总共有种； 汇总两种情况，总排课方案为种. 故选：C 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 【答案】BCD 【分析】根据排列的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，组成的三位数与数字的排列顺序有关，所以A是排列问题； 对于B，C，D中，只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，所以不是排列问题. 故选：BCD. 10．（本题6分）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 【答案】ABD 【分析】应用组合数运算计算判断A，B，分类计算判定C，不平均分组分类结合排列和组合数计算判断D. 【详解】某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)， 对于A：若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有种选派方法，A选项正确； 对于B：若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有种选派方法，B选项正确； 对于C：从7名队员中任选4名，总方法数为种，不满足‘既要有队长，又要有女队员’的情况分为两类： ①没有队长：从5名非队长队员中选4人，有种方法； ②没有女队员：从4名男队员中选4人，有种方法，这两类情况没有交集，因此满足条件的方法数为种，C选项错误； 对于D：若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有种选派方法，D选项正确； 故选：ABD. 11．（本题6分）已知 则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的通项公式求，判断A的真假；利用赋值法，令可判断B的真假；利用赋值法，分别令和，求出和可判断C的真假；设，求导，再令可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：令，得，故 B正确； 对C：令得①， 令得②. ①    ②得：；①②得. 所以，故C正确； 对D：设， 则. 再令得，故D错误. 故选：BC 三、填空题 12．（本题5分）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 【答案】52 【分析】用总的选法种数减去1位女生都不入选的选法种数，即可得至少1位女生入选的选法种数. 【详解】从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，总的选法种数为种， 1位女生都不入选，即4位男生中3位男生入选的选法种数为种， 因此至少1位女生入选的选法种数为种. 故答案为：52. 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 【答案】4410 【分析】根据分步乘法原理及分类加法原理计算求解. 【详解】分4步进行分析： ①对于区域，有7种颜色可选； ②对于区域，与区域相邻，有6种颜色可选； ③对于区域，与、区域相邻，有5种颜色可选； ④对于区域、， 若与颜色相同，区域有5种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有4种颜色可选，区域有4种颜色可选， 则区域、有种选择.综上所述， 不同的涂色方案有种. 故答案为：. 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 【答案】 【分析】各项的二项式系数之和为64，可得，得到，再利用通项公式即可求常数项. 【详解】因为各项的二项式系数和为64，所以 ，所以, 所以的， 令，解得，代入通项得常数项. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数公式求解； （2）根据组合数公式求解. 【详解】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据展开式的通项公式，令的次数为0，即可解得常数项. （2）根据通项公式，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数最大项. 【详解】（1）展开式的通项公式为， 令，解得，则展开式的常数项为. （2）设第项的系数最大，则， 解得， 由于为整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为． 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（2）根据二项式展开式的特征，提取公因数即可求证. 【详解】（1）, 易知除以外各项都能被7整除． 又显然能被7整除， 所以能被7整除． （2）是64的倍数， 故原式可被64整除． 18．（本题17分）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 【答案】(1)81 (2)294 (3)90 【分析】（1）根据分步乘法计数原理判断； （2）分选中甲与不选中甲两类求解判断； （3）根据定序消去法判断. 【详解】（1）根据分步乘法计数原理，有种； （2）①选的3人中无甲：种； ②选的3人中有甲：种， 总计种； （3）由定序问题消序法得共有种. 19．（本题17分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 【答案】(1)，，，， (2) (3) 【分析】（1）写出展开式，即可得到相应的系数； （2）写出（，）的展开式，即可得解； （3）由表示出系数，再由，计算出系数，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以，，，，； （2）因为， ， ， ， ， 所以三项式的（，）次系数的数阵表如下： （3） ， 其中系数为， 又 而二项式的通项（且）， 由，解得， 所以系数为， 由代数式恒成立， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 计数原理（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种 2．（本题5分）有一个信号装置，从左到右依次有4个信号显示窗，每个显示窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则该装置所能发出的不同信号种数为（   ） A．12 B．64 C．81 D．256 3．（本题5分）（    ） A． B．3 C． D． 4．（本题5分）用数字1~5组成没有重复数字的三位数，其中满足，且的三位数的个数是（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 5．（本题5分）从正六边形的个顶点及其中心共七个点中任意选取三个点，如果选出的三个点能构成三角形，则构成的三角形不是等边三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则这两项的二项式系数是（    ） A．21 B．42 C．84 D．168 7．（本题5分）六艺，是我国周朝教育体系中的六种技能，即：礼､乐､射､御､书､数.在周朝官学中开设这六门课程，从这六门课中选5门，连排5节课，每门排一节，要求每天必须学“礼､乐､数”，并要求“礼”与“乐”相邻排课，但均不与“数”相邻排课，且“御”不能排在第一节，则不同的排课方案种数为（    ） A．24 B．48 C．64 D．128 8．（本题5分）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 二、多选题 9．（本题6分）下面问题中，不是排列问题的是（    ） A．由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数 B．从40人中选5人组成篮球队 C．从100人中选2人抽样调查 D．从1,2,3,4,5中选2个数组成集合 10．（本题6分）已知某乒乓球队有4名男队员（包含1名男队长），3名女队员（包含1名女队长)，则下列说法正确的是（    ） A．若从该乒乓球队中选派2名男队员，2名女队员外出比赛，则共有18种选派方法 B．若从该乒乓球队中选派3名队员外出比赛，且至少有1名女队员，则共有31种选派方法 C．若从该乒乓球队中选派4名队员外出比赛，且既要有队长，又要有女队员，则共有30种选派方法 D．若该乒乓球队中的7名队员去三个不同的城市参加比赛，且每个城市至少2人，则共有630种选派方法 11．（本题6分）已知 则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（本题5分）某班计划从4位男生和4位女生中选出3人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为________. 13．（本题5分）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域（A，B，C，D，E）涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有_____种. 14．（本题5分）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为______ 四、解答题 15．（本题13分）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 16．（本题15分）用二项式定理展开， (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． 17．（本题15分）求证： (1)能被7整除； (2)能被64整除． 18．（本题17分）请列出式子并计算出答案 (1)4名同学报名3个运动项目，每名同学限报1个项目，每个项目不限人数，则不同的报名方法共有多少种 (2)现有包含甲在内的8名学生，从中选3人排成一排参加文艺汇演，若甲不站第一个位置，则不同的排法共有多少种 (3)某班级举行元旦晚会，已知现有8个节目已定稿，临时邀请了班级的科任老师来表演2个节目，将这2个节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式有多少种 19．（本题17分）在中，把，，…，称为三项式系数. (1)当时，写出三项式系数，，，，的值； (2)的展开式中，系数可用杨辉三角形数阵表示，如图，当，时，类似杨辉三角形数阵表，请列出三项式的次系数的数阵表； (3)求的值（用组合数作答）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $