高中数学单元测试——第三章空间向量与立体几何（较易版01）

**基本信息** 高中数学空间向量与立体几何单元复习卷（较易版），覆盖空间向量运算、线面关系等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，适配单元复习巩固，培养空间观念与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|点面对称、基底判定、方向向量|基础概念直接考查，如第3题空间向量基底判断| |多选题|3题18分|向量命题真假、法向量应用|结合正方体情境，如第11题动态点线面关系分析| |填空题|3题15分|向量模、夹角、异面直线成角|融入几何图形，如第14题二面角背景下异面直线成角计算| |解答题|5题77分|斜三棱柱向量表示、直三棱柱线面角、折叠问题二面角|综合考查空间推理与模型应用，如第18题折叠问题中二面角存在性探究|

高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间中点的对称性，分析即可得答案. 【详解】点关于平面对称的点是. 故选：A 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加减法的法则即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．（本题5分）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 5．（本题5分）已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果. 【详解】由已知可得, ， 则， 故选：A 6．（本题5分）已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据，，共面，可得存在唯一实数对，使得，结合向量的坐标运算，即可求得答案. 【详解】因为，，共面，又向量不共线， 即存在唯一实数对，使得， 所以， 所以，解得, 故选：C 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出，根据得到方程组，求出答案. 【详解】由四边形是平行四边形知， 设，则，又， 所以，解得，即D点坐标为. 故选：C 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据平面外一点到平面的距离公式代入计算解方程即可得结果. 【详解】设点的坐标为， 由题意可知，即， 解得或； 所以点的坐标为或. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 10．（本题6分）已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】对于A，由已知可得，从而得，即可判断；对于B，由已知可得，即可判断；对于C，由已知可得或，即可判断；对于D，由已知可得或，即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以， 又因为，所以或，故C错误； 对于D，，所以，又因为， 所以或，故D错误. 故选：AB. 11．（本题6分）如图，已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面平行 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】建系并标点，利用空间向量求异面直线夹角，即可判断A；根据向量的坐标运算可得，进而求模长及其最小值，即可判断B；分析可知共面，即可证明线面平行，即可判断C；利用向量的坐标运算判断线线垂直，即可判断D. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴， 建立直角坐标系， 则. 对于选项A：因为， 设异面直线AC与所成的角为， 则， 所以异面直线AC与所成的角为，故A正确； 对于选项B：因为，即 又因为，则，即， 可得， 则，， 当时，取最小值，故B正确； 对于选项C：因为， 则，可知共面， 且平面，所以平面，故C正确； 对于选项D：若， 则，解得， 故不存在，使得，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______. 【答案】 【分析】由空间向量模长公式计算可得. 【详解】由空间向量模长计算公式得：. 故答案为： 13．（本题5分）已知点，，，则向量与的夹角为_____． 【答案】 【分析】先求向量的坐标，再利用向量的数量积坐标运算求夹角. 【详解】由，，， 则， 则， 所以向量与的夹角为. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解． 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为． 因为，，，， 所以， 所以，即． 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，    则有，，，，由此可得，， 设异面直线与所成的角为，则． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）根据三棱柱的性质得到，再由向量加法的三角形法则即可求解； （2）利用（1）中结果，结合向量数量积的定义即可求解. 【详解】（1）在三棱柱中,四边形为平行四边形， 所以 因为为的中点,为上靠近点的三等分点， 所以，， 所以； （2）因为,故， 又， 所以. 16．（本题15分）在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明：由题意得，以为坐标原点，以所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， ， 由， 所以； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积等于零来证明即可； （2）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）由题得， 设平面的一个法向量为， 则，即，取， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在直角三角形中利用三角形的面积求解； （2）利用空间向量法求解. 【详解】（1）为正方体，平面， 平面，， 正方体的棱长为1，，，， 设点到直线的距离为，则， ，，，，， 点到直线的距离为； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 正方体的棱长为1， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； ，， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为.    18．（本题17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【分析】（1）应用面面垂直的性质定理得出线面垂直进而得出线线垂直； （2）应用空间向量法求点到平面距离； （3）设，再应用空间向量法计算二面角余弦值求参. 【详解】（1）证明：在中，因为， 所以， 所以，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）由（1）可得，又，所以两两垂直， 以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量，因为， 所以即 令，则，所以， 所以点到平面的距离. （3）假设存在，设，则， 所以， 设平面的一个法向量因为， 所以即， 令，则， 所以， 设平面与平面的夹角为， 则 解得或（舍）， 所以存在点，使得满足要求，此时，即 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）点关于平面对称的点是（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）在空间四边形中，（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 6．（本题5分）已知，，，若，，共面，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 7．（本题5分）若四边形为平行四边形，且，，，则顶点D的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．（本题5分）空间直角坐标系中，定义经过点且法向量为的平面方程为，平面外的一点到平面的距离．阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，在轴上求一点使它到平面的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 10．（本题6分）已知平面与平面的法向量分别是，直线的方向向量为，则下列命题正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（本题6分）如图，已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面平行 D．存在，使得 三、填空题 12．（本题5分）已知，则______. 13．（本题5分）已知点，，，则向量与的夹角为_____． 14．（本题5分）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．    四、解答题 15．（本题13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点.设，，，，. (1)用，，表示向量； (2)若，，求. 16．（本题15分）在直三棱柱中，△为等腰直角三角形，，点在侧棱上，且满足． (1)求证：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值． 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点. (1)求证：； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $