第一章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·拔尖卷）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元拔尖卷，精选各地期末/阶段检测题，覆盖向量运算、空间位置关系、角与距离等核心知识，通过基础巩固、能力提升到创新应用的梯度设计，适配单元复习，可有效检测学生空间观念、推理能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量垂直、夹角、基底判断|结合菱形折叠等动态问题，考查空间想象| |多选|3/18|共线共面判定、投影向量|设置多选项辨析，强化逻辑推理| |填空|3/15|钝角向量、四点共面、线面角|融入参数范围问题，提升运算准确性| |解答|5/77|空间向量表示、距离、二面角|以《九章算术》鳖臑、刍蒉为情境，设计探究性问题，体现文化传承与创新应用|

第一章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·拔尖卷） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东济南·期末）已知向量，若，则（   ） A．-10 B．-4 C．4 D．10 2．（5分）（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知都是正数，向量，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（5分）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·湖南娄底·期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 8．（5分）（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 10．（6分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 11．（6分）（25-26高二上·江苏·期末）（多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（   ） A．直线MN与所成角的大小为 B． C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为___________. 13．（5分）（25-26高二上·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则___________. 14．（5分）（25-26高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 16．（15分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 17．（15分）（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 18．（17分）（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：底面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 19．（17分）（25-26高二上·山东枣庄·期中）某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．    (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·拔尖卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东济南·期末）已知向量，若，则（   ） A．-10 B．-4 C．4 D．10 【答案】B 【解题思路】利用空间向量平行的坐标运算求解即可. 【解答过程】因为向量，， 则，解得：. 故选：B. 2．（5分）（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【解答过程】因为 ； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 故选：B. 3．（5分）（25-26高二上·贵州六盘水·期末）已知都是正数，向量，若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可得，利用1的代换可求的最小值. 【解答过程】因为且，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值是. 故选：B. 4．（5分）（25-26高二下·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【解答过程】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 5．（5分）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 6．（5分）（25-26高二上·安徽六安·期末）我国古代数学名著《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标，利用异面直线夹角的向量求法结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【解答过程】如图，作，以为原点，建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， 因为，分别为，的中点，所以由中点坐标公式得，， 则，，设异面直线与所成角为， 可得，而，则， 由同角三角函数的基本关系得，解得（负根舍去）， 则异面直线与所成角的正弦值为，故C正确. 故选：C. 7．（5分）（25-26高二上·湖南娄底·期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面EFC的一个法向量为，设，得，根据平面EFC，即可求解. 【解答过程】 如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得 ,， 则, 所以， 设平面EFC的法向量为， 则，解得， 令，则， 所以平面EFC的一个法向量为. 因为平面EFC，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故选：C. 8．（5分）（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，连接，且，平面与平面的交线为，则下列结论中错误的是（    ） A．平面平面 B． C．与平面所成角的余弦值为 D．二面角的余弦值为 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用线面垂直判定性质、面面垂直的判断推理判断A；利用线面平行判断性质推理判断B；建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角、面面角判断CD. 【解答过程】对于A，在菱形中，，，则是正三角形， 由为边的中点，得，又，则， 而，平面，则平面， 又，于是平面，而平面，因此平面平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，则平面， 又平面与平面的交线为，平面，因此，B正确； 对于C，由A知，，折起后仍有，，又平面， 则，以为原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由平面，得是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则， 因此，C错误； 对于D，由选项C知平面，则为平面的一个法向量， 又，设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则，由图形知二面角为锐角，其余弦值为，D正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【解题思路】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【解答过程】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 故选：ABC. 10．（6分）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解题思路】根据向量的加法法则，计算即可判断A的正误；根据两向量平行的坐标关系，可判断B的正误；根据投影向量的求法，代数计算，即可判断C的正误；根据夹角为锐角，可得，且与不共线，根据数量积公式，分析计算，可判断D的正误. 【解答过程】选项A：由题意，解得，故A正确； 选项B：若，则，解得，故B正确； 选项C：在上的投影向量为， 所以，即， 判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线， 所以，解得，由与不共线，得 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．（6分）（25-26高二上·江苏·期末）（多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（   ） A．直线MN与所成角的大小为 B． C．若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D．点到平面距离的最大值为 【答案】BCD 【解题思路】建立空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角、判断位置关系、求平面与平面所成角的余弦值、结合参数范围求点到平面距离的最值. 【解答过程】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误； 又，故，B选项正确； 由，，若为平面AMP的一个法向量， 则，令，则， 由平面的一个法向量为，，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， C选项正确； 易知，则点到平面的距离为， 又，上式分子分母同时除以，可得， 令，则， 易知当时，，D选项正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·四川成都·期中）若向量，夹角为钝角，则m的取值范围为___________. 【答案】 【解题思路】由夹角为钝角可得与不共线，且，利用空间向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】因为与夹角为钝角，所以与不共线，且， 若与共线，则，解得，故， 由可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则___________. 【答案】 【解题思路】由空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·四川内江·期末）如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为___________. 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，得到点坐标即向量坐标，设，求得点坐标，从而得到坐标.由空间向量求得平面的一个法向量，由空间向量的夹角求得直线MN与平面所成角的正弦值的表达式，再由函数的性质求得最大值. 【解答过程】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先把表示出来，然后由点E为的中点得，化简即得结果； （2）把、用表示，然后利用数量积的运算律结合已知条件即可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以， 因为点E为的中点，所以， . （2）已知，， 因为，， 所以 =. 16．（15分）（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【解题思路】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 17．（15分）（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【解答过程】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 18．（17分）（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）如图，三棱柱中，，，为的中点. (1)证明：底面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【解题思路】（1）先证明，，根据条件利用勾股定理证明，根据线面垂直判定定理证明结论， （2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用点到平面的距离公式计算， （3）求平面的法向量，再利用公式计算法向量夹角的余弦值，由此可得结论. 【解答过程】（1）在三棱柱中，，， 所以，又为的中点， 所以，， 因为，，为的中点， 所以，， 因为，，， 所以，所以， 因为，，平面，， 所以底面； （2）由（1），、、两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为， 所以， 则、、， 设平面的法向量为， 则有，取，可得，， 则为平面的一个法向量， 所以点到平面的距离； 点到平面的距离为； （3）由（2）得，， 设平面的一个法向量，则， 故，令，解得， 所以为平面的一个法向量， 由（2）知为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 19．（17分）（25-26高二上·山东枣庄·期中）某数学兴趣小组根据《九章算术》中“刍蒉（méng）”这个五面体，设计了一道数学探究题：如图1，，，分别是边长为4的正方形三边，，的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接，，就得到了一个“刍蒉”（如图2）．    (1)若是四边形对角线的交点，求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值； (3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 存在，当与点重合时 【解题思路】（1）取中点，连接，由题意可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判断定理即可得证； （2）以为坐标原点，分别为轴，轴正向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）假设存在满足条件的点，设，利用空间向量求出的值即可. 【解答过程】（1）取中点，连接，    由题意可知且， 又因为是矩形对角线的交点， 所以且， 所以且， 则四边形为平行四边形， 所以且， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）因为在图1中，且， 在图2中上述关系依然成立， 所以即为二面角的平面角，则， 以为坐标原点，分别为轴，轴正向，垂直平面向上方向为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：    则， ， 所以， 又因为，平面，所以， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，则有， 取， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （3）假设存在满足条件的点， 设，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则， 所以，取， 由（2）知平面的一个法向量， 则， 要使平面与平面所成的二面角的余弦值为， 则只需，即， 整理得，解得或（舍去）， 所以当与点重合时，平面与平面所成的二面角的余弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $