第三章 空间向量与立体几何章末检测- 2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何单元卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖向量运算、线面关系、距离角度计算等核心知识，适配单元复习，强化数学思维与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|向量概念（第1题）、线性运算（第2题）|基础辨析，突出概念准确性| |多项选择|3/18|法向量应用（第9题）、共面向量（第10题）|多维度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|空间距离（第12题）、异面直线角（第13题）|情境简洁，聚焦计算能力| |解答题|5/77|面面距离（第15题）、二面角（第16题）|综合应用向量工具，体现数学建模与推理，契合核心素养|

章末检测（三）　空间向量与立体几何 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.以下说法中，正确的个数为（　　） ①“｜a｜－｜b｜＝｜a＋b｜”是“a，b共线”的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb；③若a·b＝0，b·c＝0，则a＝c；④若{a，b，c}为空间的一组基，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基；⑤｜（a·b）·c｜＝｜a｜·｜b｜·｜c｜. A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋（＋）＝（　　） A. B. C. D. 3.已知A（－1，1，2），B（1，0，－1），点D在直线AB上，且＝2.设C（λ，＋λ，1＋λ），若CD⊥AB，则λ的值为（　　） A. B.－ C. D. 4.已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为直线l的一个方向向量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（　　） A. B. C. D. 5.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点.设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则（　　） A.＝a＋b＋c B.＝a＋b＋c C.＝a＋b＋c D.＝a＋b＋c 6.如图所示，在空间直角坐标系中，BC＝4，原点O是BC的中点，点A，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长为（　　） A. B. C. D. 7.已知O为坐标原点，＝（1，2，3），＝（2，1，2），＝（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为（　　） A. B. C. D. 8.如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，则直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离分别为（　　） A.，1 B.， C.， D.， 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.在空间直角坐标系O-xyz中，平面α的法向量n＝（2，2，1），直线l的方向向量为m，则下列说法正确的是（　　） A.x轴一定与平面α相交 B.平面α一定经过点O C.若m＝（ －1，－1，－），则l⊥α D.若m＝（－1，0，2），则l∥α 10.有下列四个命题，其中不正确的命题有（　　） A.已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0 B.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥ C.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D.对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z（x，y，z∈R），则P，A，B，C四点共面 11.菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E为AB的中点（如图①），将△ADE沿直线DE翻折至△A'DE处（如图②），连接A'B，A'C，下列说法中正确的有（　　） A.在翻折的过程中（不包括初始位置），平面A'EB与平面A'DE所成角逐渐减小 B.若F为A'D的中点，在翻折的过程中（不包括初始位置），点F到平面A'EB的距离恒为 C.若A'E⊥BC，则三棱锥A'-EBD的外接球半径为 D.若A'E⊥BC，点F为A'D的中点，则F到直线BC的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知空间中两点A（－3，－1，1），B（－2，2，3），在z轴上有一点C，它到A，B两点的距离相等，则点C的坐标为　　　　. 13.在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，如图所示，若CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为　　　　. 14.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点，P，Q是正方体表面上相异两点，满足BP⊥A1E，BQ⊥A1E. （1）若P，Q均在平面A1B1C1D1内，则PQ与BD的位置关系是　　　　； （2）｜｜的最小值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，求平面AB1O1与平面BC1O间的距离. 16.（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，已知A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝2，A1C1＝1，N为线段AB的中点，M为线段BC的中点. （1）求证：A1N∥平面C1MA； （2）求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值； （3）求点C到平面C1MA的距离. 17.（本小题满分15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点. （1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值； （2）若F是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值. 18.（本小题满分17分）如图所示， 已知几何体EFG-ABCD，其中四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上. （1）求证：BM⊥EF； （2）是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由. 19.（本小题满分17分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC. （1）求证：平面ABE⊥平面BEF； （2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈［，］，求a的取值范围. 章末检测（三）　空间向量与立体几何 1.A　①中为充分不必要条件；②中b≠0；③显然不成立；④中a，b，c不共面，则a＋b，b＋c，c＋a也不共面，故④正确；⑤中｜（a·b）·c｜＝｜a｜·｜b｜·｜c｜·｜cos＜a，b＞｜. 2.A　在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝（＋），从而＋（＋）＝＋＝. 3.B　设D（x，y，z），则＝（x＋1，y－1，z－2），＝（2，－1，－3），＝（1－x，－y，－1－z）.∵＝2，∴∴即D（，，0），∴＝（－λ，－λ，－1－λ）.∵⊥，∴·＝2（－λ）＋λ－3（－1－λ）＝0，∴λ＝－. 4.A　＝（－2，0，－1），｜｜＝，·＝－，则点P到直线l的距离为 ＝＝. 5.D　＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋［＋（＋）］＝＋＋＝＋（＋）＋（＋）＝＋＋＝a＋b＋c，故选D. 6.D　因为点D在平面yOz内，所以点D的横坐标为0，又BC＝4，原点O是BC的中点，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，所以点D的竖坐标z＝4·sin 30°·sin 60°＝，纵坐标y＝－（2－4·sin 30°·cos 60°）＝－1，所以D（0，－1，）.所以AD＝＝.故选D. 7.C　设点Q（x，y，z）.因为点Q在直线OP上，所以∥，可设＝λ（λ∈R），得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q（λ，λ，2λ），＝（1－λ，2－λ，3－2λ），＝（2－λ，1－λ，2－2λ），所以·＝6λ2－16λ＋10＝6－.故当λ＝时，·取得最小值，此时点Q（ ，，）.故选C. 8.D　因为M，R分别为OA，AD的中点，所以MR∥OD.在正方形ABCD中，N，R分别为BC，AD的中点，所以NR∥CD.又MR∩NR＝R，OD∩CD＝D，所以平面MNR∥平面OCD.又MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD，所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于点N到平面OCD的距离.以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0），N（2，1，0），所以＝（0，1，0），＝（0，2，－2），＝（－2，0，0），设平面OCD的法向量为n＝（x，y，z），则令z＝1，得n＝（0，1，1）为平面OCD的一个法向量，所以点N到平面OCD的距离d＝＝，所以直线MN与平面OCD的距离、平面MNR与平面OCD的距离都等于. 9.AC　不妨设x轴的方向向量为a＝（1，0，0），则a·n＝（1，0，0）·（2，2，1）＝2≠0，故x轴一定与平面α相交，A正确；平面α不一定经过点O，B错误；因为（2，2，1）＝－2，即n＝－2m，故l⊥α，C正确；因为m·n＝（－1，0，2）·（2，2，1）＝－2＋2＝0，所以m⊥n，所以l∥α或l在平面α内，故D错误.故选A、C. 10.ACD　对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0，错误；对于B，若两个非零向量与满足＋＝0，则∥，正确；对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是共面向量，不正确；对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z（x，y，z∈R），当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故错误. 11.BCD　因为DE⊥A'E，DE⊥BE，且A'E∩BE＝E，所以DE⊥平面A'BE，又DE⊂平面A'DE，则平面A'EB⊥平面A'DE，则所成角始终为90°，故A错误；因为DE⊥平面A'EB，则点D到平面A'EB的距离为DE＝＝2，则点F到平面A'EB的距离恒为，故B正确；因为A'E⊥BC，DE⊥A'E且BC与DE相交，所以A'E⊥平面DEBC，又DE⊥平面A'BE，则以E为原点，以DE，EB，EA'分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略）.设球心坐标为（x，y，z），E（0，0，0），B（0，2，0），A'（0，0，2），D（－2，0，0），所以所以r＝＝，故C正确；因为B（0，2，0），C（－2，4，0），F（－，0，1），所以＝（－2，2，0），令c＝＝（－，，0），a＝＝（，2，－1），则｜a｜＝＝2，a·c＝－＋1＝－，所以点F到直线BC的距离d＝＝＝，故D正确.故选B、C、D. 12.　解析：设点C的坐标为（0，0，z），则＝，即10＋（z－1）2＝8＋（z－3）2，解得z＝，所以点C的坐标为. 13.　解析：不妨设CB＝1，则B（0，0，1），A（2，0，0），C1（0，2，0），B1（0，2，1）.∴＝（0，2，－1），＝（－2，2，1）.cos＜，＞＝＝＝. 14.（1）平行　（2）　解析：（1）以D为原点，以DA，DC，DD1 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，A1（1，0，1），E，B（1，1，0），因为P，Q均在平面A1B1C1D1内，所以设P（a，b，1），Q（m，n，1），＝，＝（a－1，b－1，1），＝（m－1，n－1，1），因为BP⊥A1E， BQ⊥A1E，所以 解得＝（n－b，n－b，0），＝（－1，－1，0），所以PQ与BD的位置关系是平行. （2）由（1）可知：b－a＝，｜｜＝＝＝＝，当a＝时，｜｜有最小值，最小值为. 15.解：如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC，则以O为原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. ∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O， ∴平面AB1O1∥平面BC1O. ∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离即为点O1到平面BC1O的距离. ∵O（0，0，0），B（，0，0），C1（0，1，2），O1（0，0，2）， ∴＝（，0，0），＝（0，1，2），＝（0，0，2）， 设n＝（x，y，z）为平面BC1O的法向量，则 即∴可取n＝（0，2，－1）. 点O1到平面BC1O的距离记为d，则d＝＝＝.∴平面AB1O1与平面BC1O间的距离为. 16.解：（1）证明：连接MN，如图①. ∵M，N分别为线段BC，AB的中点， ∴MN∥AC，且MN＝AC＝1. ∵几何体ABC-A1B1C1为三棱台， ∴AC∥A1C1，∴MN∥A1C1. ∵AC＝2，A1C1＝1，∴MN＝A1C1. ∴四边形A1NMC1是平行四边形，∴A1N∥C1M. ∵A1N⊄平面C1MA，C1M⊂平面C1MA， ∴A1N∥平面C1MA. （2）∵A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，∴分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图②， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），C1（0，1，2），M（1，1，0）， ∴＝（0，1，2），＝（1，1，0），＝（0，0，2）. 设平面C1MA的法向量为n1＝（x1，y1，z1）， 则即 取y1＝2，则x1＝－2，z1＝－1. ∴平面C1MA的一个法向量为n1＝（－2，2，－1）. 易得平面ACC1A1的一个法向量为n2＝（1，0，0）. 设平面C1MA与平面ACC1A1所成的角为θ， 则cos θ＝｜cos＜n1，n2＞｜＝＝＝. 故平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值为. （3）由（2）知＝（0，2，0）. 又平面C1MA的一个法向量为n1＝（－2，2，－1）， 故点C到平面C1MA的距离d＝＝＝. 17.解：（1）以G点为原点，GB，GC，GP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），故E（1，1，0），＝（1，1，0），＝（0，2，－4）. ∴cos＜，＞＝＝＝， ∴GE与PC所成角的余弦值为. （2）∵＝＝， ∴D.设F（0，y，z）， 则＝（0，y，z）－＝. ∵DF⊥GC，∴⊥，∴·＝0， 即·（0，2，0）＝2y－3＝0，∴y＝. 又点F在PC上，∴＝λ， 即＝λ（0，2，－4），∴z＝1，故F， ∴＝，＝，∴＝＝3. 18.解：（1）证明：因为四边形ABCD，CDGF，ADGE均为正方形， 所以GD⊥DA，GD⊥DC，AD⊥CD， 又DA∩DC＝D，所以GD⊥平面ABCD. 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则B（1，1，0），E（1，0，1），F（0，1，1）. 因为点M在棱DG上，故可设M（0，0，t）（0≤t≤1）. 可得＝（1，1，－t），＝（－1，1，0）， 所以·＝1×（－1）＋1×1＋（－t）×0＝0，所以BM⊥EF. （2）假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°. 设平面BEF的法向量为n＝（x，y，z）， 因为＝（0，－1，1），＝（－1，0，1）， 所以所以 令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝（1，1，1）为平面BEF的一个法向量， 所以cos＜n，＞＝＝. 因为直线MB与平面BEF所成的角为45°， 所以sin 45°＝｜cos＜n，＞｜， 所以＝，解得t＝－4±3. 又0≤t≤1，所以t＝3－4. 所以存在点M（0，0，3－4）. 当点M位于DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°. 19.解：（1）证明：因为AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F为CD的中点，所以四边形ABFD为矩形，AB⊥BF. 又DE＝EC，F是CD的中点，所以CD⊥EF. 因为AB∥CD，所以AB⊥EF. 又因为BF∩EF＝F，所以AB⊥平面BEF. 又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面BEF. （2）由（1）得DC⊥EF. 又PD∥EF，AB∥CD，所以AB⊥PD. 又AB⊥AD，AD∩PD＝D，所以AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA. 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，），所以＝（－1，2，0），＝（0，1，），且平面ABCD的法向量n1＝（0，0，1）. 设平面EBD的一个法向量为n2＝（x，y，z）， 则即 令y＝1，得x＝2，z＝－， 则n2＝（2，1，－）， 所以cos θ＝＝＝. 因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈［，］， 所以cos θ∈［，］，即∈［，］. 由≥，得－≤a≤；由≤，得a≤－或a≥. 因为a＞0，所以a的取值范围是［，］. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $