高中数学单元测试——第三章空间向量与立体几何（较易版02）

**基本信息** 本卷为高中数学空间向量与立体几何单元复习较易版测试，覆盖空间向量运算、立体几何证明与计算，梯度设计适配基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|空间直角坐标系对称、向量基底、方向向量|基础概念辨析，如点关于坐标轴对称判断| |多选题|3/18|空间向量命题真假、方向向量与法向量应用|结合正方体情境考查线面关系，如异面直线成角| |填空题|3/15|向量模、夹角、二面角与异面直线成角|折叠问题中异面直线成角计算，体现空间观念| |解答题|5/77|直三棱柱向量表示、面面垂直证明、线面角、存在性探究|综合应用空间向量解决距离与二面角，如四棱锥中点到平面距离及存在性问题，培养推理能力与模型观念|

高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 2．（本题5分）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 6．（本题5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 10．（本题6分）下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C．两条不重合直线的方向向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 11．（本题6分）如图，已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面平行 D．存在，使得 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，则______________. 13．（本题5分）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 14．（本题5分）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．    四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 16．（本题15分）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本题17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 空间向量与立体几何（较易版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）在空间直角坐标系中，点与点关于（    ） A．轴对称 B．轴对称 C．平面对称 D．平面对称 【答案】D 【分析】根据空间两点关于坐标平面对称的特点，若两点关于平面对称，则它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数。观察已知两点坐标可得，它们的坐标和坐标相同，坐标互为相反数，故两点关于平面对称。 【详解】点与点关于平面对称， 故选：D． 2．（本题5分）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 3．（本题5分）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 4．（本题5分）若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案． 【详解】因为A，B在直线l上，所以， 与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线. 故选：B 5．（本题5分）已知，则（    ） A．-1 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】由向量的加法，乘法的坐标运算得出结果. 【详解】由已知可得, ， 则， 故选：A 6．（本题5分）已知，，，若，，三个向量共面，则实数的值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】应用向量共面的充要条件存在满足，列式计算求解. 【详解】由题意得，，， 若，，三个向量共面，则存在满足， 则，所以， 故选：B. 7．（本题5分）已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向量在基底下的坐标为，然后分别以和为基底表示出向量，根据空间向量相等的条件建立方程组，解之可得答案. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 整理得：， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：B 8．（本题5分）如图，这个立体图形是由正四棱锥和正方体组成的，其中，则点到平面的距离为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意可以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出到平面的距离. 【详解】根据题意可知，以点为坐标原点，分别以向量的正方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：      设相交于点，连接， 易知在正四棱锥中平面，又平面，所以； 又可知，，所以； 所以可得，则， 设平面的一个法向量为， 所以，解得，令，可得，即； 易知， 设到平面的距离为，则可知. 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 10．（本题6分）下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是（    ） A．若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行 B．若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行 C．两条不重合直线的方向向量分别是，则 D．直线的方向向量，平面的法向量是，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由题意可得一平面的法向量垂直于两个不同平面，从而可得两个平面平行，即可判断；对于B，由两直线的方向向量不平行，可得这两直线不平行，即可判断；对于C，由题意可得，从而得，即可判断；对于D，由题意可得以，从而得或，即可判断. 【详解】解：对于A，因为两个不重合的平面法向量平行， 则其中一个平面的法向量也垂直于另一个平面， 即可得一平面的法向量垂直于两个不同平面， 所以这两个平面平行，故正确； 对于B，因为两直线的方向向量不平行，所以这两直线不平行，故正确； 对于C，因为， 所以，所以，故正确； 对于D，因为，， 所以， 所以， 所以或，故错误. 故选：ABC. 11．（本题6分）如图，已知正方体的棱长为1，动点M，N在对角线AC，上移动，且，，，则下列结论中正确的是（    ）    A．异面直线AC与所成的角为60° B．线段MN的最小值为 C．MN与平面平行 D．存在，使得 【答案】ABC 【分析】建系并标点，利用空间向量求异面直线夹角，即可判断A；根据向量的坐标运算可得，进而求模长及其最小值，即可判断B；分析可知共面，即可证明线面平行，即可判断C；利用向量的坐标运算判断线线垂直，即可判断D. 【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴， 建立直角坐标系， 则. 对于选项A：因为， 设异面直线AC与所成的角为， 则， 所以异面直线AC与所成的角为，故A正确； 对于选项B：因为，即 又因为，则，即， 可得， 则，， 当时，取最小值，故B正确； 对于选项C：因为， 则，可知共面， 且平面，所以平面，故C正确； 对于选项D：若， 则，解得， 故不存在，使得，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 12．（本题5分）已知向量，则______________. 【答案】或 【分析】先求出，再求出，然后求出即可. 【详解】， 所以，解得或者， 故答案为：或 13．（本题5分）已知向量，，，若向量与所成角为锐角，则实数的范围是____________. 【答案】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，再由向量与所成角为锐角，得到，求得，当向量与共线时，求得，即可得到实数的范围. 【详解】由向量，，可得， 因为，可得，解得， 所以，所以与， 又因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 所以实数的范围是. 故答案为：. 14．（本题5分）如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为__________．    【答案】/ 【分析】解法一：根据题目条件可知，即为二面角的平面角，将异面直线与所成角的余弦值转化成直线方向向量夹角余弦值的绝对值，结合空间向量线性运算及数量积运算即可求解．解法二：通过补形建立空间直角坐标系，用坐标运算求解． 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为． 因为，，，， 所以， 所以，即． 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系，    则有，，，，由此可得，， 设异面直线与所成的角为，则． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）如图所示，已知直三棱柱中，D为的中点，，    (1)用表示； (2)求． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，结合空间向量基本定理求解即可； （2）根据数量积的定义和数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）， . （2）由题意可知，，， ， 所以． 所以 =. 16．（本题15分）如图1，正方体的棱长为2，点为棱的中点. (1)求证：平面平面； (2)如图2，连，，.求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量垂直证明， （2）求解法向量和方向向量，即可利用向量的夹角求解. 【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 则, 设平面的法向量为，则 取， 设平面的法向量为 取，则， 由于，故， 所以平面平面； （2）, 设平面的法向量为， 则取，则， 设直线与平面所成角为, 则 17．（本题15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段AB的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在直角三角形中利用三角形的面积求解； （2）利用空间向量法求解. 【详解】（1）为正方体，平面， 平面，， 正方体的棱长为1，，，， 设点到直线的距离为，则， ，，，，， 点到直线的距离为； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系. 正方体的棱长为1， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； ，， 设平面的法向量为 则，即，取，解得，， 则，； 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为.    18．（本题17分）图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． (1)求异面直线与所成角； (2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【详解】（1）如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. （2）如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 19．（本题17分）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角（即两个平面相交时所成的锐二面角）的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明：由平面平面，则， 又，由，且平面， 所以面， 又面，所以平面平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）由线面垂直得到，进而得到线面垂直，最后得到平面平面.（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量，结合点面距离公式计算即可； （3）结合（2），设，得到平面的一个法向量，结合题意，构造方程计算即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）易知，又，过作于， 由面面，面面面， 所以面， 过作，易知， 故可构建如图示空间直角坐标系. 又， 则， 所以， 若是面的一个法向量， 则解得， 所以点到平面的距离. （3）同（2）构建空间直角坐标系，易知平面的法向量 设， 于是 ， ， 设是平面的一个法向量， 则，令， 因为平面与平面所成角的余弦值为， 所以， 整理得，即或（舍） 故，所以 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $