第3章 空间向量与立体几何 章末综合检测(三)-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

章末综合检测(三)

(时间：120分钟，满分：150分)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．在空间直角坐标系中，点A(2，1，－4)关于原点对称的点A′的坐标为(　　)

A．(2，－1，－4)    B．(－2，1，－4)

C．(－2，－1，4)    D．(－2，1，4)

解析：选C．由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数，所以A′(－2，－1，4).故选C．

2．已知点A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(2，1，3)，则平面ABC的方程为(　　)

A．x－y－z＋2＝0    B．x－y＋z＝0

C．x＋y＋z＋2＝0    D．x－y－z＝0

解析：选A．设平面ABC的方程为ax＋by＋cz＋d＝0，a，b，c不同时为0，代入A，B，C三点的坐标，得解得

所以平面ABC的方程为x－y－z＋2＝0.故选A．

3.如图，三棱锥P－ABC中，M为AC的中点，点O满足＝3，记＝a，＝b，＝c，则(　　)

A．＝a＋b＋c

B．＝a＋b＋c

C．＝a＋b＋c

D．＝a＋b＋c

解析：选D．＝＋＝b＋＝b＋(－)＝b＋[－(－)]＝b＋＝b＋[(a－c)－(b－c)]＝a＋b＋c.故选D．

4．已知{a，b，c}为空间向量的一组基，则下列向量也能作为空间向量的一组基的是(　　)

A．a＋b，b＋c，a－c    B．a＋2b，b，a－c

C．2a＋b，b＋2c，a＋b＋c    D．a＋c，b＋2a，b－2c

解析：选B．对于A，由a－c＝(a＋b)－(b＋c)，所以a＋b，b＋c，a－c不能作为空间向量的一组基；对于B，假设a＋2b，b，a－c共面，则存在λ，μ，使得a＋2b＝λb＋μ(a－c)，即a＋2b＝μa＋λb－μc，可得此时方程组无解，所以a＋2b，b，a－c不共面，所以向量a＋2b，b，a－c可以作为空间向量的一组基；对于C，由a＋b＋c＝(2a＋b)＋(b＋2c)，所以2a＋b，b＋2c，a＋b＋c不能作为空间向量的一组基；对于D，由a＋c＝(b＋2a)－(b－2c)，所以a＋c，b＋2a，b－2c不能作为空间向量的一组基．故选B．

5．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，则异面直线AB与CD的夹角的余弦值为(　　)

A．    B．  

C．－    D．－

解析：选A．取BD中点为O，连接AO，CO，所以AO⊥BD，CO⊥BD，

又平面ABD⊥平面CBD且交线为BD，AO⊂平面ABD，所以AO⊥平面CBD，OC⊂平面CBD，则AO⊥CO.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(－1，0，0)，所以＝(1，0，－1)，＝(－1，－1，0)，则cos 〈，〉＝＝＝－.因为异面直线的夹角的取值范围为(0，]，所以异面直线AB与CD的夹角的余弦值为.故选A．

6.如图，已知PA为圆柱的母线，BC为圆柱的下底面直径，AB＝1，PA＝3，AC＝2，F为线段AC的中点，则点C到平面PBF的距离为(　　)

A．    B．

C．    D．

解析：选D．因为BC为圆柱的下底面直径，所以BA⊥AC，以A为原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，