高中数学单元测试——第一章直线与圆（适中版01）

**基本信息** 高中数学直线与圆单元复习卷（适中版），覆盖直线方程、圆的方程、位置关系等核心知识，结合“将军饮马”文化情境与台风实际应用问题，适配单元复习巩固，培养数学眼光、思维与语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|倾斜角、圆心位置、平行直线、距离公式|基础巩固，聚焦概念理解| |多选题|3/18|直线性质、直线与圆位置关系|综合判断，考查逻辑推理| |填空题|3/15|距离公式、切线方程、文化情境应用|融入文化传承，体现数学眼光| |解答题|5/77|交点问题、圆的方程、圆与圆位置关系、实际应用（台风）、轨迹问题|分层设计，结合实际情境，培养数学思维与语言表达|

高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系即可求得结果. 【详解】因为，且，所以的倾斜角 故选：B 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 【答案】A 【分析】求得圆心坐标后判断即可求解. 【详解】圆的圆心为，在x轴上. 故选：A 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4．（本题5分）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 5．（本题5分）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把直线方程化简为，根据直线经过的定点的坐标满足，解出定点坐标即可. 【详解】由，化简得， 所以直线经过的定点的坐标满足，联立方程组解得， 即直线的定点为. 故答案为：B 6．（本题5分）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】先由点斜式求出直线的方程，再利用圆的弦长公式求解即得. 【详解】过原点且倾斜角为的直线方程为， 即， 圆：，圆心，半径， 圆心到的距离， 故直线被圆所截得的弦长为. 故选：D 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出交点坐标，再利用点与圆的位置关系求的范围即可. 【详解】联立与得，， 则两直线交点坐标为， 因两直线的交点在圆的内部，则，得， 故实数的取值范围是. 故选：B 8．（本题5分）已知动点到的距离为，在直线上，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】先求出动点的轨迹方程为圆，又在直线上，则的最小值转化为圆心到直线距离减去半径即可. 【详解】由动点到的距离为， 则，即， 所以动点的运动轨迹是圆心为，半径为的圆， 又在直线上， 由表示圆上的点到直线上点的距离， 则的最小值就为圆心到直线的距离减去圆的半径， 由圆心到直线的距离为， 则的最小值为， 故选：A. 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 【答案】BC 【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以直线的斜率，截距. 故点在第二象限，所以A中说法错误. 由整理得. 所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确. 由点斜式方程可知， 过点且斜率为的直线的方程为. 所以C中说法正确. 由斜截式方程可知， 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为. 所以D中说法错误. 故选：BC 10．（本题6分）已知直线l：（），圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．时，圆C关于直线l对称 B．时，直线l与圆C有两个交点 C．存在，使得直线l与圆C没有交点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则 【答案】AD 【分析】利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，逐一根据选项内容计算即可判断. 【详解】对于A，当时，直线为， 而圆的方程，可知圆心为， 此时点在直线上，所以圆C关于直线l对称，故A正确； 对于B，当时，直线为，此时圆心到直线的距离为， 由于圆C的半径为，所以直线l与圆C相切，只有一个公共点，故B错误； 对于C，要使得直线l与圆C没有交点，则圆心到直线的距离为， 此时不等式无解，所以不存在，使得直线l与圆C没有交点，故C错误； 对于D，由直线l被圆C截得的弦长为，圆心到直线的距离为， 所以，化简得：， 解得，故D正确. 故选：AD 11．（本题6分）已知，，动点P满足．设点P的轨迹为曲线C，直线l：与曲线C交于D，E两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．的取值范围为 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程判断A；再利用曲线C的性质计算判断B，C，D作答. 【详解】设点，则，由得： ，整理得：，即， 所以曲线C的方程为，A正确； 显然曲线C是以点为圆心，4为半径的圆，，点A在圆C外， ，所以的取值范围为，B正确； 直线l：恒过定点，显然点在圆C内，线段是经过点的圆的弦， 直线的斜率，由圆的性质知，当最小时，，则有，解得，C错误； 当最大时，线段是经过点的圆的直径，则，解得，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 【答案】或 【分析】根据平行线间距离公式可得方程，解方程即可. 【详解】直线与直线之间的距离， 解得或， 故答案为：或. 13．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 【答案】 【分析】解：先判断出点在圆上，利用斜率公式求出圆心和连线的斜率，利用两条直线垂直得到过圆上点的切线的斜率，利用点斜式求出切线方程. 【详解】解：将点代入中，成立， 即点在圆上，圆心和连线的斜率为， 故过圆上点的切线的斜率为， 则切线方程为，即， 故答案为：. 14．（本题5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【分析】作出图示，先求得点关于直线的对称点为的坐标，在直线上取点，由对称性可得，则，根据两点间距离公式，即可得答案. 【详解】如图，设点关于直线的对称点为，与直线的交点为， 所以直线的斜率，则直线的方程为， 联立，解得，即， 所以点的坐标为， 在直线上取点，由对称性可得， 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线经过直线的交点． (1)若直线经过点，求直线的方程; (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程. （2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果. 【详解】（1）由得， 即直线和的交点为． 直线还经过点， 的方程为，即． （2）由直线与直线垂直， 可设它的方程为． 再把点的坐标代入，可得，解得， 故直线的方程为. 16．（本题15分）（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设圆的方程，代入三个点坐标，解得圆方程. （2）由圆的性质求出圆心坐标，从而得出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】（1）设圆的一般方程为， 由题将三点代入得： 解得， 所以所求圆的一般方程为； （2）由题，设圆心为， ， ， 即， ， ∴圆的标准方程为 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两圆公切线条数判定两圆相交，根据相交的充要条件列出不等式求解. （2）将两圆方程相减得相交弦的方程，再由圆的弦长公式求公共弦长，最后根据面积公式求值即可. 【详解】（1）因为圆与圆恰有条公切线， 所以圆与圆相交， 又圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径 所以， 故，所以， 解得； （2）当时，圆的方程可化成， 所以， 所以， 因为圆与圆相交于两点， 所以所在的直线方程为， 化简得：， 所以到直线的距离为， 所以， 又， 所以四边形的面积为 18．（本题17分）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 【答案】(1)； (2)小时. 【分析】（1）由题设知，骑行路线正好与圆相切时此人不被台风影响，此时角最大，结合已知求最大的正切值即可. （2）写出此人骑行方向为北偏东所在直线的方程，再利用弦心距、圆的半径与弦长的几何关系求该直线被圆所截弦长，即可求此人被台风影响持续时间. 【详解】（1）由题意，如图，圆是以坐标原点为圆心，为半径的圆， 要使此人不被台风影响，骑行路线正好与圆相切时，角最大， 由，，则，知，则最大. （2）由题意，骑行路线所在直线方程为，圆心到直线的距离为， 该直线与圆相交的弦长为， 即此人被台风影响持续时间为.    19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）设，再利用两点间距离公式计算即可得； （2）①设出直线方程，借助韦达定理与向量数量积计算即可得；②借助韦达定理、点到直线距离公式与弦长公式计算即可得. 【详解】（1）设，则由可得， 化简得，即动点轨迹的方程为； （2）①若直线斜率不存在，则、分别为、， 此时，不符； 则直线斜率存在，设，、， 联立，消去得， 则，即， 有、， ， 即，则， 故直线的方程为或； ②若直线斜率不存在，此时不存在，不符，故直线斜率存在， ， 点到直线的距离， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故面积的最大值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第一章 直线与圆（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知点和点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）圆的圆心在（    ） A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第二象限 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题5分）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 5．（本题5分）直线经过定点（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）过原点且倾斜角为的直线被圆：所截得的弦长为（   ） A． B．2 C． D．4 7．（本题5分）若两直线与的交点在圆的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知动点到的距离为，在直线上，则的最小值（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 二、多选题 9．（本题6分）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 10．（本题6分）已知直线l：（），圆C：，则下列说法正确的有（   ） A．时，圆C关于直线l对称 B．时，直线l与圆C有两个交点 C．存在，使得直线l与圆C没有交点 D．若直线l被圆C截得的弦长为，则 11．（本题6分）已知，，动点P满足．设点P的轨迹为曲线C，直线l：与曲线C交于D，E两点，则下列结论正确的是（    ） A．曲线C的方程为 B．的取值范围为 C．当最小时， D．当最大时， 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线间的距离为，则_____ 13．（本题5分）过点作圆的切线，则切线方程为________________. 14．（本题5分）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知直线经过直线的交点． (1)若直线经过点，求直线的方程; (2)若直线与直线垂直，求直线的方程． 16．（本题15分）（1）求过三点的圆的一般方程； （2）求过两点和，且圆心在x轴上的圆的标准方程． 17．（本题15分）已知圆，圆． (1)若圆与圆恰有条公切线，求实数的取值范围； (2)当时，圆与圆相交于两点，求四边形的面积． 18．（本题17分）某台风中心位于某地A处，距离台风中心A正西方向150km的B处有一人，正以北偏东角（为锐角）方向骑摩托车行进，速度为50km/h，已知距离台风中心km以内会受其影响. (1)若此人刚好不被台风影响，求的最大值； (2)若此人骑行方向为北偏东45°，（速度保持不变）求此人受台风影响持续多少时间？ 19．（本题17分）已知点，，动点满足，其轨迹为. (1)求动点轨迹的方程； (2)过点的直线交轨迹于，两点， ①若，求直线的方程； ②求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $