第一章 直线与圆 章末检测 -2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦“直线与圆”知识，通过单选、多选、填空、解答题（8/40、3/18、3/15、5/77）全面覆盖直线方程、圆的方程及位置关系，注重逻辑推理与数学建模，适配高中数学单元复习，助力基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|直线斜率（题1）、圆的弦长（题4）|基础概念辨析，强调运算能力| |多项选择|3/18|两圆相交性质（题11）、直线与圆位置关系（题10）|多维度考查，培养批判性思维| |填空题|3/15|直线方程（题12）、轨迹方程（题13）|情境变式，提升抽象能力| |解答题|5/77|切线方程（题16）、观景点优化（题17）|综合应用，渗透数学建模与逻辑推理|

章末检测（一）　直线与圆 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为－，则｜MN｜＝（　　） A.10 B.180 C.6 D.6 2.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＋c＝0通过（　　） A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限 3.过点（3，－6）且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（　　） A.2x＋y＝0 B.x＋y＋3＝0 C.x－y＋3＝0 D.x＋y＋3＝0或2x＋y＝0 4.直线x＋y－1＝0被圆（x＋1）2＋y2＝3截得的弦长为（　　） A. B.2 C.2 D.4 5.已知直线x－2y＋m＝0（m＞0）与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝（　　） A.0 B.1 C.－1 D.2 6.若点P（1，1）为圆x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为（　　） A.2x＋y－3＝0 B.x－2y＋1＝0 C.x＋2y－3＝0 D.2x－y－1＝0 7.若动点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则线段AB的中点M到原点的距离的最小值为（　　） A.2 B.3 C.3 D.4 8.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，M，N分别为圆C1和圆C2上的动点，P为直线l：y＝x＋2上的动点，则｜MP｜＋｜NP｜的最小值为（　　） A.2－3 B.2＋3 C.－3 D.＋3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是（　　） A.直线l的倾斜角是 B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m C.点（，0）到直线l的距离是2 D.过点（2，2）与直线l平行的直线方程是 x－y－4＝0 10.已知曲线C的方程为ax2＋ay2－2x－2y＝0（a∈R），则（　　） A.曲线C可能是直线 B.当a＝1时，直线3x＋y＝0与曲线C相切 C.曲线C经过定点 D.当a＝1时，直线x＋2y＝0与曲线C相交 11.已知圆C1：x2＋y2＝r2与圆C2：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），下列结论正确的有（　　） A.a（x1－x2）＋b（y1－y2）＝0 B.2ax1＋2by1＝a2＋b2 C.x1＋x2＝a D.y1＋y2＝2b 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为　　 　　　　. 13.已知☉O的方程是x2＋y2－2＝0，☉O'的方程是x2＋y2－8x＋10＝0，动点P到☉O和☉O'所引的切线长相等，则动点P的轨迹方程是　　　　. 14.设点A（－2，3），B（0，a），若直线AB关于y＝a对称的直线与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，则a的取值范围是　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知直线l经过点P（－2，1），且与直线x＋y＝0垂直. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与直线l平行且点P到直线m的距离为，求直线m的方程. 16.（本小题满分15分）已知从圆外一点P（4，6）作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B. （1）求以OP为直径的圆的方程； （2）求直线AB的方程. 17.（本小题满分15分）某公园有A，B两个景点，位于一条小路（直道）的同侧，分别距小路 km和2 km，且A，B景点间相距2 km.今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？ 18.（本小题满分17分）已知曲线C的方程为ax2＋ay2－2a2x－4y＝0，其中a≠0，且a为常数. （1）判断曲线C的形状，并说明理由； （2）设直线l：y＝－2x＋4与曲线C交于不同的两点M，N，且｜OM｜＝｜ON｜（O为坐标原点），求曲线C的方程. 19.（本小题满分17分）在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1），当m变化时，解答下列问题： （1）能否出现AC⊥BC的情况？说明理由； （2）证明：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 章末检测（一）　直线与圆 1.D　由kMN＝＝－，解得a＝10，即M（－2，10），N（10，4），所以｜MN｜＝＝6，故选D. 2.A　直线ax＋by＋c＝0⇒y＝－x－，因为ab＜0，bc＜0，所以－＞0，－＞0，所以直线过第一、二、三象限.故选A. 3.D　显然，所求直线的斜率存在.当两截距均为0时，设直线方程为y＝kx，将点（3，－6）代入得k＝－2，此时直线方程为2x＋y＝0；当两截距均不为0时，设直线方程为＋＝1（a≠0），将点（3，－6）代入得a＝－3，此时直线方程为x＋y＋3＝0.综上可知选D. 4.B　由题意，得圆心为（－1，0），半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，故选B. 5.A　由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8（舍去），∴m＋n＝0. 6.D　由题意，知圆的标准方程为（x－3）2＋y2＝9，圆心为A（3，0）.因为点P（1，1）为弦MN的中点，所以AP⊥MN.又AP的斜率k＝＝－，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0. 7.C　由题意知，M点的轨迹为平行于直线l1，l2且到l1，l2距离相等的直线l，故其方程为x＋y－6＝0，∴M到原点的距离的最小值为d＝＝3. 8.A　根据题意，圆C1：x2＋y2＋2x＋4y＋4＝0，即（x＋1）2＋（y＋2）2＝1，其圆心C1（－1，－2），半径R＝1.圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0，即（x－2）2＋（y＋1）2＝4，其圆心C2（2，－1），半径r＝2.设圆C1关于直线l：y＝x＋2对称的圆为圆C'1，其圆心C'1（－4，1），半径R'＝1，则其方程为（x＋4）2＋（y－1）2＝1.设圆C'1上的点M'与圆C1上的点M关于直线l对称，则有｜MP｜＝｜M'P｜.原问题可以转化为动点P到圆C'1和圆C2上动点的距离之和的最小值问题.连接C2C'1，与直线l交于点P'，P'即为满足｜NP｜＋｜M'P｜最小的点，此时｜NP｜＋｜M'P｜＝｜C2C'1｜－R'－r＝2－3，即｜MP｜＋｜NP｜的最小值为2－3.故选A. 9.CD　对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k'＝，kk'＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点（，0）到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过点（2，2）与直线l平行的直线方程是y－2＝（x－2），整理得x－y－4＝0，故D正确.综上所述，正确的选项为C、D. 10.ACD　当a＝0时，曲线C的方程为：－2x－2y＝0，表示直线，故A正确；由ax2＋ay2－2x－2y＝0，得a（x2＋y2）＝2x＋2y，令得x＝y＝0，所以曲线C经过定点（0，0），故C正确；当a＝1时，曲线C的方程为x2＋y2－2x－2y＝0，即（x－1）2＋（y－1）2＝2，此时曲线C表示圆，且圆心为C（1，1），半径R＝，因为C（1，1）到直线3x＋y＝0的距离d1＝≠，所以直线3x＋y＝0与曲线C不相切，故B错误；C（1，1）到直线x＋2y＝0的距离d2＝＜，所以直线x＋2y＝0与曲线C相交，故D正确.故选A、C、D. 11.ABC　由题意，圆C2的方程可化为C2：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2.分别把A（x1，y1），B（x2，y2）两点坐标代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a（x1－x2）＋2b（y1－y2）＝0，即a（x1－x2）＋b（y1－y2）＝0，所以选项A、B是正确的；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C是正确的，选项D是不正确的.故选A、B、C. 12.x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0　解析：设直线l的方程为＋＝1，∴｜ab｜＝3，且－＝，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 13.x＝　解析：法一　由题可知，两圆方程相减，得动点P的轨迹方程是x＝. 法二　设P（x，y），P到☉O和☉O'所引的切线长为a，｜PO｜2＝2＋a2，｜PO'｜2＝6＋a2，∴｜PO｜2－｜PO'｜2＝－4，∴x2＋y2－[（x－4）2＋y2]＝－4，即x＝. 14.　解析：法一　由题意知点A（－2，3）关于直线y＝a的对称点为A'（－2，2a－3），所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即（3－a）x－2y＋2a＝0.由题意知直线A'B与圆（x＋3）2＋（y＋2）2＝1有公共点，易知圆心为（－3，－2），半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 法二　易知（x＋3）2＋（y＋2）2＝1关于y轴对称的圆的方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝1，由题意知该对称圆与直线AB有公共点.设直线AB的方程为y－3＝k（x＋2），即kx－y＋3＋2k＝0，因为对称圆的圆心为（3，－2），半径为1，所以≤1，解得－≤k≤－，又k＝，所以－≤≤－，解得≤a≤，所以实数a的取值范围是. 15.解：（1）由题意得直线l的斜率为1， 故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. （2）由直线m与直线l平行， 可设直线m的方程为x－y＋c＝0（c≠3）， 由点到直线的距离公式得＝， 即｜c－3｜＝2，解得c＝1或c＝5. 故直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0. 16.解：（1）∵所求圆的圆心为线段OP的中点（2，3）， 半径为｜OP｜＝ ＝， ∴以OP为直径的圆的方程为（x－2）2＋（y－3）2＝13. （2）∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴A，B两点都在以OP为直径的圆上. 由两式相减并整理，得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0. 17.解：所选观景点应该保证两景点的视角最大.由平面几何知识知，该点应是过A，B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴，点B在y轴正半轴上， 建立平面直角坐标系，如图所示. 由题意得A（，），B（0，2）， 设过A，B两点且与x轴相切的圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝b2（b＞0），圆心在线段AB的垂直平分线上，且易得线段AB的垂直平分线方程为x－y＋＝0. 联立解得或 又要求视角最大，所以a＝0，b＝， 所以圆的方程为x2＋（y－）2＝2. 令y＝0，可得切点坐标为（0，0）， 所以观景点应设在B景点在小路的射影处. 18.解：（1）将曲线C的方程化为x2＋y2－2ax－y＝0，即（x－a）2＋＝a2＋， 可知曲线C是以点C为圆心，以为半径的圆. （2）∵圆C过坐标原点，且｜OM｜＝｜ON｜， ∴OC⊥MN，∴·（－2）＝－1，∴a＝±2. 当a＝－2时，圆心坐标为（－2，－1），圆的半径为， 则圆心C（－2，－1）到直线l：y＝－2x＋4的距离d＝＝＞， ∴直线l与圆C相离，不合题意，舍去，检验可知当a＝2时符合题意. 这时曲线C的方程为x2＋y2－4x－2y＝0. 19.解：（1）不能出现AC⊥BC的情况，理由如下： 设A（x1，0），B（x2，0），则x1，x2满足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2.又点C的坐标为（0，1）， 故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－， 所以不能出现AC⊥BC的情况. （2）证明：由（1）知BC的中点坐标为， 可得BC的中垂线方程为y－＝x2. 由（1）可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂线方程为x＝－. 联立解得 所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝. 故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $