第五章 函数应用 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学函数应用单元复习卷，以函数零点、二分法、函数模型等核心知识为载体，通过生活实践（课桌椅配套、商场促销）、科学情境（水葫芦治理、公司利润）设计问题，梯度覆盖基础巩固与综合应用，适配单元复习对数学建模、数据分析及逻辑推理素养的培养需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|二次函数零点、二分法适用条件、零点存在定理|基础概念辨析，如第2题通过函数图象判断二分法适用性| |多项选择|3/18|零点存在定理应用、二次函数零点性质、函数奇偶性与周期性|多维度能力考查，如第11题结合函数周期性与对数函数零点| |填空|3/15|函数零点区间、含绝对值方程根、促销优惠计算|实际应用嵌入，如第14题以水果促销计算考查分段函数| |解答|5/77|一次函数建模、利润函数最值、绝对值函数图象与性质、二次函数零点证明、指数函数模型|综合素养导向，如第19题通过水葫芦治理建立指数模型，考查数学建模与数据分析|

章末检测（五）　函数应用 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.二次函数y＝2x2＋x－1的零点是（　　） A.，－1　　 B.－，1　 　C.，（1，0） 　　D.，（－1，0） 2.下列函数中不能用二分法求零点近似值的是（　　） A.f（x）＝3x－1　　 B.f（x）＝x3　　 C.f（x）＝｜x｜ 　　D.f（x）＝ln x 3.根据表格内的数据，可以断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是（　　） x －1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 x＋3 2 3 4 5 6 A.（－1，0）　　 B.（0，1）　 　C.（1，2）　 　D.（2，3） 4.函数f（x）＝－x2＋1的零点个数是（　　） A.0　　 B.1　 　C.2　 　D.3 5.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是Pn＝P0（1＋k）n（k＞－1），其中Pn为预测期人口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期k∈（－1，0），那么在这期间人口数（　　） A.呈上升趋势　　 B.呈下降趋势　 　C.摆动变化 　　D.不变 6.已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两个不相等的实数根都在（0，4）内，则实数m的取值范围是（　　） A.∪[2，＋∞）　 　B.∪（2，＋∞） C.　 　D. 7.已知函数f（x）＝若关于x的方程m－f（x）＝0有两个不同的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A.（0，＋∞）　　 B.（－∞，0]∪（1，＋∞）　　 C.（－∞，0]　 　D.（0，1] 8.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y＝函数的图象如图所示.如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（　　） A.9：00　　 B.8：40　 　C.8：30　 　D.8：00 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，若f（a）·f（b）＜0，则在区间[a，b]上（　　） A.方程f（x）＝0没有实数根 B.方程f（x）＝0至多有一个实数根 C.若函数f（x）单调，则f（x）＝0必有唯一的实数根 D.若函数f（x）不单调，则f（x）＝0至少有一个实数根 10.已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，则以下结论正确的是（　　） A.a＜1　 　B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f（－1）＝f（3）　 　D.函数y＝f（｜x｜）有4个零点 11.若函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x－1）＝f（x＋1），且当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，若函数g（x）＝f（x）－loga（x＋2）（a＞1）在区间（－1，3）恰有3个不同的零点，则实数a的取值可以是（　　） A.1　　 B.3　 　C.4　　 D.5 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.已知函数f（x）＝e－x－2x－5的零点位于区间（m，m＋1）内，则整数m的值为　　　　. 13.若关于x的方程＝kx有三个不等实数根，则实数k的取值范围是　　　　. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%. （1）当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付　　　　元； （2）在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度： 第一套 第二套 椅子高度x/cm 40.0 37.0 课桌高度y/cm 75.0 70.2 （1）请你确定y与x的函数解析式（不必写出x的取值范围）； （2）现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？ 16.（本小题满分15分）某公司为了进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，产量为x（单位：千部）时，需另投入成本为R（x）（单位：万元），且R（x）＝由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完. （1）求出2024年的利润W（x）（单位：万元）关于年产量x的函数关系式（利润＝销售额－成本）； （2）2024年的年产量为多少部时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝2｜x－1｜－x＋1. （1）请画出函数f（x）的图象； （2）根据函数f（x）的图象回答下列问题： ①求函数f（x）的单调区间； ②求函数f（x）的值域； ③求关于x的方程f（x）＝2在区间[0，2]内解的个数. 18.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，证明a＞0，并利用二分法证明方程f（x）＝0在区间[0，1]内有两个实根. 19.（本小题满分17分）水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾，严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月覆盖面积为18 m2，经过3个月其覆盖面积为27 m2，现水葫芦覆盖面积y（单位：m2）与经过时间x（x∈N）个月的关系有两个函数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与y＝p＋q（p＞0）可供选择. （参考数据：≈1.414，≈1.732，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1） （1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （2）求原先投放的水葫芦的面积，并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍. 章末检测（五）　函数应用 1.A　二次函数y＝2x2＋x－1的零点就是2x2＋x－1＝0的解，解得x＝，或x＝－1，故选A. 2.C　f（x）＝｜x｜≥0恒成立，在定义域内不存在变号零点. 3.C　令f（x）＝ex－x－3＝ex－（x＋3），由上表可知f（－1）＜0，f（0）＜0，f（1）＜0，f（2）＞0，f（3）＞0. 故f（1）f（2）＜0，故断定方程ex－x－3＝0的一个根所在区间是（1，2）.故选C. 4.C　令f（x）＝－x2＋1＝0，得＝x2－1，则函数f（x）的零点个数，即y＝与y＝x2－1的交点个数，如图所示，由图可知有两个交点，故函数f（x）＝－x2＋1有两个零点. 5.B　由题意，k为预测期内年增长率，如果在某一时期有k∈（－1，0），即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.故选B. 6.C　设f（x）＝x2＋mx＋1，则二次函数f（x）＝x2＋mx＋1的两个零点都在区间（0，4）内，由题意 解得－＜m＜－2.因此，实数m的取值范围是（－，－2）.故选C. 7.D　函数图象如图所示，关于x的方程m－f（x）＝0有两个不同的实数根，说明函数y＝m和y＝f（x）有两个不同的交点，由数形结合思想可知m∈（0，1]，故选D. 8.A　根据函数的图象，可得函数的图象过点（10，1），代入函数的解析式，可得＝1，解得a＝1，所以y＝令y≤0.25，可得0.1t≤0.25或≤0.25，解得0≤t≤2.5或t≥30，所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00. 9.CD　由函数零点存在定理，知函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，所以若函数f（x）不单调，则f（x）＝0至少有一个实数根，若函数f（x）单调，则函数f（x）有唯一的零点，即f（x）＝0必有唯一的实数根，故选C、D. 10.ABC　根据题意，函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，即方程x2－2x＋a＝0有两个不同的根，为x1，x2.对于A，若方程x2－2x＋a＝0有两个不同的根，则有（－2）2－4a＞0，解得a＜1，故A正确；对于B，易知x1＋x2＝2，x1x2＝a≠0，则＋＝＝，故B正确；对于C，函数f（x）＝x2－2x＋a的图象的对称轴为直线x＝1，则有f（－1）＝f（3），故C正确；对于D，当a＝0时，y＝f（｜x｜）＝x2－2｜x｜，有3个零点，故D错误. 11.CD　由题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则当x∈[－1，0]时，－x∈[0，1]，函数f（x）＝f（－x）＝2－x－1，又对任意x∈R，都有f（x－1）＝f（x＋1），则f（x）＝f（x＋2），又函数g（x）＝f（x）－loga（x＋2）（a＞1）在区间（－1，3）恰有3个不同的零点，即函数y＝f（x）与y＝loga（x＋2）（a＞1）的图象在区间（－1，3）上有3个不同的交点，又由f（1）＝f（3）＝1，则满足loga（1＋2）＜1，且loga（3＋2）≥1，解得3＜a≤5，即实数a的取值可以是4，5. 12.－2　解析：因为f（x）＝e－x－2x－5为减函数，f（－2）＝e2－1＞0，f（－1）＝e－3＜0，所以f（x）＝e－x－2x－5存在唯一的零点x0，且x0∈（－2，－1），所以m＝－2. 13.　解析：由题意可知k≠0，∵＝kx，∴kx2－2kx＝｜x｜.当x≥0时，kx2－2kx＝x，解得x＝0或x＝，∴＞0，∴k＞0或k＜－；当x＜0时，kx2－2kx＝－x，解得x＝0（舍去）或x＝，∴＜0，∴0＜k＜.综上，可知实数k的取值范围是. 14.（1）130　（2）15　解析：（1）当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付（60＋80）－10＝130（元）. （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y元， 当y＜120元时，李明得到的金额为y×80%，符合要求； 当y≥120元时，有（y－x）×80%≥y×70%恒成立，即8（y－x）≥7y，x≤，即x≤＝15（元）. 所以x的最大值为15. 15.解：（1）根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数解析式，得解得所以y与x的函数解析式是y＝1.6x＋11. （2）把x＝42代入（1）中所求的函数解析式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2. 所以给出的这套桌椅是配套的. 16.解：（1）当0＜x＜40时，W（x）＝700x－（10x2＋100x）－250＝－10x2＋600x－250； 当x≥40时，W（x）＝700x－（701x＋－9 450）－250＝－（x＋）＋9 200. ∴W（x）＝ （2）若0＜x＜40，则W（x）＝－10（x－30）2＋8 750， 当x＝30时，W（x）取最大值，W（x）max＝8 750. 若x≥40，则W（x）＝－（x＋）＋9 200≤9 200－2＝9 000， 当且仅当x＝，即x＝100时，W（x）取最大值，W（x）max＝9 000. 故2024年的年产量为100 000部时，公司所获利润最大，最大利润是9 000万元. 17.解：（1）当x－1≥0，即x≥1时， f（x）＝2（x－1）－x＋1＝x－1； 当x－1＜0，即x＜1时，f（x）＝2（1－x）－x＋1＝3－3x. f（x）的图象如图所示. （2）①函数f（x）的单调递增区间为[1，＋∞）；函数f（x）的单调递减区间为（－∞，1]. ②函数f（x）的值域为[0，＋∞）. ③方程f（x）＝2在区间[0，2]内解的个数为1. 18.证明：∵f（1）＞0，∴f（1）＝3a＋2b＋c＞0， 即3（a＋b＋c）－b－2c＞0. ∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，－b－2c＞0， ∴－b－c＞c，即a＞c. ∵f（0）＞0，∴f（0）＝c＞0，∴a＞0. 取区间[0，1]的中点， 则f＝a＋b＋c＝a＋（－a）＝－a＜0. ∵f（0）＞0，f（1）＞0， ∴函数f（x）在区间和上各有一个零点. 又f（x）为二次函数，最多有两个零点， ∴f（x）＝0在[0，1]内有两个实根. 19.解：（1）因为y＝kax（k＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝p＋q（p＞0）的增长速度越来越慢， 所以依题意，应选择y＝kax（k＞0，a＞1）. 则有解得 所以y＝8·（）x（x∈N）. （2）当x＝0时，y＝8. 设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍. 有8·（）x＝8×1 000， 所以x＝lo1 000＝＝≈17. 故原先投放的水葫芦的面积为8 m2，约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1 000倍. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $