高中数学单元测试——第五章函数应用（适中版02）

**基本信息** 本单元卷聚焦函数应用，通过基础题巩固零点、二分法等核心知识，综合题结合鲑鱼游速、小微企业利润等现实情境，适配单元复习，培养数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点定义、二分法原理|第4题通过二分法区间迭代，考查数学思维的逻辑性| |多选题|2/12|零点存在性、方程根问题|第8题结合函数图像，考查数学眼光的几何直观| |填空题|2/10|零点应用、函数图像实际问题|第10题行程问题图像分析，体现数学语言的数据意识| |解答题|3/48|函数定义域、零点个数证明、利润模型构建|第12题小微企业贷款生产情境，考查数学建模与应用意识|

高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 【答案】C 【详解】直接解方程即得函数的零点. 【分析】令，即，解得，所以函数的零点为和. 故选：C. 2．（本题5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据能用二分法求的函数零点应该是变号零点的要求，一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 故选：C 3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，且，，由零点存在定理知，零点所在区间为. 故选：C. 4．（本题5分）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法求函数近似值的方法步骤可得. 【详解】因为第一次所取区间，取中点，所以第二次取的区间为或， 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 当第二次取的区间为时，取中点，所以第三次取的区间为或； 故选：D 5．（本题5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】D 【分析】由题意列出方程，根据对数的运算性质，计算即可得答案. 【详解】设甲的速度为，耗氧量的单位数为，乙的速度为，耗氧量的单位数为， 由题意得，则， 所以，解得. 故选：D 6．（本题5分）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数为奇函数求出b的值，继而求出函数的零点的表达式，结合题意列出不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 故，解得， 故， 而 ，即满足，函数是定义在上的奇函数， 故； 令，解得， 又函数的零点在区间内， 故令，则，令，解得， 即实数的取值范围为， 故选：B 二、多选题 7．（本题6分）（多选）下列函数有零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】运用零点概念，结合判别式判断. 【详解】A中，令方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点； B中，令，方程有两个相等的实数根，即该函数有一个零点； C中，令方程没有实数根，即该函数无零点； D中，令方程有两个不相等的实数根，即该函数有两个零点． 故选：ABD. 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 【答案】21 【分析】由x＝3是函数的零点，即，将x＝3代入函数有，求解即得的值 【详解】∵x＝3是函数的零点，即 ∴，解得 故答案为：21 【点睛】本题考查了函数的零点，根据零点列方程，应用对数的概念求参数值 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数并证明. 【答案】(1) (2) 在区间上有唯一一个零点，证明如下： 当时，， 令， 所以函数在区间上单调递增. 又因为在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 而，又，所以， 因为， 又，所以， 所以，结合在区间上单调递增. 所以在区间上有唯一一个零点. 【分析】（1）由题意得对任意恒成立；讨论，两种情况，即可求出结果； （2）当时，，先根据复合函数单调性的判断方法，判断其单调性，再由零点存在性定理，即可判断出零点个数. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 所以对任意恒成立； 当时，不等式可化为，解得，不符合题意； 当时，只需， 解得， 所以实数的取值范围为. （2）略 12．（本题16分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 【答案】(1) (2)年产量为9万件时，企业获得的年利润最大，为24万元；该企业最早5年后能偿还所有贷款 【分析】（1）年利润等于销售收入减去生产成本与职工工资，并分情况讨论，由此可求年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （2）分情况考虑年利润，结合二次函数与基本不等式即可求得年利润的最大值，并以此值根据题意建立不等式，即可求得企业最早在几年后能偿还所有贷款. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）由（1）得当时，， 所以当时，该企业获得的利润最大，为14万元， 当时，， 当且仅当时，该企业获得的利润最大，为24万元， 故年产量为9万件时，企业获得年利润最大，为24万元， 由题意设最早年后还清所有贷款，则有，解得， 所以该企业最早5年后还清贷款. 13．（本题18分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 【答案】(1). (2)在上单调递增，证明如下： 的定义域为，任取，，则，即， 由，可得， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）将函数式代入待证式，计算即得证； （2）根据函数的单调性定义，和指数函数的单调性证明即可； （3）将在区间上与x轴有2个交点转化成在时有2个实数根，利用函数的单调性求出的值域，即得参数m的取值范围. 【详解】（1）略 （2）略 （3）.因为的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，在时有2个实数根， 即在时有2个实数根， 令，易知在区间上单调递增，故， 由可得，令，， 由对勾函数性质可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，，作函数草图如图， 当时，函数与有两个交点， 即函数的图象在区间上与x轴有2个交点， 所以，即实数m的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（适中版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点为（    ） A． B． C．和 D．或 2．（本题5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）用二分法求函数零点近似值时，第一次所取区间，则第三次所取的区间可能是（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.假设甲鲑鱼和乙鲑鱼都做匀速直线运动，乙在甲正前方18m处，9s后甲正好追上乙，则甲鲑鱼与乙鲑鱼耗氧量的单位数的比值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 6．（本题5分）已知函数是定义在上的奇函数，若函数的零点在区间内，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）（多选）下列函数有零点的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）已知x＝3是函数的零点，则______ 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若函数的定义域为，求实数的取值范围； (2)当时，判断函数在区间上的零点个数并证明. 12．（本题16分）为帮助尚有90万元无息贷款没有偿还的某小微企业尽快脱贫，当地市政府继续为其提供30万元无息贷款，用以购买某种生产设备.已知该设备每生产1万件产品需再投入4万元的生产资料费，已知一年内生产该产品万件的销售收入为万元，且，该企业在经营过程中每月还要支付给职工每月3万元的最低工资保障. (1)写出该企业的年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)当年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？并求出企业最早在几年后能偿还所有贷款？ 13．（本题18分）已知，. (1)证明：； (2)判断并用定义证明的单调性； (3)若函数的图象在区间上与x轴有2个交点，求实数m的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $