高中数学单元测试——第五章函数应用（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学第五章函数应用较难版单元卷，聚焦零点、二分法及实际应用，通过基础题与综合题梯度设计，培养数学思维与应用意识，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|零点判断、二分法区间确定|基础概念辨析，如第2题二分法图像识别| |多选题|2/12|零点个数与参数关系|多选项辨析，如第7题含参函数零点讨论| |填空题|2/10|一次函数零点、追及问题建模|情境化设计，如第10题小明上学路程问题| |解答题|3/48|函数奇偶性与零点、阶梯水价、奇函数单调性|综合应用，如第12题阶梯水价函数建模，体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，解方程可得结论. 【详解】令，可得， 所以，故. 所以函数的零点是. 故选：B. 2．（本题5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据能用二分法求的函数零点应该是变号零点的要求，一一判断各选项，即得答案. 【详解】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反， 对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同， 故不可用二分法求交点横坐标； 对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标； 故选：C 3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】易知是上的增函数，且，，由零点存在定理知，零点所在区间为. 故选：C. 4．（本题5分）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则实数和分别等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二分法求函数零点的定义可知，后一个区间其中一个端点与前一个区间相同，另一个端点是前一个区间两个端点和的一半，由此得出等量关系，从而求得解. 【详解】∵， ∴根据二分法的定义可知：， ∴，解得. 故选：A 5．（本题5分）Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．21h B．36h C．35h D．32h 【答案】B 【分析】根据题意可确定，继而将代入公式，即可求得答案. 【详解】根据题意，，当时，，代入公式，得， 所以当时，（h）． 故选：B. 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则关于 零点叙述不正确的是（    ） A．当时，函数有两个零点 B．函数必有一个零点是正数 C．当时，函数有两个零点 D．当时，函数只有一个零点 【答案】ACD 【分析】在同一坐标系中作出与的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确． 【详解】⇔在同一坐标系中作出与的图象， 可观察出 当时，函数有一个零点, 当时，函数有一个零点, 当时，函数有两个零点, 函数必有一个零点是正数, A、C、D选项错误，选项B正确． 故选:ACD. 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作出图象，令，则，由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根，可得判别式，根据关于x的方程有4个不同的实根，且与图象有2个交点，可得与图象也得有2个交点，分析即可得答案. 【详解】作出图象，如下图所示， 由图象可得， 令，则， 所以， 由题意，关于t的二次方程有两个不相等实根， 所以，解得， 解得或， 因为与图象有2个交点， 所以与图象也得有2个交点， 所以，解得，且， 所以符合条件的选项有AC. 故选：AC 三、填空题 9．（本题5分）若一次函数的零点是2，那么函数的零点是______. 【答案】0， 【分析】根据函数零点的定义求解即可. 【详解】因为一次函数的零点是2， 所以，即，则， 令，解得或， 所以函数的零点是0，. 故答案为：0，. 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    【答案】2080 【分析】设小明原速度为x每分钟，则拿到书后的速度为1.25x米/分钟，家校距离为．设爸爸行进速度为y米/分钟，由题意及图形得方程组，求出x、y的值即可解答． 【详解】解：设小明原速度为x（米/分钟），则拿到书后的速度为1.25x（米/分钟），则家校距离为 ， 设爸爸行进速度为y（米/分钟），由题意及图形得：， 解得： ∴小明家到学校的路程为：（米）. 故答案为：2080． 四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【详解】（1）依题意，得，即 即恒成立，得. （2）令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 12．（本题16分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【答案】(1) (2)立方米 【分析】（1）利用分段函数思想求解出关于的函数解析式； （2）根据解析式判断出水费为元时用水量的范围，然后根据对应段函数解析式可求结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，关于的函数解析式为. （2）由（1）可知，当时，， 当时，， 当时，， 因此当月缴纳的水费为元时，用水量， 所以，解得（立方米）， 答：此户居民本月用水量为立方米. 13．（本题18分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析； (2)； (3) 【分析】（1）由题可得，据此可得解析式；然后取，，证明 即可； （2）由（1）分析结合题意可得，解不等式可得答案； （3）由（1）分析可得等价于，则的范围为函数在上的值域，然后令，研究函数值域可得答案. 【详解】（1）因是R上的奇函数， 则.则. 取，，. 因，，则，，. 从而，则在R上单调递增； （2），结合（1）分析，可得： . 或， 则； （3）在上有解，由（1）分析可知等价于： ， 则的范围为函数在上的值域. 令，则.令. ，得其在上单调递减，在上单调递增. 则，. 则. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 函数应用（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）函数的零点是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数，则零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）若在用二分法寻找函数零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，则实数和分别等于（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：h）与放电电流（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（   ） A．21h B．36h C．35h D．32h 6．（本题5分）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则关于 零点叙述不正确的是（    ） A．当时，函数有两个零点 B．函数必有一个零点是正数 C．当时，函数有两个零点 D．当时，函数只有一个零点 8．（本题6分）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数可能的取值有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）若一次函数的零点是2，那么函数的零点是______. 10．（本题5分）一天，小明从家出发匀速步行去学校上学．几分钟后，在家休假的爸爸发现小明忘带数学书，于是爸爸立即匀速跑步去追小明，爸爸追上小明后以原速原路跑回家．小明拿到书后以原速的快步赶往学校，并在从家出发后23分钟到校（小明被爸爸追上时交流时间忽略不计）．两人之间相距的路程y（米）与小明从家出发到学校的步行时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，则小明家到学校的路程为 ____米．    四、解答题 11．（本题14分）已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 12．（本题16分）为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价（元/立方米） 不超过立方米部分 超过立方米但不超过立方米部分 超过立方米部分 一户居民本月的用水量为（单位：立方米），费用为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若该户本月缴纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 13．（本题18分）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值并用定义证明函数在上单调递增； (2)解不等式：； (3)若方程在内有解，求实数b的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $