高中数学单元测试——第五章三角函数（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学三角函数单元较难版测试，覆盖终边相同角、图像变换、实际应用等核心知识点，题型多样，层次分明，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|终边相同角、定义域、三角函数定义|基础概念辨析，注重数学抽象| |多选题|3/18|三角形内角关系、函数性质|多选项设计，考查逻辑推理| |填空题|3/15|三角恒等变换、零点问题|情境简洁，突出几何直观| |解答题|5/77|五点作图、摩天轮应用、函数单调性|综合应用，体现数学建模与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将角化成角度，并写出与其终边相同的角的形式，通过各选项的角依次检验即得. 【详解】因为，而与终边相同的角可表示为， 对于A，因，不是的整倍数，故A错误； 对于B，因，不是的整倍数，故B错误； 对于C，因，不是的整倍数，故C错误； 对于D，因，是的整倍数，故D正确. 故选：D. 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的定义域列出不等式，求解即得所求函数的定义域. 【详解】由，可得. 故选：D. 3．（本题5分）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由角终边经过的点坐标即可求得，进而可求的值. 【详解】因为角的终边经过点， 则，， 则 故选：D. 4．（本题5分）若且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数的基本关系求解. 【详解】， 因为，所以，，得， 则原式， 故选：B 5．（本题5分）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 由正三角形性质可算得其高，也即扇形半径，由扇形面积公式可算得答案. 【详解】由题意，当以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，以正三角形的高为半径时所得到的扇形的面积最大， 该扇形所对的圆心角为，而边长为的正三角形的高为， 由扇形面积公式可得该扇形面积为. 故选：B. 6．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解. 【详解】由， 所以. 故选：B 7．（本题5分）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 8．（本题5分）已知，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或5 【答案】D 【分析】利用正弦二倍角公式以及同角三角函数关系式结合已知条件先求出的值，然后利用正切的两角和公式展开求解即可. 【详解】由，则， 所以，即， 即，解得：或， 当时，， 当时，， 故选：D. 二、多选题 9．（本题6分）若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用三角形的内角和为和诱导公式求解即可. 【详解】因为, 所以,故A正确; ,故B错误; ,故C正确; 当时,选项D不正确; 故选:AC 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值与最小值之差为1 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数 【答案】AD 【分析】将函数通过恒等变换化为，后按照最值，单调区间，对称中心的求法求解即可判断ABC．D选项运用图像变换结合偶函数定义可解. 【详解】 . 则函数,，之差为，则A正确． ，则区间上有增有减，则B错误. 将代入解析式得，，则不是对称中心，则C错误. 将的图象向左平移个单位长度得到. 则,则是偶函数，则D正确. 故选：AD 11．（本题6分）数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（    ） A．与的最小正周期均为 B．与的图象均关于直线对称 C．的最大值是的最小值 D．与的图象关于原点中心对称 【答案】BD 【分析】先求出，，结合函数与的图象即可求解 【详解】设 则， 函数与的大致图象如下所示： 对A，由图知，与的最小正周期均为2π；故A错误； 对B，由图知，为函数与的对称轴，故B正确. 对C，，由图知∶函数的值域为，函数的值域为，故C错误； 对D，由图知，与的图象关于原点中心对称，故D正确； 故选：BD. 三、填空题 12．（本题5分）若，且，则的值为______． 【答案】或. 【分析】由二倍角公式及两角差的正弦公式得到，再分与两种情况讨论，分别求出即可. 【详解】由， 得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得， 所以，所以． 故的值为或． 故答案为：或. 13．（本题5分）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用整体代换可得，再利用数形结合将零点个数转化为函数图象交点个数，解不等式可得结果. 【详解】令，得． 又，则． 令，因为函数在区间上有且仅有4个零点， 所以的图象与直线在上有且仅有4个交点， 如下图所示： 由图可知，解得， 即的取值范围是． 故答案为： 14．（本题5分）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______． 【答案】/ 【分析】由题意可得的最小正周期为，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和． 【详解】函数是定义在上的奇函数，则， 又满足，可得的最小正周期为， 所以，则函数关于点对称，即， 又当时，， 所以 ． 故答案为：． 四、解答题 15．（本题13分）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用正弦函数的性质得方程，求解即可； （2）根据五点作图法的基本步骤，先列表，再描点、连线即可. 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以， 所以. 令， 解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由可知 故函数在区间上的图像如下： 16．（本题15分）已知函数 的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)方程在上的两解分别为、，求， 的值. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据最值求得，根据周期求得，根据的图象过点求得，从而可得解析式； （2）方程在的两解、关于直线对称，可得，从而求出，在根据计算可得. 【详解】（1）解：由图象可知，， 又∵，，∴， 又∵的图象过点， 即，所以（）， 即（），又∵， ∴， ∴； （2）解：∵的图象在轴右侧的第一个波峰的横坐标为，且， 所以方程在的两解，关于直线对称， 所以， 所以， 因为， 又因为，所以. 17．（本题15分）已知函数，在上单调递增，且恒成立． (1)求的解析式； (2)设，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，继而得到，，  结合，即可求解； （2）求得函数在上的值域，结合题中条件分类讨论的范围求得的最值，列出不等关系解出即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则，， 解得，，   因为，且在上单调递增， 故，即，， 得，   所以； （2）当时，， 则    若对任意，总存在使得， ①时，在上单调递增， ，此时不合题意．    ②时，在上单调递减，在上单调递增． 由题意得解得   ③时，在上单调递减， ， 由题意得解得（舍去），   综上，m的取值范围为 18．（本题17分）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）建立平面直角坐标系，求出点的坐标，以及以为终边的角、角速度，由此可得出关于的函数解析式； （2）当时，解不等式，求出的取值范围，即可得解； （3）经过后，甲距离地面的高度为关于的表达式，乙距离地面的高度为关于的表达式，即可得出的表达式，再结合和差化积公式以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【详解】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点， 以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系． 设时，游客甲位于点，以为终边的角为， 根据摩天轮转一周大约需要，可知座舱转动的角速度约， 由题意可得，． （2）在运行一周的过程中，由，则， 令，可得， 解得或者． 所以游客甲从坐上摩天轮之后，距离地面高度不超过的时长为． （3）由甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，如图，甲、乙两人的位置分别用点、表示， 不妨设点相对于始终落后，则， 经过后，甲距离地面的高度为， 点相对于始终落后，此时距离地面的高度， 则甲、乙高度差， 利用， 可得， 当或，即或， 所以 ， 则将参考数据，代入， 得， 所以甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为. 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意得到，求得，得到，结合图象的变换求得，由不等式，即，即可求解； （3）化简得到，求得，转化为，得到方程组，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：当，时，可得函数， 令，所以单调增区间为； （2）解：当，时，可得，其中， 因为关于直线对称 ， 可得，即，解得， 所以， 将函数的图像向右平移个单位，得到函数， 由，即，则 解得， 所以不等式的解集为； （3）解：当，，时，则， 可得，则， 其中且，于是， 可化为， 即， 所以. 由已知条件，上式对任意恒成立，故必有， 若，则由（1）知，显然不满足（3）式，故， 所以由（2）知，故或， 当时，，则（1）、（3）两式矛盾， 故，由（1）、（3）知， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第五章 三角函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A．2 B． C． D． 4．（本题5分）若且，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知，则（    ） A．2 B． C．2或 D．或5 二、多选题 9．（本题6分）若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值与最小值之差为1 B．在区间上单调递增 C．的图象关于点中心对称 D．若将的图象向左平移个单位长度得到的图象，则是偶函数 11．（本题6分）数学中一般用表示a，b中的较小值，表示a，b中的较大值；关于函数：；，有如下四个命题，其中是真命题的是（    ） A．与的最小正周期均为 B．与的图象均关于直线对称 C．的最大值是的最小值 D．与的图象关于原点中心对称 三、填空题 12．（本题5分）若，且，则的值为______． 13．（本题5分）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是______． 14．（本题5分）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则______． 四、解答题 15．（本题13分）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间； (2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 16．（本题15分）已知函数 的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)方程在上的两解分别为、，求， 的值. 17．（本题15分）已知函数，在上单调递增，且恒成立． (1)求的解析式； (2)设，若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 18．（本题17分）如图，某摩天轮最高点距离地面米，最低点距离地面高度为米，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要分钟． (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动分钟后距离地面的高度为米，求关于的函数解析式； (2)求游客甲从坐上摩天轮之后的一周内，距离地面高度不超过米的总时长； (3)若甲、乙两人座舱之间间隔一个座舱，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差（单位：）关于的函数解析式，并求高度差的最大值．（精确到个位） 参考公式与数据：，，，． 19．（本题17分）已知函数. (1)当，时，求函数的单调增区间； (2)当，时，设，且函数的图像关于直线对称，将函数的图像向右平移个单位，得到函数，求解不等式 ； (3)当，，时，若实数m，n，p使得对任意实数x恒成立，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $