第五章 函数应用（高效培优单元测试·提升卷）高一数学北师大版2019必修第一册

第五章 函数应用（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【新定义题】若在上定义运算，则的零点为（   ） A．0和2 B．和1 C．和2 D．和0 【答案】B 【解析】由题意，令，得或． 2．若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，因此函数在上为增函数， 因此，函数在上存在零点的充要条件是且， 所以，即，解得 故选：B 3．已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】D 【解析】当时，由，得 当时，由，得或， 所以四个零点和为， 故选：D 4．已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 【答案】A 【解析】∵函数在上单调递减， 且是函数的零点， ， ∴在上，有， ，. 故选：A. 5．已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【解析】由知的图象关于直线对称， 又的图象也关于直线对称， 所以函数与的图象有6个交点，分3对分别关于直线对称， 每对交点的横坐标之和为4，所以. 故选：D. 6．【社会热点题】按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 【答案】D 【解析】法一：设男职工出生于公元年月，，，. 设退休延迟月数为， 当时，； 当时，； 当时，. 所以1972年6月出生的男职工退休延迟的时间为：（月）. 所以1972年6月出生的男职工退休年龄：61岁11个月. 法二：从1965年1月到1972年6月，共经过了个“4个月”的时间段， 故延迟退休23个月，即1年11个月，退休年龄为61岁11个月. 故选：D 7．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 当时，，由指数函数单调性可知，在上单调递减， 此时； 当时，，由一次函数的单调性可知，在上单调递减， 此时． 因为方程有两个不相等的实数根， 所以函数的图象与的图象有两个交点． 因为函数是增函数， 由图可知，，可得，解得. 所以实数的取值范围为， 故选：C． 8．已知函数，若方程有唯一实根，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】因为的定义域为，所以，解得， 所以的定义域为， 由，得在上恒成立， 因为在上单调递减， 所以当时，，所以， 又， 所以， 则，即， 令，则在上有唯一实数根， 令，， 当时，令，则，即，解得，符合题意， 当时，，对称轴为， 所以在上单调递增， 所以只需，解得， 因为，所以此时无解， 综上，实数k的取值范围是. 故选：A 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．已知函数恰有两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解集为 C．不等式的解集为 D．的大小关系是 【答案】ABD 【解析】对于A：因为是函数的两个零点，所以，故A正确； 对于B：方程或，所以方程的解集为，故B正确； 对于C：因为函数恰有两个零点，所以， 所以不等式的解集为，故C错误； 对于D：先画的图像，把向下平移一个单位得的图像如下： 由图可知，故D正确. 故选：ABD. 10．已知函数，若方程有三个不等的实数解，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】的大致图像如图所示.若方程有三个不等的实数解， 则根据图像可得，且，故A错误. 令，得，令，得，则，故B错误； 所以，故C正确. ， 当且仅当时，等号成立，因为，所以，故D正确. 11．【创新题】某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数、分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T，则下列四个结论正确的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则红方获得战斗演习胜利； D．若，则红方获得战斗演习胜利． 【答案】ABD 【解析】对于A，若且，则， 即，所以， 由可得，即A正确； 对于B，当时根据A中的结论可知，所以蓝方兵力先为， 即，化简可得， 即，两边同时取对数可得， 即，所以战斗持续时长为，所以B正确； 对于C，若红方获得战斗演习胜利，则红方可战斗时间大于蓝方即可， 设红方兵力为时所用时间为，蓝方兵力为时所用时间为， 即，可得 同理可得，即，解得， 又因为都为正实数，所以可得，红方获得战斗演习胜利； 所以可得C错误，D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为 . 【答案】8 【解析】设至少需要计算中点函数值的次数为； 区间[0，5]长度为，经过次二分以后区间长度为，要求近似解的绝对误差不超过0.02，所以，化简得到， 因为，所以，所以. 13．【情境题】我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为 18 mg/m³.为满足此要求，某地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：mg/m³）与处理时间（单位：分钟）满足关系式： 其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m³，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数，，） 13.17【解析】由题意得，两边取对数得， 解得， 结果精确到整数，故从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 14．已知函数，若关于x的方程有6个不相等的实数根，则实数a的取值范围为 . 【答案】或 【解析】作出函数的图象如图所示， 令，则， 若原方程有6个不相等的实数根， 则，且关于的方程必有两个不等实根，设为， 当时， 代入，则，解得， 此时关于的方程为，解得，满足题意； 当，且时，令， 则函数有两个大于的不等零点， 因为函数的图象过点， 则，解得， 即； 当时，因为函数的图象过点， 则，无解， 综上所述，实数a的取值范围为或. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本小题满分13分) 已知方程的两个实数根分别为，且． (1)求实数b的取值范围； (2)设为方程在区间上有解时的最大值，求当的取值范围满足（1）的结论时，的取值范围. 【解析】（1）由题可得判别式大于0， 即或. 由韦达定理：，因， 则. 结合或，可得.(7分) （2）设， 其在上单调递增，由（1），，可得在上单调递增， 又在上有解，可得最大值为， 又，则，即的范围为.(13分) 16.（本小题满分15分） 已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【解析】（1），，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为.(6分) （2）， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根.(9分) 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有，（13分） 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或.（15分） 17.(本小题满分15分) 某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． (1)写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； (2)当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； (3)求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 【解析】（1）当时，； 当时， 故.(5分) （2）由题意可得或， 解得或，即所求的取值范围为.（8分） （3）当时，函数， 则在上单调递增， 故时， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 即时，. 因为，所以当月加工量为10万千克时，该食品加工厂加工这种食品的月利润取得最大值，最大值为18万元.(15分)） 18.(本小题满分17分) 已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 【解析】（1）由，得，即. 因为的解集为，或所以方程的两根分别为. 由韦达定理可知， ，所以. 当时， 由，得，或， 解得. 所以的解集为或. 综上，的值为.（5分） （2）因为函数在上有零点， ，，. 所以函数在上有零点；此时 因为，所以函数在上有零点；此时. 因为， 所以函数在上有零点；此时, 因为， 所以函数在上有零点.此时. 所以用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作. 方法二：因为用二分法求零点的近似值，每次二分后，区间的长度均缩小为原来的一半. 所以经过1次二分后，区间的长度为； 经过2次二分后，区间的长度为； 经过3次二分后，区间的长度为； 经过4次二分后，区间的长度为. 故用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行4次二分法的迭代操作.（11分） （3）因为，所以在上单调递增，在上单调递减. 又， 所以，，即的最大值为. 设，且，则. 因为，所以； 因为，所以. 所以，即.所以在上单调递增. 所以当时，的最大值为. 因为，使，所以，即. 所以实数a的取值范围是.（17分） 19.(本小题满分17分) 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合． (1)若，且时，，求； (2)若，求的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点． 【解析】（1）由，得对， 所以．(2分) （2）因为，所以存在实数使得，且， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增． 由，得，所以， 若，则方程无解； 若，则方程可以化为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，，当时，， 所以，即的取值范围是．（6分） （3）对任意的，由是偶函数，得， 又，所以， 所以，因为，则， 所以，所以． 对任意的时，，则， 所以.又，则，即， 所以当时，，而为偶函数， 画出函数在上的图象如图1所示，其中，但均未知． 首先说明， 若，则， 易知此时，则， 所以，而时，， 所以，与矛盾， 所以，即．（13分） 令，则， 当时，若，如图2，最多有7个零点， 当时，若， 如图3，有5个零点，故 最多有5个零点； 当时，若，（15分） 如图4，有5个零点，故 最多有5个零点； 当时，若，则，0，4是的零点，又， 如图5，在区间上各有1个零点，以及，0，4是零点，故最多有9个零点． 综上所述，对任意实数，函数在上至多有9个零点．（17分） 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 函数应用（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．【新定义题】若在上定义运算，则的零点为（   ） A．0和2 B．和1 C．和2 D．和0 2．若函数在上存在零点，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数则的所有零点之和为（    ） A． B． C．2 D．0 4．已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 5．已知函数满足，若函数与的图象有6个交点，交点横坐标为，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 6．【社会热点题】按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（    ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 7．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若方程有唯一实根，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 二､选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．已知函数恰有两个零点，则下列结论正确的是（   ） A． B．方程的解集为 C．不等式的解集为 D．的大小关系是 10．已知函数，若方程有三个不等的实数解，且，则（    ） A． B． C． D． 11．【创新题】某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的变化遵循兰彻斯特模型：其中正实数、分别为红、蓝两方初始兵力，t为战斗时间；，分别为红、蓝两方t时刻的兵力；正实数a，b分别为红方对蓝方、蓝方对红方的战斗效果系数；和分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数．规定当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为T，则下列四个结论正确的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若，则红方获得战斗演习胜利； D．若，则红方获得战斗演习胜利． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知函数在区间[0，5]上存在唯一零点，若采用二分法进行求解，要求近似解的绝对误差不超过0.02，则至少需要计算中点函数值的次数为 . 13．【情境题】我国火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为 18 mg/m³.为满足此要求，某地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：mg/m³）与处理时间（单位：分钟）满足关系式： 其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为100mg/m³，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数，，） 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本小题满分13分) 已知方程的两个实数根分别为，且． (1)求实数b的取值范围； (2)设为方程在区间上有解时的最大值，求当的取值范围满足（1）的结论时，的取值范围. 16.（本小题满分15分） 已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 17.(本小题满分15分) 某食品加工厂加工某食品，每月需要投入固定成本14万元，每加工万千克该食品，需另投入成本万元，根据以往的经验可知.已知加工后的该食品每千克的售价为10元，且该食品厂每月加工的这种食品能全部售完． (1)写出该食品加工厂加工这种食品的月利润（单位：万元）关于月加工量（单位：万千克）的函数关系式； (2)当该食品加工厂每月加工该食品的月利润为正数时，求该食品加工厂每月加工该食品的质量的取值范围； (3)求该食品加工厂加工这种食品月利润的最大值．（总收入=总成本＋利润） 18.(本小题满分17分) 已知，，其中a为常数. (1)若的解集为或，求a的值； (2)已知函数在上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次二分法的迭代操作？. (3)，使，求实数a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合． (1)若，且时，，求； (2)若，求的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $