高中数学单元测试——第四章对数运算与对数函数（适中版01）

**基本信息** 本卷为高中数学第四章对数运算与对数函数单元复习卷（适中版），通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，覆盖对数运算、函数性质等核心知识点，融入星等亮度现实情境，适配单元复习需求，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题30分|对数运算、定义域、单调性比较|第5题以星等亮度为情境，体现用数学语言表达现实世界| |多选题|2题12分|函数定义域、值域、对称性|第7题综合考查函数性质，培养推理能力| |填空题|2题10分|函数定点、存在性问题|第10题结合存在性条件，提升抽象能力| |解答题|3题48分|对数运算、解不等式、函数综合应用|第13题三问梯度设计，从值域到方程求解，适配单元核心素养要求|

高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D．3 2．（本题5分）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 6．（本题5分）已知实数，函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 8．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）函数且的图象所过定点的坐标为__________. 10．（本题5分），，若，，使得，则实数的最大值是______． 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，，用a，b表示． （2）求值． 12．（本题16分）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 13．（本题18分）已知函数，且． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)若，求方程的解集； (3)当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（适中版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】解出，代入求解即可． 【详解】由得，所以，， 因此，． 故选：B． 2．（本题5分）函数在区间上的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数单调性求值域即可. 【详解】在上是减函数， ，即值域为. 故选：A. 3．（本题5分）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于建立不等式求解即可． 【详解】要使得有意义， 则，解得：， 故选：B． 4．（本题5分）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的增减性结合对数的运算法则即可求得的大小关系. 【详解】由题意得，即， ，即， ，即， 综上，， 故选：A. 5．（本题5分）星等是衡量天体光度的量，星等值越小，星星越亮；星等值越大，星星越暗．以织女星的亮度为标准，天体的星等与亮度满足．若北极星与牛郎星的亮度之比为，则北极星的星等与牛郎星的星等之差为（   ） A．0.8 B． C． D．1.2 【答案】D 【分析】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为，根据定义得到即可． 【详解】设北极星与牛郎星的星等分别为，亮度分别为， 则 ， ． 故选：D． 6．（本题5分）已知实数，函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，结合二次函数、对数函数单调性及复合函数的单调性列不等式，即可求出范围. 【详解】， 令，则， 因为且在上单调递增，所以， 因为函数在区间上单调递增，且， 所以函数在区间上单调递增， 又函数为开口向下的抛物线，对称轴为， 因此，所以. 故选：D 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称 【答案】BCD 【分析】根据对数函数的性质即可求解AB，根据复合函数单调性法则即可求解C，利用即可求解D. 【详解】由可得，故的定义域为，值域为，A错误，B正确， 由于函数在单调递增，在单调递减，而为上的单调递增函数，因此在上单调递增，C正确， 由于的定义域为关于对称，且，故的图象关于直线对称，D正确， 故选：BCD 8．（本题6分）已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用函数和互为反函数，确定关系，可判断AB，结合二次函数性质判断CD． 【详解】函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 作出它们的图象及直线，由直线与直线垂直， 且交点为知，， 因此，所以有： ， ， 正确的ABD，错误的是C， 故选：ABD． 三、填空题 9．（本题5分）函数且的图象所过定点的坐标为__________. 【答案】 【分析】利用对数函数的性质可得答案. 【详解】当时，，即时，，所以函数图象所过定点的坐标为. 故答案为： 10．（本题5分），，若，，使得，则实数的最大值是______． 【答案】2 【分析】根据恒成立和能成立的思想可知，根据指数函数、对数型复合函数单调性可分别求得，由此可构造不等式求得结果. 【详解】由，，使得，可知； 因为在上单调递减，则； 又因为的定义域为， 且在上单调递增，位增函数， 所以在上单调递增，则； 可得，解得：， 所以实数的最大值为. 故答案为：. 四、解答题 11．（本题14分）（1）已知，，用a，b表示． （2）求值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）指对互化，带入化简；（2）利用指数对数的运算性质求解. 【详解】解：（1），，得， ； （2）原式. 【点睛】本题考查指数与对数运算性质，是基础题. 12．（本题16分）已知函数. (1)求的值； (2)解不等式. 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）根据对数函数和指数函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）当时，， 而，所以； 当时，， 综上：或， 所以原不等式的解集为. 13．（本题18分）已知函数，且． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)若，求方程的解集； (3)当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的值域为可知，需取遍所有正数，结合对数的底数的范围求得结果. （2）由单调函数零点的唯一性，结合特殊值求出，再解对数方程转化成的二次方程即可. （3）先求定义域，结合复合函数单调性求出函数的对称轴，再根据函数对称性，结合自变量与对称轴的距离远近解不等式. 【详解】（1）若的值域为，则取遍所有正数， 由，且， 解得． （2）因为函数为增函数，， 所以． 由，得， 整理得，解得， 故方程的解集为． （3）当时，的定义域为． 因为，且，所以图象的对称轴方程为． 又在上单调递增，定义域为， 所以所求不等式等价于， 解得或，故所求不等式的解集为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $