第四章 对数运算与对数函数 章末检测-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 本卷为高中数学对数运算与对数函数单元检测，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层次设计，全面考查对数定义、运算及函数性质，融入实际情境与探究性问题，适配单元复习，培养运算能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|对数定义、运算、函数性质、图像|第7题植物生长情境选函数模型，体现模型观念| |多项选择题|3/18|对数与指数互化、函数性质判断|第10题“好函数”定义辨析，考查推理意识| |填空题|3/15|对数运算、复合函数单调性、不等式|第14题偶函数性质解不等式，强化数学思维| |解答题|5/77|函数奇偶性、单调性、实际应用|第18题环境污染指数问题，综合考查应用意识与创新意识|

章末检测（四）　对数运算与对数函数 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若logx＝z，则（　　） A.y7＝xz　　 B.y＝x7z　 　C.y＝7x　　 D.y＝z7x 2.计算log2·log3·log5＝（　　） A.8　　 B.6　 　C.－8　　 D.－6 3.若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（　　） A.－1　　 B.0　 　C.　　D.1 4.30.3，3－2，log30.3的大小关系正确的是（　　） A.3－2＞30.3＞log30.3　 　B.30.3＞3－2＞log30.3　　 C.log30.3＞30.3＞3－2　 　D.30.3＞log30.3＞3－2 5.若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为增函数，则函数y＝loga（｜x｜－1）的图象可以是（　　） 6.已知函数f（x）＝ln（－2x）－1，则f（lg 3）＋f＝（　　） A.－1　　 B.0　 　C.2 　　D.－2 7.某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快.经观察发现，一定量的该种植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该种植物的覆盖面积y（单位：平方米）与经过的时间x（单位：月，x∈N）的关系有三种函数模型y＝pax（p＞0，a＞1），y＝mlogax（m＞0，a＞1）和y＝nxa（n＞0，0＜a＜1）可供选择，则下列说法正确的是（　　） A.应选y＝pax（p＞0，a＞1）　 　B.应选y＝mlogax（m＞0，a＞1） C.应选y＝nxa（n＞0，0＜a＜1）　　 D.三种函数模型都可以 8.已知函数f（x）＝若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　） A.（1，6）　　 B.（4，6） 　　C.（2，3） 　　D.（8，12） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.若10a＝4，10b＝25，5c＝4，下列正确的有（　　） A.a＋b＝2　　 B.b－a＝1　 　C.ab＜1　 　D.－＝ 10.若f（x）符合对定义域内的任意的x1，x2，都有f（x1）＋f（x2）＝f（x1·x2），且当0＜x＜1时，f（x）＞0，那么称f（x）为“好函数”，则下列函数不是“好函数”的是（　　） A.f（x）＝2x　　 B.f（x）＝　　C.f（x）＝lox　 　D.f（x）＝log2x 11.函数f（x）＝loga｜x－1｜在（0，1）上单调递减，那么（　　） A.f（x）在（1，＋∞）上单调递增且无最大值　　 B.f（x）在定义域内是偶函数 C.f（x）的图象关于直线x＝1对称　　 D.∃a＝2 024，满足f（x）在（0，1）上单调递减 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.计算：＋log224－log23＝　　 　. 13.已知函数f（x）＝lg（x2－2x－8）的单调递增区间为（a，＋∞），则a＝　　　　. 14.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，f（－1）＝0，则不等式f（log3x）＞0的解集为　　　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）解答下列各题： （1）计算：lg 0.000 1；log2；log3.12（log1515）； （2）已知log4x＝－，log3（log2y）＝1，求xy的值. 16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝log2（＋a）. （1）若函数f（x）是R上的奇函数，求a的值； （2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围. 17.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝loga（1＋bx）（a＞0且a≠1），且满足f（1）＝1，f（3）＝2. （1）求函数f（x）的解析式； （2）从以下两个条件：①g（x）＝f（x）－f（－x）；②g（x）＝f（x）＋f（－x）中选择一个作为函数g（x）的解析式，并判断函数g（x）的奇偶性和单调性（说明理由）. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 18.（本小题满分17分）环境污染已经触目惊心，环境质量已经成为“十三五”实现全面建成小康社会奋斗目标的短板和瓶颈.某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）＝｜log25（x＋1）－a｜＋2a＋1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）. （1）若a＝，求一天中哪个时刻污水污染指数最低； （2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？ 19.（本小题满分17分）已知函数f（x）＝loga（3－ax）（a＞0，且a≠1）. （1）当x∈[0，2]时，函数f（x）恒有意义，求实数a的取值范围； （2）是否存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由. 章末检测（四）　对数运算与对数函数 1.B　由logx＝z，得xz＝，y＝x7z.故选B. 2.C　log2·log3·log5＝log23－2·log35－2·log52－2＝－8log23·log35·log52＝－8，故选C. 3.B　法一　要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. 法二　因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. 4.B　因为y＝3x为增函数，所以30.3＞3－2＞0，又因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，所以log30.3＜log31＝0，所以30.3＞3－2＞log30.3，故选B. 5.C　因为函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为增函数，所以a＞1，函数y＝loga（｜x｜－1）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），所以排除A、B，当x＞1时，y＝loga（x－1）为增函数，所以排除D，故选C. 6.D　∵f（－x）＝ln（＋2x）－1＝ln －1＝－ln（－2x）－1，∴f（－x）＋f（x）＝－2，∴f（lg 3）＋f＝f（lg 3）＋f（－lg 3）＝－2.故选D. 7.A　该种植物生长蔓延的速度越来越快，而y＝pax（p＞0，a＞1）的增长速度越来越快，y＝mlogax（m＞0，a＞1）和y＝nxa（n＞0，0＜a＜1）的增长速度越来越慢，故应选择y＝pax（p＞0，a＞1）作为函数模型.故选A. 8.B　画出f（x）的图象如图所示，｜log4x｜＝｜－log4x｜＝，所以不妨设ab＝1，所以abc＝c∈（4，6）.故选B. 9.ACD　若10a＝4，10b＝25，5c＝4，则a＝lg 4，b＝lg 25，c＝log54，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，选项A正确；b－a＝lg 25－lg 4＝lg ≠1，选项B错误；由ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，又a＝lg 4，b＝lg 25，所以等号不成立，即ab＜1，选项C正确；由－＝－＝log410－log45＝log42＝，选项D正确.故选A、C、D. 10.ABD　A选项：f（x1）＝，f（x2）＝，f（x1·x2）＝，而f（x1）＋f（x2）＝＋≠，故f（x1）＋f（x2）≠f（x1·x2），故不是“好函数”；B选项：f（x1）＝，f（x2）＝，f（x1·x2）＝，而f（x1）＋f（x2）＝＋≠，故f（x1）＋f（x2）≠f（x1·x2），故不是“好函数”；C选项：f（x1）＝lox1，f（x2）＝lox2，f（x1x2）＝lox1x2＝lox1＋lox2＝f（x1）＋f（x2），因为f（x）＝lox为减函数，当0＜x＜1时，f（x）＝lox＞lo1＝0，符合题意，故f（x）＝lox是“好函数”；D选项：f（x1）＝log2x1，f（x2）＝log2x2，f（x1x2）＝log2x1x2＝log2x1＋log2x2＝f（x1）＋f（x2），因为f（x）＝log2x为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＝log2x＜log21＝0，故不满足要求，故f（x）＝log2x不是“好函数”，故选A、B、D. 11.ACD　由｜x－1｜＞0得，函数y＝loga｜x－1｜的定义域为{x｜x≠1}.设g（x）＝｜x－1｜＝则g（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，且g（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确；因为f（x）＝loga｜x－1｜在（0，1）上单调递减，所以a＞1，所以D正确；由上述分析知f（x）＝loga｜x－1｜在（1，＋∞）上单调递增且无最大值，A正确；又f（－x）＝loga｜－x－1｜＝loga｜x＋1｜≠f（x），所以B错误，故选A、C、D. 12.5　解析：＋log224－log23＝2＋log28＝2＋3＝5. 13.4　解析：由题知x2－2x－8＞0，解得x＞4或x＜－2，所以函数的定义域为{x｜x＞4或x＜－2}，因为函数u＝x2－2x－8在（4，＋∞）上单调递增，在（－∞，－2）上单调递减，函数y＝lg u在（0，＋∞）上是增函数，所以函数f（x）＝lg（x2－2x－8）的单调递增区间为（4，＋∞），故a＝4. 14.　解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递减，f（－1）＝0，∴f（1）＝f（－1）＝0，则不等式f（log3x）＞0等价为不等式f（｜log3x｜）＞f（1），∴｜log3x｜＜1，即－1＜log3x＜1，可得＜x＜3，即不等式的解集为. 15.解：（1）因为10－4＝0.000 1，所以lg 0.000 1＝－4. 因为2－6＝，所以log2＝－6. log3.12（log1515）＝log3.121＝0. （2）因为log4x＝－，所以x＝＝2－3＝. 因为log3（log2y）＝1，所以log2y＝3. 所以y＝23＝8.所以xy＝×8＝1. 16.解：（1）若函数f（x）是R上的奇函数，则f（0）＝0， ∴log2（1＋a）＝0，∴a＝0. 当a＝0时，f（x）＝－x是R上的奇函数. ∴a＝0. （2）由已知得函数f（x）是减函数，故f（x）在区间[0，1]上的最大值是f（0）＝log2（1＋a），最小值是f（1）＝log2（＋a）. 由题设得log2（1＋a）－log2（＋a）≥2， 则log2（1＋a）≥log2（4a＋2）. ∴解得－＜a≤－. 故实数a的取值范围是（－，－］. 17.解：（1）依题意⇒⇒所以f（x）＝log2（1＋x）. （2）若选择①，g（x）＝f（x）－f（－x）＝log2（1＋x）－log2（1－x）， 由得－1＜x＜1，则函数g（x）的定义域为（－1，1），又g（－x）＝f（－x）－f（x）＝log2（1－x）－log2（1＋x）＝－g（x），故g（x）为奇函数. g（x）＝log2（1＋x）－log2（1－x）＝log2＝log2， 因为函数y＝log2u是增函数，函数u＝－1－在（－1，1）上单调递增，故g（x）在（－1，1）上单调递增. 若选择②，g（x）＝f（x）＋f（－x）＝log2（1＋x）＋log2（1－x）， 由得－1＜x＜1，则函数g（x）的定义域为（－1，1），又g（－x）＝f（－x）＋f（x）＝log2（1－x）＋log2（1＋x）＝g（x），故g（x）为偶函数. g（x）＝log2（1＋x）＋log2（1－x）＝log2（1－x2）， 因为函数y＝log2t是增函数，函数t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 故g（x）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减. 18.解：（1）因为a＝，则f（x）＝｜log25（x＋1）－｜＋2≥2. 当f（x）＝2时，log25（x＋1）－＝0，得x＋1＝2＝5，即x＝4. 所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低. （2）设t＝log25（x＋1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1. 设g（t）＝｜t－a｜＋2a＋1，t∈[0，1]， 则g（t）＝ 显然g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，1]上单调递增， 则f（x）max＝max{g（0），g（1）}，因为g（0）＝3a＋1，g（1）＝a＋2，则有解得a≤， 又a∈（0，1），故调节参数a应控制在（0，］内. 19.解：（1）∵a＞0且a≠1，设t（x）＝3－ax，则t（x）＝3－ax为减函数，当x∈[0，2]时，t（x）的最小值为3－2a， ∵当x∈[0，2]时，f（x）恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax＞0恒成立. ∴3－2a＞0，∴a＜. 又a＞0且a≠1，∴0＜a＜1或1＜a＜， ∴实数a的取值范围为（0，1）∪. （2）由（1）知函数t（x）＝3－ax为减函数. ∵f（x）在区间[1，2]上单调递减， ∴y＝logat在区间[1，2]上单调递增，∴a＞1， 当x∈[1，2]时，t（x）的最小值为3－2a，f（x）的最大值为f（1）＝loga（3－a）， ∴即 故不存在这样的实数a，使得函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，并且最大值为1. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $