高中数学单元测试——第四章对数运算与对数函数（较难版01）

**基本信息** 高中数学第四章对数运算与对数函数单元卷（较难版），通过基础运算、函数性质及实际应用梯度题，提升数学思维与应用能力，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6题/30分|对数运算、定义域值域、单调性比较|第5题结合臭氧层破坏情境考查指数对数应用，体现数学眼光与语言| |多选题|2题/12分|函数性质综合|第7题分析定义域与单调性，培养推理意识| |填空题|2题/10分|函数定点、解不等式|第9题函数恒过定点，巩固基础概念| |解答题|3题/48分|对数运算求值、函数与不等式、值域及方程求解|第13题三问分层考查函数性质综合应用，发展逻辑思维与创新意识|

高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数式和对数式的互化可得结果. 【详解】因为，所以，. 故选：A. 2．（本题5分）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，求出端点处的函数值，即可求出函数的值域. 【详解】函数在定义域上单调递减， 当时，，即，且当时， 所以函数，的值域是. 故选：A 3．（本题5分）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，，再解不等式即可. 【详解】由，，得. 故选：A 4．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得 由且，得， 由，得， 所以． 5．（本题5分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，年臭氧剩一半可得衰减常数，代入臭氧剩的条件，再利用参考数据计算出. 【详解】根据题意，臭氧含量随时间变化的关系为， 已知经过年臭氧含量剩下一半，即， 两边同时取对数得：，所以， 要求臭氧含量剩初始含量的，即，所以，即， 由，，得， 代入得：年， 因此，经过约年臭氧含量只剩下初始含量的. 6．（本题5分）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，因为在定义域内是单调递减函数， 故在区间上也必为单调递减函数，根据二次函数易知对称轴才能得到在区间上单调递增， 又在上要恒大于零， 则有，解得． 则实数a的取值范围为 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】利用函数定义域的求法可判断A；利用复合函数单调性法则可判断BC；利用函数对称性可判断D. 【详解】对于A：令，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B和C：函数， 令，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又是增函数，所以在上单调递增，在上单调递减，故B正确，C错误； 对于D：因为， ，所以， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ABD. 8．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出的关系式，利用基本不等式判断A；利用指数函数的性质判断B；利用对数函数的性质判断C；利用基本不等式中1的妙用判断D． 【详解】∵，∴， 则分别为函数与图象交点的横坐标， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 在同一坐标系中画出与的图象，如图， 由图可知，点与关于直线对称， 直线与的交点坐标为， 于是得， ∴，A正确； ∵，∴，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 三、填空题 9．（本题5分）已知函数（，且）恒过定点，则______. 【答案】9 【分析】令，可得，，由此可求，再求结论. 【详解】令，则，又，所以过定点， 即，，所以. 故答案为： 10．（本题5分）已知函数，则关于x的不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由二次函数、对数函数的性质判断、对应值域范围，即可得解集. 【详解】由题设，开口向下且对称轴为， 在上，在上递增，在上递减，且恒过点， 所以，上，上， 又，上，上， 综上，的解集为. 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）（1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）76；（2）1 【分析】（1）由分数指数幂的运算和对数的运算性质化简可得结果； （2）由对数的运算法则和性质化简可得结果. 【详解】（1）． （2）因为， 所以，则， 所以． 12．（本题16分）设函数. (1)若，求实数的值； (2)讨论不等式的解集. 【答案】(1)2； (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】(1) 先将 代入函数表达式，再利用对数的定义建立方程求解 的值； (2) 先确定函数的定义域，再根据对数函数的单调性，分情况讨论 的取值范围，最后求解不等式 即可. 【详解】（1）因为， 由，得，则，解得， 所以实数的值为2； （2）由函数的定义域真数大于0确定：， 解得，所以的定义域为， 由题知原不等式可化为， 即，所以： ①若，则单调递减， 原不等式化为，解得，或， 因为的定义域为，所以，或； ②若，则单调递增， 原不等式化为，解得， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 13．（本题18分）已知函数，且． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)若，求方程的解集； (3)当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数函数的值域为可知，需取遍所有正数，结合对数的底数的范围求得结果. （2）由单调函数零点的唯一性，结合特殊值求出，再解对数方程转化成的二次方程即可. （3）先求定义域，结合复合函数单调性求出函数的对称轴，再根据函数对称性，结合自变量与对称轴的距离远近解不等式. 【详解】（1）若的值域为，则取遍所有正数， 由，且， 解得． （2）因为函数为增函数，， 所以． 由，得， 整理得，解得， 故方程的解集为． （3）当时，的定义域为． 因为，且，所以图象的对称轴方程为． 又在上单调递增，定义域为， 所以所求不等式等价于， 解得或，故所求不等式的解集为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 对数运算与对数函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）函数，的值域是（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）近年来，人们越来越注意到家用冰箱使用的氟化物释放对大气臭氧层的破坏作用．科学研究表明，臭氧含量与时间（单位：年）的关系为，其中是臭氧的初始含量，为常数．经过测算，如果从现在算起，不对氟化物的使用和释放进行控制，经过年将有一半的臭氧消失．按照这样变化规律，若经过年，臭氧含量只剩下初始含量的，约为（）（参考数据：） A． B． C． D． 6．（本题5分）若在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（本题6分）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域为 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．的图象关于直线对称 8．（本题6分）已知，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（本题5分）已知函数（，且）恒过定点，则______. 10．（本题5分）已知函数，则关于x的不等式的解集是__________． 四、解答题 11．（本题14分）（1）求的值； （2）若，求的值． 12．（本题16分）设函数. (1)若，求实数的值； (2)讨论不等式的解集. 13．（本题18分）已知函数，且． (1)若的值域为，求的取值范围； (2)若，求方程的解集； (3)当时，求图象的对称轴方程和不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $