高中数学单元测试——第三章指数运算与指数函数（较难版01）

**基本信息** 高中数学第三章指数运算与指数函数单元复习较难版测试，覆盖指数运算、函数性质等核心知识，通过分层设计考查运算能力、推理能力与模型意识，适配单元巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|指数运算、定义域、函数图像比较|基础概念辨析，如指数式求值（题1）| |多选题|2/12|指数运算性质、函数奇偶性单调性|多角度辨析，如运算正确性判断（题7）| |填空题|2/10|指数幂化简、恒成立问题|抽象转化，如指数式化为有理数幂（题9）| |解答题|3/48|运算综合、函数性质证明、恒成立求范围|分层综合，如单调性定义证明与参数范围讨论（题13）|

高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3．（本题5分）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用定义域和值域的关系，结合复合函数定义域的知识分析即可. 【详解】解：函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为 故选：C 4．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和讨论，再结合指数函数单调性即可判断. 【详解】当时，，此时函数在上单调递增，故AB错误， 当时，，此时函数在上单调递减，故C错误，D正确. 故选：D. 5．（本题5分）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数、指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为指数函数在定义域内为减函数， 所以， 因为幂函数在单调递增， 所以， 所以， 故选：D 6．（本题5分）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求得，然后对进行分类讨论，结合函数的单调性列方程来求得的值. 【详解】由奇函数的性质可知，，∴，∴，经检验，符合题意， ∴，当时，在上单调递增， ∴，解得或（舍去）； 当时，在上单调递减， ∴，解得或（舍去）. 综上所述，或. 故选：A 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据根式的定义与分数指数幂的定义、运算法则判断． 【详解】，故A错； ，故B正确； 与不同，故C错； ，故D正确. 故选：BD. 8．（本题6分）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 【答案】BCD 【分析】代入直接计算判断A；根据奇函数的定义判断B；根据，结合指数函数的单调性判断C；根据的单调性与奇偶性解不等式判断D. 【详解】对于A，因为，故，显然（），故A选项错误； 对于B，由题意函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数，B选项正确； 对于C，，由于，故为上的单调递减函数，为上的单调递增函数，为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数，C选项正确； 对于D，由于为上的单调递减函数，且为奇函数， 所以， 所以，即，显然恒成立 所以恒成立，D选项正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（本题5分）已知，将化为有理数指数幂形式，则________. 【答案】 【分析】将根式化成分数指数幂即可. 【详解】. 故答案为： 10．（本题5分）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】依题意化为对任意恒成立，求出不等式右边的最小值后，代入不等式可得结果. 【详解】由，得， 令，因为，所以， 所以对任意恒成立， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题 11．（本题14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用指数运算和根式运算法则得到答案； （2）由两边平方求出，再两边平方求出，最后代入求解即可. 【详解】（1）； （2）因为， 所以，； 所以 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. (1)求a的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）把给定的点代入函数式求出a值作答. （2）由（1）求出函数式，再借助单调性求出值域作答. 【详解】（1）由函数的图象经过点，得，而且， 所以. （2）由（1）知，，显然函数在上单调递减， 则当时，，且恒成立， 因此当时，函数， 所以函数的值域是. 13．（本题18分）设常数，函数． (1)当时，用定义证明在上是减函数； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若时，不等式在定义域上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】(1)利用单调性的性质证明，即对任意，作差证明即可； (2) 针对参数分等于，等于及其他情况进行讨论 (3)利用(1)和(2)的结论，不等式在定义域上恒成立可以等价为，即恒成立的问题，二次函数恒成立，转化成判别式与作比较即可. 【详解】（1）任取，则 是增函数，，即． 又因为所以，所以， ，即在上是减函数． （2）当时，，定义域为， 此时函数为偶函数； 当时，，定义域为， 此时函数为奇函数； 当且时，，显然既不相等，也不互为相反数，此时既不是奇函数也不是偶函数． （3）当时，由（1）知单调递减，由(2)知为奇函数， 不等式可化为， 则，即恒成立， ，解得，所以的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第三章 指数运算与指数函数（较难版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若，，则的值是（    ） A．0.9 B．1.08 C．2 D．4 2．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（本题5分）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知奇函数在上的最大值为，则（    ） A．或3 B．或2 C．3 D．2 二、多选题 7．（本题6分）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题6分）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 三、填空题 9．（本题5分）已知，将化为有理数指数幂形式，则________. 10．（本题5分）若对任意的，使得不等式恒成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题 11．（本题14分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 12．（本题16分）已知函数的图象经过点，其中且. (1)求a的值； (2)求函数的值域. 13．（本题18分）设常数，函数． (1)当时，用定义证明在上是减函数； (2)讨论函数的奇偶性； (3)若时，不等式在定义域上恒成立，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $